1、2019/4/10,近世代数,第二章 群论 10 群对集合的作用、伯恩赛德引理,2019/4/10,本节介绍群对集合的作用的概念和理论， 它是群的某些应用的理论基础，也是分析有 限群结构的有力工具.,2019/4/10,问题：,如果有一个集合，集合上有一些变换 t1，t2，t3等等，其中每个变换都会把 集合中的每个元素变成集合中的另一个元素， 那么如果我们把能够互相转变的元素看作是 同一种元素，这个集合里一共有多少种 “真正不同”的元素呢？,伯恩赛德引理告诉我们，这个数目就是 在每个变换t1,t2,t3下不变的元素的个 数的平均数。,2019/4/10,一、群对集合的作用,设,是,上的一个,置
2、换群，,任取,和,称,为群元素,对,的作用，,并称群,作用,于集合,上.,称为目标集.,下面把置换群对目标集的作用这一概,念推广到一般的群上.,2019/4/10,定义1,设,是一个群,是一个非空集合,（称为目标集），若,对应,上的一个变换,满足,则称,作用于,上，,称为,对,的作用.,是可逆变换.,易证,2019/4/10,例1：,设,是一个群,的作用为,定义,对,容易验证满足定义1 的条件：,这种作用称为群,对其本身的左平移或,左正则作用.,2019/4/10,例2：,设,是一个群,的作用为,定义,对,容易验证满足定义1 的条件：,这种作用称为群,对其本身的共轭作用.,2019/4/10,
3、例3：,设,是一个群,的作用为,定义,对,满足：,此作用称为群,对其子群集的共轭作用.,2019/4/10,二、轨道与稳定子群,定义2,设,为目标集，群,作用于,上，,，则集合,称为,在,作用下的一个轨道，,称为,此轨道的一个代表元.,设,（1）确定,在,作用下的所有轨道.,解：,例4,2019/4/10,轨道性质：,（1）若在,中定义二元关系为：,则是,中的一个等价关系，,且每一个,等价类,就是一个轨道,（2）,（3）,构成,的一个划分,2019/4/10,不动点：,由性质看出：目标集,被划分为轨道的并，反过来，,在群,的作用下,可用轨道来研究,群,的结构，并解决轨道长度与轨道数的问题.,定
4、义3,设,若,则称,是,的一个不动点.,性质：,2019/4/10,稳定子群：,设群,作用于,上,定义4,则称子群,为,的稳定子群，,记作,设,（2）确定,在,作用下的所有稳定子群.,例4,2019/4/10,例1：,设,是一个群,的作用为,定义,对,这种作用称为群,对其本身的左平移或,左正则作用.,若取,而,称G在 上可迁,2019/4/10,例2：,设,是一个群,的作用为,定义,对,这种作用称为群,对其本身的共轭作用.,若取,2019/4/10,例3：,设,是一个群,的作用为,定义,对,此作用称为群,对其子群集的共轭作用.,若取,2019/4/10,稳定子群和轨道的关系：,(1)轨道公式：,证明：,是映射且是单射，,显然也是满射.,(2),(3),同一轨道中元素的稳定子群阶数相同,2019/4/10,三、伯恩赛德引理,定理1（Burnside引理）,设有限群,作用于有限集,上，则,在,作用下的轨道数目为,其中,为元素,在,上的不动点数目,，求和是对群中每个元素求和.,2019/4/10,例4,设,解：,（3）求,的每个元素在,上的不动点数目.,轨道数目为：,（4）求,在,作用下的轨道数目.,
