1、 1.3 概率的公理化和加法公式,古典概型只对样本空间 含有限个样本点,且每个样本点发生的可能性相同的情况定义了概率.下面将概率的定义进行推广.设 是试验S的样本空间,在实际问题中往往并不需要关心 的所有子集, 只要把关心的子集称为事件就够了.但是事件必须是 的子集, 并且满足以下三个条件:,(a) 是事件,(b) A, B 是事件, 则 都是事件,(c) 当 是事件, 则 是事件.以后总假设上面的条件(a), (b), (c)成立.由(b)知道有限个事件经过有限次运算后得到的结果仍然是事件.对于试验S的事件A, 我们用 0,1 之间的数P(A)表示事件A发生的可能性的大小. 对于每个事件A
2、, P(A)是一个实数. P(A)是事件A的函数.,概率及公理化 定义 3.1 如果事件的函数P满足条件(a) 非负性: 对于任何事件A, P(A) 0,(b) 完全性: P( )=1,(c) 可列可加性: 对于互不相容的事件 , ,有就称P是试验S的概率, 简称为概率, 称P(A)是A的概率(probability).,我们称定义3.1中的(a), (b), (c)为概率的公理化条件. 不满足公理化条件的$P$不是概率.条件(c)中的“可列”, 指集合的个数或运算的次数可以依次排列起来.,2概率的性质,(1),（2）有限可加性:,若A1，A2，An互不相容，则,若A B, 则有P(B A)
3、= P(B) P(A)P(A) P(B) 特别地，对任何事件A，都有P(A) 1;,对事件A，有,(3),又因 再由性质 3便得,(4) 对任何两个事件A, B，都有,三个事件和的概率为,=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC) + P(ABC),(5) 对任何n个事件A1，A2，An,都有,例10,(1) 若事件A与B互不相容, 求,（2）若A B, 求,（3）若P(AB)=1/8, 求,设P(A)=1/3, P(B)=1/2,提示:,例11 设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.
4、,所求概率为P(AB),解: 设A=所取元件中至少有一电阻,B=所取元件中至少有一电感,例12. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求甲或乙拿到4张A的概率.(1) 甲抽后不放回，乙再抽; (2) 甲抽后将牌放回，乙再抽.,(2) A、B相容,解：设A=甲拿到4张A， B=乙拿到4张A,所求为,=P(A)+P(B) P(AB),在实际应用中，除了要研究事件A的概率P(A)之外，有时还需要研究在事件B已经发生的条件下 ，事件A发生的概率。我们称这种概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，记为,P(A|B),一般说来,P(A|B) P(A),1.4 条件概率和乘法公式,P(A )=1
5、/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B， B中共,于是 P(A|B)= 1/3.,容易看到,P(A|B),有3个元素，它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集 A 中,又如，向长方形S内随机均匀投点，若已知点落在区域B内，求在此条件下点落在区域A内的概率,条件概率P(A|B)实质就是缩减了样本空间上的事件的概率。由于已知事件B已经发生，原样本空间 缩减为B，在该空间上再进一步计算事件A发生的概率,可以证明，在古典概型下，若P(B)0, 有,(见书p15),设A、B是两个事件，且P(B)0，则称,2.
6、 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率.,3. 条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0，则P(.|B)满足概率的三条公理，即,(1). 非负性：对任一事件A，0P(A|B)1;,(2). 规范性： P ( | B) =1 ；,(3). 可列可加性：设 A1,An互不相容，则,条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质,如,（2） 在缩减的样本空间上计算,4. 条件概率的计算,（1） 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B 发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A 所含样本点 个数,解法1:,解法2:,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间
7、中计算,例3 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品。从中取产品2次，每次任取一件，做不放回抽样。设事件 B为“第一次取到的是一等品”，事件 A为“第二次取到的是一等品”，试求P(A|B).,P(AB)=P(B)P(A|B) (1),二. 乘法公式,公式（1）和（2）均称为概率的乘法公式或称为概率的乘法定理,P(AB)=P(A)P(B|A) (2),1. 定义 设有两个事件A，B，如果P(B)0，由条件概率公式得,如果 P(A)0，由条件概率公式得,乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),当P(A1A2An-1)0时，有,当P(A
8、B)0，有,P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),例4 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,解 我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,由于,由乘法公式,= (4/5)(1
9、/4)= 1/5,也就是说“抽签与顺序无关.”,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1，第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,(例5.见书p17例4.5.(官员受贿问题),1.5 事件的独立性,我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？,显然,这就是说，已知事件B发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件A、B独立.,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,P(A|B)
10、=P(A),不难证明，当P(B)0时，有,事件的独立性,两个事件的独立性,多个事件的独立性,1. 两个事件的独立性,对任意的事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A，B是相互独立的。,注意,必然事件与任何事件独立,不可能事件与任何事件独立,例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,可见, P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,在实际应用中,往往根据问题的 实际意义去判断两事件是否独立.,一批产品共n
11、件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品 i=1,2.若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.,又如：,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互不相容，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不是互不相容的.,性质1,若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立,证明如下:,=P(A)1- P(B)= P(A) P( ),= P(A)- P(AB),P(A )= P(A - A B),A、B独立,故A与 独立 .,概率的性质,= P(A)- P(A) P(B),证明: 仅证A与 独
12、立,2. 多个事件的独立性,对任意三个事件A，B，C，若,则称事件A，B，C相互独立，简称A，B， C 独立,对任意n个事件A1 An，若,则称事件A1, An相互独立，简称A1, An独立,请注意多个事件两两独立与相互独立 的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,反例 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件A 表示1号骰子出现奇数B 表示2号骰子出现奇数C 表示两骰子出现的点数之和为奇数,则,但,性质2,若A1, An相互独立，则,其中任意k （ ）个事件也是相互独立的,若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能同时属于两个不同的组,则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 k 个事件也相互独立.,性质3,性质4,若A1, An相互独立，则,证明如下:,设事件 相互独立,则,也相互独立,也就是说，n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.,例3 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率.各元件独立工作. 求电路正常工作的概率.,解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,其中,P(W) 0.782,代入得,作业： 1.12，1.15，1.17，1.20,
