1、数系的扩充复数,1.复数的意义 形如zabi(a，bR)的数叫做复数， 其中i叫 ，满足 ，a叫做 ，b叫做 ，复数集记作 ，数集N，Z，Q，R，C的关系是 . zabi(a，bR)是实数的充要条件是 ；是虚数的充要条件是 ；是纯虚数的充要条件是 . 2复数的相等 两个复数相等，则 ,虚数单位,i21,实部,虚部,C,b0,b0,a0且b0,它们的实、虚部分别相等,(1)注意复数的代数形式zabi中a，bR这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部 (2)复数是实数的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分 (3
2、)熟悉扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值,分析 根据复数的有关概念，转化为实部与虚部分别满足的条件去求解,规律总结 解决与复数的基本概念和性质有关的题目时，要充分利用使它们成立的充要条件，同时注意复数和实数的区别与联系数的概念扩充到复数后，实数集中的一些运算性质、关系，在复数集上不一定成立，但利用复数的有关概念和复数相等的充要条件，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.,备考例题1 题设条件不变，如果复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围,分析 利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解,规律总结 (1)复数代数形式的运算是复
3、数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误 (2)在复数运算中要注意分析表达式的结构特征，有效地进行简化运算，提高解题速度.,例3 已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i同时满足MNM，MN，求整数a、b.,解 依题意得(a3
4、)(b21)i3i 或8(a21)(b2)i， 由得a3，b2， 经检验，a3，b2不合题意，舍去 a3，b2. 由得a3，b2. 又a3，b2不合题意 a3，b2. 综合得a3，b2或a3，b2.,规律总结 此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，应注意思维的广阔性和严谨性的训练.,备考例题3 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y. 解：设xabi(a，bR)，则yabi， xy2a，xya2b2 代入原式，得(2a)23(a2b2)i4bi，,例4 设关于x的方程x2(tani)x(2i)0，若方程有实数根，求方程的实根和锐角.,规律总结 对于复系数一元二次方程，不可用判别式来判断此方程有无实根，而应该运用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.,备考例题4 试分析方程x2(42i)x32i0是否有实根？并解方程,一、概念理解错误 例1 两个互为共轭复数之差是 ( ) A实数 B纯虚数 C0 D零或纯虚数 答案 D,答案 A,错因分析 对i的乘方的性质i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i掌握不好而见到高达2005次幂时无从下手 启示：熟练掌握并灵活应用i的乘方的性质，进行有关问题的代数运算，比较方便.,
