1、多边形及其内角和姓名 年级 八年级 课题 多边形及其内角和 第_3 _ 课教学目标1、了解多边形及有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形） ，探索并掌握多边形的内角和和外角和公式。2、灵活运用多边形内角和公式和外角的性质解决有关问题，进一步提高分析问题和简单推理的能力。难点1、掌握多边形的内角和和外角和公式，并灵活运用。2、灵活运用多边形内角和公式和外角的性质解决有关问题3、简单的平面镶嵌设计是难点。重点1、了解多边形及正多边形有关概念2、多边形内外角和公式。3、镶嵌的有关概念。课堂教学过程过程第一部分二、多边形及有关概念这些图形有什么特点？由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相
2、接这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段（三边以上）首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的A、B、 C、D、E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角如图中的1 是五边形 ABCDE 的一个外角；连接多边形的不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线（如图虚线 AD） 。课堂教学过程过程1ABC DE FGHIJ四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。你能猜想 n 边形有多少条对角线吗？说说你的想法。因为从 n 边形的一个顶点可以引 n3 条对角线，n 个顶点共
3、引 n（n3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线被重复计算了一次，所以，n 边形有 条对角线。三、凸多边形和凹多边形如图，右边的两个多边形有什么不同？在图（1）中，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形四、正多边形的概念我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。下面是正多边形的一些例子。五典型例题例 1：图中各图形是不是多边形？如果是，说
4、出是几边形。（4（3（2（1（1132 多边形的内、外角和一、复习导入我们已经证明了三角形的内角和为 180，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为 360，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？二、多边形的对角线及内角和如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和= ABD 的内角和+BDC 的内角和=2180=360。类似地，你能知道五边形、六边形 n 边形的内角和是多少度吗？观察下面的图形，填空：五边形 六边形 从五边形一个顶点出发可以引 对
5、角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ；从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ；从 n 边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将 n 边形分成 三角形，n 边形的内角和等于 。n 边形有 对角线。 （因为从 n 边形的一个顶点可以引 n3 条对角线，n 个顶点共引 n（n 3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线被重复计算了一次，所以，n 边形有 条对角线。 ）练习：过 m 边形的一个顶点有 7 条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，则 m= ，n= ，k= 。三、例题（1 ）多边形的外角和【多边形外角和定理
6、 】例 1 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和等于多少？如图，已知1，2 ， 3，4，5，6 分别为六边形 ABCDEF 的外角，求1+ 2+3+4+5+ 6 的值1234A BCDEF5解：1+BAF=180 2+ ABC=180 3+BAD=1804+CDE=180 5+DEF=180 6+ EFA=1801+ BAF+2+ABC+3+BAD+ 4+CDE+5+ DEF+ 6+EFA=6180又1+2+ 3+4+5+ 6=4180BAF+ABC+BAD+CDE+DEF+EFA=6180-4180=360 n 边形的外角和等于 360。（2
7、）求多边形的边数例 2一个正多边形的内角和是 900，则这个多边形的边数是_.分析：设此多边形边数为 n，利用多边形内角和公式，得到（n-2）180=900，AB CD解得 n=7，所以这个多边形的边数为 7例 3一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是_.分析：设多边形边数为 n，其内角和为（n-2 ）180，外角和为 360，因为这个多边形内、外角和相等，可得（n-2）180 =360解得 n=4所以这个多边形是四边形例 4如果正多边形的一个外角为 72，那么它的边数是（ ）分析：其中一种思考方法为：因为多边形的外角和为 360，而一个外角为 72，所以它的边数为 36072=5；
8、另一种思考方法为：因为正多边形的一个外角为72，可以得出与它相邻的内角为 180-72=108，因多边形的内角和为（n-2） 180，可得（n-2 ）180 =108n，解这个方程得：n=5例 5一个多边形的内角和是外角和的 4 倍，求这个多边形的边数分析：此题可设多边形的边数为 n，因为多边形内角和为（n-2）180，多边形的外角和为 360，所以根据题意可得：（n-2 ）180=3604，解得n=10所以这个多边形的边数为 10（3 ）求多边形的内角度数例 6：正六边形每个内角的度数为_.分析：因为多边形的外角和为 360，所以正六边形每个外角的度数为 ，603所以每个内角的度数为 180
9、-60=120；此题也可利用多边形的内角和来解为-180=6A（ 2）（4 ）求多边形对角线的条数例 7：一个多边形的每个外角都为 36，则这个多边形的对角线有_条.分析：因为这个多边形的每个外角都是 36，所以这个多边形是正多边形设这个正多边形的边数为 n，则 n= ，所以这个多边形是正十边形因为多边形1036对角线的总条数为，所 以这个多边形的对角线的条数为2)(5702310巩固练习：（一） 、填空题 1 n 边形的外角和等于 _. 2多边形的外角和与它的边数_ （填“ 有”或“无”）关系3一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，则这个多边形是 _边形。4一个多边形的每个内角都等于 1
10、35，则这个多边形为 边形5内角和为 1440的多边形是 6 内角和等于外角和的多边形是 边形 7一个多边形的每一个外角都等于 30，则这个多边形为 边形（二） 、判断题1当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加 （ ） 2当多边形边数增加时它的外角和也随着增加 （ ）3三角形的外角和与其他多边形的外角和相等 （ ） 4从 n 边形一个顶点出发，可以引出（n 一 2）条对角线，得到（ n 一 2）个三角形 （ ） 5四边形的四个内角至少有一个角不小于直角 （ ）（三） 、选择题 1多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ） A互为余角 B互为邻补角 C两个角相等 D外角大于内角2若 n 边形每
11、个内角都等于 150，那么这个 n 边形是（ ） A九边形 B十边形 C十一边形 D十二边形 3一个多边形的内角和为 720，那么这个多边形的对角线条数为（ ）A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 4随着多边形的边数 n 的增加，它的外角和（ ）A增加 B减小 C不变 D不定 5若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（ ） A3 B4 C 5 D7 6一个多边形的内角和是 1800，那么这个多边形是（ ）A五边形 B八边形 C十边形 D十二边形 7一个多边形每个内角为 108，则这个多边形（ ）A四边形 B，五边形 C六边形 D七边形 8，一个多边形每个外角都是 60，这个多边形的内角和为（
12、 ） A180 B360 C720 D1080114 课题学习：镶嵌一、情景导入回想一下，你家屋内铺设的地板是什么图形？街道两边的便道是用什么形状的砖铺设的？为什么这样的砖能铺成无缝隙的地面呢？二、平面镶嵌及条件（1 ）平面镶嵌下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢？仔细观察我们镶嵌成的平面图案，在拼接的同一个顶点处各个角有什么关系？都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖。（2 ）平面镶嵌的条件平面镶嵌的条件：同一个顶点处的各个角的和等于 360，且相邻的多边形有公共边. 。（能单独
13、进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。 ）三、平面镶嵌的设计既然只要满足“同一个顶点处的各个角的和等于 360”就能进行平面镶嵌，那么多种多边形只要满足这个条件也应该能进行平面镶嵌。试一试，哪些多边形可以在一起进行平面镶嵌？1、正三角形和正方形 2、正三角形与正六边形3、正八边形与正方形除此之外，还有很多，大家可以在课外搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设计一些地板的平面镶嵌图，相互交流一下。四、典型例题例 1：某装修公司到商场买同样一种多边形的地砖平铺地面，在以下四种地砖中，你认为该公司不能买（ ）A 正三角形的地砖 B 正方形地砖 C 正五边形地砖 D 正六边形地砖分析：要使买
14、的同样一种多边形的地砖能平铺地面，则它的几个角能构成 360，因正三角形三个内角和为 180，所以它符合标准；正方形的四个内角和为 360，所以它也符合要求；而正五边形它的一个内角为 108，360不能被 108整除，所以正五边形不符合要求；用同样的道理可知正六边形符合要求所以此题选 C五、课堂练习1.能够用一种正多边形铺满地面的是_。A、正五边形 B、正六边形 C、正七边形 D、正八边形2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有_个正三角形。3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有_ 个正三角形和_ _个正六边形或 _ _个正三角形和 _ _ 个正六边形。第二部分
15、【课堂作业】一、选择题1.用下列一种正多边形可以拼地板的是( )A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形2.多边形每一个内角都等于 120,则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是( )A.5 条 B.4 条 C.3 D.2 条3.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是 2570,则这个角是( )A.90 B.15 C.120 D.1304.n 边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )A.180 B.360 C.(n-2).180 D.n.1805.不能作为正多边形的内角的度数的是( )A.120 B.(128 ) C.144 D.145476.若一个多边形的各内角都
16、相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:47.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )A.都是钝角; B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角8.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引 10 条对角线,则它是( )A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形9.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( )A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为 2570,则这个内角的度数为( )A.90 B.105 C.130 D.12011.一个多边形
17、的内角和是 720,则这个多边形是( )A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形12.一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180,这个多边形的边数是 ( )A.5 B.6 C.7 D.813.若正 n 边形的一个外角为 60,则 n 的值是( )A.4 B.5 C.6 D.814.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( )A.600 B.720 C.900 D.108015.若一个多边形的内角和与外角和之和是 1800,则此多边形是 ( )A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形16.用下列两种正多边形能拼地板的是( )A.正三角形和正八边形 B.正方形和正八边形C.正
18、六边形和正八边形 D.正十边形和正八边形二、填空题1.如果一个多边形的内角和等于 900,那么这个多边形是 _边形.2.一个正多边形的每个外角都等于 30,则这个多边形边数是 _.3.n 边形的外角和与内角和的度数之比为 2:7,则边数为_.4.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了 10 条对角线,则这个多边形的内角和为_度.5.在四边形 ABCD 中,如果A: B:C:D=1:2:3:4,则D=_.6.用正方形和正十二边形以及正_边形可以拼地板.7.从 n 边形的一个顶点出发,最多可以引_条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成_个三角形.8.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角
19、都大于 135, 那么这个多边形的边数最少为_.9.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为 9:2,则这个多边形的边数为_.10.每个内角都为 144的多边形为_边形.11.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是_.12.五边形的内角和等于_度.13.十边形的对角线有_条.14.正十五边形的每一个内角等于_度.15.内角和是 1620的多边形的边数是_.16.用正 n 边形拼地板,则 n 的值可能是_.三、解答题1.如果用正三角形与正六边形拼地板,有几种可能的情形?试画出草图.2.一个多边形的每一个外角都等于 45,求这个多边形的内角和 .3.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于 1000,求这个内角及多边形的边数.4.一个多边形的最大外角为 85,其他外角依次减少 10, 求这个多边形的边数.5.已知:如图,五边形 ABCDE 中,AECD,A=107, B=121,求C的度数.6.已知一个多边形的内角和与外角和之比为 9:2,求边数.EDBCA
