1、1,1.1 集合关系与集合的分类,等价关系集合的分类集合的等价 关系与分类,2,一、等价关系,元素的一个条件如果对 中任意一个有序元素对,的一个关系(relation)如果 与 满足条件 ，则称,与 有关系 ，记作 ；否则 称 与无关系 关,系 也称为二元关系,，我们总能确定 与 是否满足条件 ，就称 是,定义1.1.1 设 是一个非空集合, 是关于 的,3,例1 设 是一个非空集合， 的所有子集组成的,集合记为 因为对 的任意两个子集 ， ，,或 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“ ”,是 的一个关系进一步讨论可以发，这个关系还,具有下面两条性质：,(1) 反身性，即对 的任一子集 ，有
2、 ；,(2) 传递性, 即对 的任意子集 , , , 如果, ,则有 ,4,例2 在整数集 中, 规定 因为,这个关系也具有反身性和传递性,例3 在整数集 中, 规定 ( 即 与 互,素) 因为 与 有且仅有一个成立, 所,以是 的一个关系这个关系既不满足反身性也不满,足传递性, 但却满足所谓的对称性, 即对任意两个整数,由 ，可推出 ,与 有且仅有一个成立, 所以“|”是 的一个关系,5,定义1.1.2 设 是 非空集合的一个关系, 如,果 满足,(E1) 反身性, 即对任意的 , 有 ；,(E2)对称性, 即若 , 则 ；,(E3) 传递性, 即若 ,且 ,则 ,则 称是 的一个等价关系(
3、equivalence relation),并且如果 ,则称 等价于 ,记作 ,6,定义1.1.3 如果是集合 的一个等价关系,对 , 令,称子集 为 的一个等价类 (equivalence class) ,的全体等价类的集合称为集合 在等价关系下的商集,(quotient set), 记作 ,7,例 易知, 三角形的全等,相似, 数域 上 阶方,阵的等,相似,相合等都是等价关系, 而例1,例2,例3及,本节开头所述的关系都不是等价关系,8,例 设 是正整数, 在整数集 中, 规定,这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作, 则 ,(1)对任意整数 ,则,(读
4、作“ 同余于 , 模 ”)整数的同余关,系及其性质是初等数论的基础,9,二、集合的分类,定义1.1.4 如果非空集合 表成若干个两两不,相交的非空子集的并, 则称这些子集为集合 的一种,分类 (partition),其中每个子集称为一个类 (class).,如果,的子集族 构成 的一种分类,则记作,10,例6 设 为数域 上全体 阶方阵的集合,令,表示所有秩为 的 阶方阵构成的子集.,(1) ;,(2) ,所以 是 的一种分类,例7 是整数集 的一,种分类,11,于 ,且 , 同一元素在两个子集中重复出现,例8 对实数集 , 令子集 , .由,所以 不是 的一种分类,12,三、集合的等价关系与
5、集合的分类这两个概念之间,联系,定理1.1.1 集合 的任何一个等价关系都确定,了 的一种分类,且其中每一个类都是集合 的一个等,价类.反之,集合 的任何一种分类也都给出了集合,的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那,些类,13,证 首先, 为 集合的一个等价关系, 则,(1) 对任意的 , 由反身性知 , 所以,(2) 如果 ,从而由对称性知 再由传递性知,又对任意的 ,则 ,.这说明, 不同的类没有公共元素,.于是 , 因此 .,则有 ,同理 , 所以,于是,同样由传递性得,14,从而由 (P1), (P2)知, 全体等价类形成的 一种,分类,显然每一个类都是 的等价类,其次, 如
6、果已知集合 的一种分类 , 在 中规,定关系“”：,对任意的 , 由于 与本身属于同一类, 所以,.如果 , 即 与 属于同一类, 自然 与 也,属于同一类, 所以 . 最后, 如果 , ,15,即 与 属于同一类, 与 属于同一类,因而 与 同在,所在的类中, 所以 因此“”是 的一个等价,关系.显然, 由此等价关系得到的等价类就是原分类中,那些类,16,例 设 试确定集合 上的全部等价,关系,解 由定理1.1.1知，只要求出的 全部分类,也,即求出的 所有可能的子集分划即可,(1) 如果 分划为一个子集, 则有 ;,(2) 如果 分划为两个子集, 则有,(3) 如果 分划为三个子集, 则有,17,因此, 上共有五个不同的等价关系, 它们是,18,注 如果用 表示一个具有 个元素的集合上,的不同等价关系的个数, 则有下列的递推公式:,其中, 为二项式系数, 并,规定,19,参考文献及阅读材料,
