1、9.2 多边形的内角和与外角和教学目的 1使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。 重点、难点1重点：多边形的内角和与外角和定理。 2难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。教学过程一、复习提问1什么叫三角形? 2三角形的内角和是多少?3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?二、新授1多边形的概念，三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形) 。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图(1)它是由不在
2、同一直线上的 4 条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。( 按顺时针或逆时针方向书写)D DCA C EA BB图(2)是由不在同一直线上的 5 条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。 一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为 n 边形，又称多边形。与三角形类似如图，A、D、C、ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，延长 AB、CB 得四边形 ABCD 的两个外角CBE 和ABF，这两个外角是对顶角。一个 n 边形有 n 个内角，有 2n 个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方
3、形 )、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图 1，线段 AC 是四边形 ABCD 的对角线，如图 2，线段 AD、AC 是四边形 ABCDE 的对角线，如图 3 中线段 AC、AD、AE 是六边形 ABCDEF 的对角线。图 8.3. 问：(1)四边形有几条对角线?(两条 AC、BD) (2)五边形有几条对角线?图 8.32 以 A 为端点的对角线有两条 AC、AD，同样以月为端点的对角线也有 2 条，以 C 为端点也有 2 条，但 AC 与 CA 是同一条线段，以 D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 都分别表示同一条线段。所以只有 5 条。(3)六
4、边形有几条对角线?n 边形呢? 六边形有 9 条对角线。从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么 n 个顶点，就有 n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB 与 BA，所以 n 边形一共有条对角线。大家可以加以验证：当 n=3 时，没有对角线，当 n=4 时，有 2 条；当 n=5 时，有 5 条：当 n=6 时，有 9 条2多边形的内角和公式。三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于 180，那么一般 n 边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形开始。从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边
5、形分成 2 个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中 3 个三角表内角和的和。让学生填写教科书表 8.3.1 由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?n 边形的内角和(n-2)180 知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数 n。例 1一个多边形的内角和等于 2340，求它的边数。问题：一个正多边形的一个内角为 150，你知道它是几边形?分析：正多边形的每个内角都相等。多边形的内角和等于(n-2)180，还可以用以下的划分来说明，即在 n 边形内任取一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关
6、系?请你试一试。 对有困难的学生教师可以加以引导。如图(教科书图 9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此 n 边形就可划分成 n 个三角形，这 n 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n 边形的内角和为： n180-360n180 -2180=(n-2)180问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。3多边形的外角和。什么叫多边形的外角和。与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和，如教科书图 9.2.6，1+2+3+4 就
7、是四边形的外角和。多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。因为 n 边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和。让学生填写填教科写表 9.2.2n 边形的内角与外角的总和为 n180n 边形的内角和为(n-2) 180那么 n 边形的外角和为 n180(n2) 180=n180-n180+360=360这就是说多边形的 9L 角和与边数无关，都等于 360。例 2一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36，求这个正多边形的边数。分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360，因此只要求
8、出每个外角度数，就可知是几边形了。点拨；多边形的外角和等于 360，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。三、巩固练习1教科书第 70 页练习 1、2。第 2 题引导学生从外角考虑，多边形的内角是锐角，那么和这个内角相邻的外角是什么样的角? 钝角多边形的外角和是 360，那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3 个可以吗?4 个呢?让学生动手算一算，由他们自己得出结论 从而得到最多可以有 3 个外角是钝角，即多边形的内角中最多可以有 3 个是锐角。四、小结本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)180
9、。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。由于多边形的外角和等于 360，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。五、作业教科书 P71 习题 9.2 第 1、2、3、4 题。9.2 多边形的内角和与外角和 导学案学习目的 1了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。 重点、难点1重点：多边形的内角和与外角和定理。 2难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。教学过程一、复习回顾1什么叫三角形? 2三角形的内角和是 ?3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?二、新授1多边形的概念，三
10、角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形) 。我们知道：不在同一直线上的三条线段 连结组成的平面图形叫三角形。你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图(1)它是由不在同一直线上的 4 条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) D DCA C EA BB图(2)是由不在同一直线上的 5 条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为 一般地， ，记为 n 边形，又称多边形。与三角形类似如图，A、 D、C、ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，延长 AB、CB 得四边形 ABCD 的两个外角 和 ，这两个外角是 。一个 n 边形有 个内
11、角，有 个外角。如果多边形的各边 ，各内角 ，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的 顶点的线段叫做多边形的 ，如图 1，线段 是四边形 ABCD 的对角线，如图 2，线段 、 是四边形 ABCDE 的对角线，如图 3 中线段 、 、 是六边形 ABCDEF的对角线。图 8.3. 问：(1)四边形有几条对角线?(两条 AC、BD) (2)五边形有几条对角线?以 A 为端点的对角线有 条，同样以 B 为端点的对角线 条，以 C 为端点也有 条，但 AC 与 CA 是同一条线段，以 D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 都分别表示同一条线段。所以只
12、有 5 条。(3)六边形有几条对角线?n 边形呢? 六边形有 9 条对角线。从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线，可以引 条， (除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么 n 个顶点，就有 条，但其中每一条都重复计算一次，如 AB 与 BA，所以 n 边形一共有 条对角线。 大家可以加以验证：当 n=3 时，没有对角线，当 n=4 时，有 2 条；当 n=5 时，有 5 条：当 n=6 时，有 9 条2多边形的内角和公式。三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于 180，那么一般 n 边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形开始。从上面对角线的研究可知，一条对角线把
13、四边形分成 三角形，这两个三角形的内角和的和就是 ，五边形的内角和就是 个三角形内角和的和。请填写教科书表 9.2.1 由此，你可以得到多边形的内角和公式吗?n 边形的内角和 知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数 n。例 1一个多边形的内角和等于 2340，求它的边数。图 8.32 问题：一个正多边形的一个内角为 150，你知道它是几边形?如图(教科书图 9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此 n 边形就可划分成 个三角形，这 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的周角所得的差就是 多边形的内角和。因此，n 边形的内角和为： n180-360 n180-2180=(n-2
14、)180问：还有其他方法吗？请同学们分组讨论。3多边形的外角和。什么叫多边形的外角和?与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有 个，这两个角是 ，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加， 得到的和称为多边形的外角和，如教科书图 9.2.6，1+2+ 3+4 就是四边形的外角和。多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?请同学们分组探讨。请填写填教科写表 9.2.2n 边形的内角与外角的总和为 n 边形的内角和为 那么 n 边形的外角和为 这就是说多边形的外角和角和与边数 ，都等于 。例 2一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36，求这个正多边形的边数。点拨；多边形的外角和等于 36
15、0，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。三、巩固练习1教科书第 64 页练习 1、2。2.n 边形（n3）从一个顶点出发可以引_条对角线.3.若一个六边形的各条边都相等，当边长为 3 cm 时，它的周长为_ cm.4.若一个四边形的各条边都相等，当边长为 3 cm 时，它的周长为_ cm.5.一个 n 边形有_个顶点，_条边，_个内角，_个外角.6.若一个四边形的四个内角的度数比为 1342，则四个内角的度数分别为_7.若四边形 ABCD 的相对的两个内角互补，且满足ABC=2 34,则A=_, B=_,C=_,D=_.8.若一个 n 边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻
16、的外角的度数比为 31，那么，这个多边形的边数为_.9.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为_，每个内角的度数为_.10.若一个多边形的各边都相等，它的周长是 63，且它的内角和为 900，则它的边长是_.二、选择题1.一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是_边形（ ）A.8 B.7C.6 D.52.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（ ）A.7 B.6C.5 D.43.一个多边形的内角和与外角和为 540，则它是边形（ ）A.5 B.4C.3 D.不确定4.若等角 n 边形的一个外角不大于 40，则它是边形（ ）A.n=8 B.n=9 C.n9 D.n9我 们 知 道 过 n 边 形 的 一 个 顶 点 可 以 做 (n 3)条 对 角 线 ， 这 (n 3)条对 角 线 把 三 角 形 分 割 成 (n 2)个 三 角 形 ， 想 一 想 这 是 为 什 么 ？ 如 图 1.如图 2，在 n 边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把 n 边形分成几个三角形？想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理.图 1 图 2测验评价结果：_；对自己想说的一句话是：_.
