1、16.2 线段的垂直平分线专题一 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作 AB,AC 和 DB,DC，始终有 AB=AC，DB=DC，则伞杆 AD 与 B,C 的连线 BC 的位置关系为 _.2.如图所示，在ABC 中，DM,EN 分别垂直平分 AB 和 AC，交 BC 于 D,E，若DAE=50，则BAC= _度，若ADE 的周长为 19 cm，则 BC=_cm3如图，ABC 与ADC 关于直线 AC 对称，连接 BD，若已知四边形 ABCD 的面积是125，AC=25，则 BD 的长为 _4.已知：如图，在ABC 中，MN 是边 AB 的中垂
2、线，MAC=50，C=3B，求B 的度数专题二 线段垂直平分线与轴对称的综合应用5.如图，直线 l 是一条河，P，Q 是两个村庄欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）6.如图，四边形 ABCD 是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点 P 的位置，现在轮到你打，你应该把在点 Q 位置的白球打到 AB 边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？7.如图，已知AOB 的大小为 ，P 是AOB 内部的一个定点，且 OP=2，点 E、F 分别是OA、OB 上的动点，若PEF 周长的最小值等于 2，则
3、=（ ）A30 B45 C60 D90专题三 作图题8.如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）9.如图，ABC 与 ABC关于直线 MN 对称， ABC与 关于直线 EF 对称.（1）画出直线 EF（尺规作图） ；（2）设直线 MN 与 EF 相交于点 O，夹角为 ，试探求 O与 的数量关系.状元笔记【知识要点】1.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.2.线段垂直平分线性质定理的逆定理到线段两端距离相等的点，在这条线段的
4、垂直平分线上.【温馨提示】1.线段垂直平分线的性质定理为我们提供了证明两条线段相等的又一方法.2.线段垂直平分线的性质定理的逆定理是判定点在直线上或直线经过某点的重要依据.3.三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三角形三个顶点的距离相等.参考答案1. 垂直 解析：连结 BC，AD，AB=AC，DB=DC，A 在线段 BC 的垂直平分线上，D 在线段 BC 的垂直平分线上，AD 是线段 BC 的垂直平分线，即 ADBC，故答案为：垂直2.115 19 解析：DM，EN 分别垂直平分 AB 和 AC，AM=BM，AMD=BMD=90，又 MD=MD，AMDBMD，B=BAD，AD=BD.同理
5、C=CAE，AE=CE.BAC=DAE+BAD+CAE，BAC=DAE+B+C；又BAC+B+C=180，DAE=50，BAC=115；ADE 的周长为 19 cm，AD+AE+DE=19，由知，AD=BD，AE=EC，BD+DE+EC=19，即 BC=19 cm.3. 10 解析：因为ABC 与ADC 关于直线 AC 对称，所以 AC 垂直平分 BD，所以 BE=DE=12BD，所以 1=2ABCDS四 边 形 ，所以 BD=10.4.解：MN 是边 AB 的中垂线，AN=BN，ANM=BNM=90，又 MN=MN，AMNBMN，AM=BM，BAM=B.设B=x，则BAM=x，C=3B，C=
6、3x.在ABC 中，由三角形内角和定理，得 x+x+3x+50=180，x=26，即B=26 5.D 解析：（1）作点 P 关于直线的对称点 P；(2)连结 Q，交直线于点 M；沿着 PMQ 的路线铺设，即为最短.6.解：如图，作点 P 关于 AB 的对称点 ，连结 交 AB 于点 M，则点 M 就是所求的点，即把在点 Q 位置的白球打到边 AB 上的点 M 处，才能反弹回来撞到黑球.7.A 解析：如图，作点 P 关于 OA 的对称点 C，关于 OB 的对称点 D，连结 CD，交 OA 于E，OB 于 F此时，PEF 的周长最小连结 OC，OD，PE，PF点 P 与点 C 关于 OA 对称，O
7、A 垂直平分PC，COA=AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得DOB=BOP，PF=DF，OD=OPCOA+DOB=AOP+BOP=AOB=，OC=OD=OP=2，COD=2又PEF 的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，OC=OD=CD=2，COD 是等边三角形，2=60，=30故选 A8. 解：如图所示：（1）作 BC 的垂直平分线 b，交 BC 于 E；（2）分别作 BE、CE 的垂直平分线 a，c，分别交 BC 于 D，F；（3）连接 AD，AE，AF，则 AD，AE，AF 即为分割线.9.解：如图，连结 C，作线段 的垂直平分线 EF，则直线 EF 即为所求.（2）连结 BO， BO, .由ABC 与 ABC关于直线 MN 对称，易知BOM= BOM.由 AC与 关于直线 EF 对称，易知 OE= ，所以 =BOM+ M+ F+ =2( M+ F)=2，即B=2.
