1、1,1,正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质,2,2,一、基本概念,定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的.,3,3,例,4,4,这就证明了条件的充分性.,5,推论 若A是正定矩阵,则|A|0.,证明,5,6,6,例 判断下列矩阵是否为
2、正定矩阵,解,7,7,8,8,9,定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 ,由于P可逆,PXo,故,设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.,10,例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则,为对角形.,11,例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A
3、=CCT,AB=CCTBCTBC, CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.,12,12,为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进 定义 给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即,13,13,的行列式. 定理 实对称矩阵 正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.,14,14,例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.,解,故A正定.,15,15,实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 3. 可逆. 4.A的顺序主子式全是正数. 5.A的主子式全是正数.,16,16,例 判断下列二次型是否正定:,17,18,
4、例 t在什么范围取值时二次型,是正定二次型? 解,19,20,定义 实对称矩阵A的第 行和第 列的元素组成的行列式称为主子式. 例如,是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式.,21,21,实对称矩阵A半正定的充分必要条件是 1.其特征值都是非负数. 2.A合同于3.A的正惯性指数p=r. 4.A的所有主子式非负.,22,定理 实对称矩阵A半正定的充分必要条件是所有主子式非负. 证明 设A半正定.则A+tE正定.其所有主子式,个.,23,24,25,25,三、正定矩阵的性质,1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆. 2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵. 证明 A为正定矩阵,其全部特征值为
5、正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定. 3.正定矩阵的对角线元素都是正数. 4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵. 5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵. 6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT. 7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零.,26,26,27,27,的若干性质,1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵.,证明 是实对称矩阵 .对于任意 A可逆, 否则,故 正定.,2.若A为 矩阵,且 则 为m阶正定矩阵, 为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.,证明 任意 A的列向量组线性无关,28,的列向量组线性相关，存在n维列向量 使得 ,于是,故 不是正定矩阵。,29,29,3.若A为 矩阵,且 则 和分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.,故 半正定. 列向量组线性相关,存在非零向量X,使得AX=O,故 非正定.,
