1、,工程经济学,森林工程,余雯婷,灰色系统模型预测,THE GREY SYSTEM MODELS,第一、灰色系统模型简介 第二、如何进行灰色系统模型建模 第三、灰色系统模型建模实例分析,灰色系统模型预测,第一、灰色系统模型简介,灰色系统模型预测,灰色系统理论是由邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。目前,在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。,1、什么是灰色系统模型,1.什么是灰色系统模型,灰色系统是黑箱概念的一种推广,是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统,其具体的含义是:如果某一系统的全部信息已知为白色系统,全部信息未知
2、为黑箱系统,部分信息已知,部分信息未知,那么这一系统就是灰色系统。,1、什么是灰色系统模型,如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性,动态变化的随机性,指标数据的不完备或不确定性,则称这些特性为灰色性。对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model),简称GM模型,它揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。,用原始数据组成原始序列(0),经累加生成法生成序列(1),它可以弱化原始数据的随机性,使其呈现出较为明显的特征规律。对生成变换后的序列(1) 建立微分方程型的模型即GM模型。,2. 灰色系统的基本思想,GM(1,1) 模型表示1阶的、1个变量的微分方程模型。GM(1,1) 模型群中
3、,新陈代谢模型是最理想的模型。这是因为任何一个灰色系统在发展过程中,随着时间的推移,将会不断地有一些随即扰动和驱动因素进入系统,使系统的发展相继地受其影响。,2. 灰色系统的基本思想,公理1、差异信息原理,3.灰色系统的基本原理,“差异”是信息,凡信息必有差异。,公理2、解的非唯一性原理,3.灰色系统的基本原理,信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。,公理3、最少信息原理,3.灰色系统的基本原理,灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。,公理4、认知根据原理,3.灰色系统的基本原理,信息是认知的根据。,公理5、新信息优先原理,3.灰色
4、系统的基本原理,新信息对认知的作用大于老信息。,公理6、灰性不灭原理,3.灰色系统的基本原理,“信息不完全”是绝对的。,(1)数列预测,4. 常用的灰色系统模型,(2)灾变与异常值预测,(3)季节灾变与异常值预测,(4)拓扑预测,(5)系统预测,(1)不需要大量的样本,5.灰色系统的优点,(2)样本不需要有规律性分布,(3)计算工作量小,(4)可用于近期、短期,和中长期预测,(5)精准度高,第二、灰色系统模型建模,灰色系统模型预测,(1)级比检验,灰色模型建模步骤,(2)数据预处理,(3)建立GM(1,1)预测模型,(4)模型检验,1.级比检验,主要通过建立数据序列进行级比计算后进行判断,确定
5、是否能进行建模。,2.数据预处理,主要有两种方法,一是累加生成:即通过数列间各时刻数据的依个累加以后得到的是新的数据。累加前的数列称为原始数列,累加后的数列称为生成数列。累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段。,2.数据预处理,主要有两种方法,二是累减生成:即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(Inverse Accumulated Generating Operation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为。,2.数据预处理,设原始数据序列,2.数据预处理,对数据累加 :,2.
6、数据预处理,新数据序列,2.数据预处理,归纳为,2.数据预处理,称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成,显然有,2.数据预处理,将 分别做成图1.1、图1.2.,图1.1,图1.2,2.数据预处理,可见图1.1上的曲线有明显的摆动,图1.2呈现逐渐递增的形式,说明原始数据的起伏已显著弱化.,图1.1,图1.2,2.数据预处理,为了把累加数据列还原为原始数列,需进行后减运算或称相减生成,它是指后前两个数据之差,如上例中,2.数据预处理,归纳上面的式子得到如下结果:,其中,3.建立GM(1,1)预测模型,给定观测数据列,经一次累加得,3.建立GM(1,1)预测模型,设 满足一阶常微分方程,
7、其中是a,u常数,a称为发展灰数;u称为内生控制灰数,是对系统的常定输入.,3.建立GM(1,1)预测模型,此方程满足初始条件,的解为:,3.建立GM(1,1)预测模型,对 等间隔取样的离散值 (注意到 )则为,3.建立GM(1,1)预测模型,灰色建模的途径是一次累加序列通过最小二乘法来估计常数a与u.因 留作初值用,故将分别代入方程用差分代替微分,又因等间隔取样 故得:,则类似有:,3.建立GM(1,1)预测模型,于是,可得:,3.建立GM(1,1)预测模型,把 项移到右边,并写成向量的数量积形式,3.建立GM(1,1)预测模型,由于 涉及到累加列 的两个时刻的值,因此, 取前后两个时刻的平
8、均代替更为合理,即将 替换为:,3.建立GM(1,1)预测模型,将上式写为矩阵表达式:,3.建立GM(1,1)预测模型,令:,这里,T表示转置,令:,可得:,3.建立GM(1,1)预测模型,则方程组的最小二乘估计为:,把估计值 代入初始方程得时间响应方程:,3.建立GM(1,1)预测模型,是拟合值;,为预报值,这是相对于一次累加序列 的拟合值,用后减运算还原, 就可得原始序列 的拟合值,可得原始序列 预报值 。,4.模型检验,(1)残差检验,残差:,平均相对误差:,相对误差:,精度:,4.模型检验,(2)后残差检验,4.模型检验,(3)预测精度等级对照表,4.模型检验,由于模型是基于一阶常微分
9、方程建立的,故称为一阶一元灰色模型,记为GM(1,1)。须指出的是, 建模时先要作一次累加,因此要求原始数据均为非负数.否则,累加时会正负抵消,达不到使数据序列随时间递增的目的。如果实际问题的原始数据列出现负数,可对原始数据列进行“数据整体提升”处理。,4.模型检验,综上所述,GM(1,1)的建模步骤如下:,第三、建模实例分析,灰色系统模型预测,灰色系统模型建模实例,北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据,级比检验,1.建立交通噪声平均声级数据时间序列:,级比检验,2. 求级比:,级比检验,3. 级比判断:,由于所有的,故可以用 作满意的GM(1, 1)建模。,数据预处理,1. 对原始数据 作一次累加:,得:,数据预处理,2. 构造数据矩阵B及数据向量Y :,数据预处理,于是得到:,数据预处理,3.最小二乘估计求参数列 :,于是得到:,GM(1,1)建模,用GM(1,1)建模,解得时间响应序列为:,GM(1,1)建模,求生成数列值 及模型还原值,令 代入时间响应函数可算得,其中取,由累减生成 得还原值:,模型检验,GM(1,1)模型检验表,模型检验,平均相对误差:,精度:,经验证,该模型的精度较高,可进行预报和预测,THE END,