1、1.如图所示，在ABC 中， C90，AC BC ， AD 平分CAB ，并交BC 于 D，DEAB 于 E，若 AB6cm，求DEB 的周长。2.如右图，已知 BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若BD=CD.求证： AD 平分BAC.初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例 1. 如图， 四点共线， ， ， ， 。求证：,AFEBACEBDFAEBCD。CD例 2. 如图，在 中， 是ABC 的平分线， ，垂足为 。求证：ABCEADBE。21例 3. 如图，在 中， ， 。 为 延
2、长线上一点，点 在ABC90ABCFABE上， ，连接 和 。求证： 。BCEF,EFE例 4. 如图， / ， / ，求证： 。ABCDBACD例 5. 如图， 分别是 外角 和 的平分线，它们交于点 。求证：,APCABMCNAP为 的平分线。BPMN例 6. 如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是DABCCDABADE的中线。求证： 。ABD2E例 7. 如图，在 中， ， ， 为 上任意一点。求证：ABCA12PAD。ABCP同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等2. 根据下列条件
3、，能画出唯一 的是( )ABCA. ， ， B. ， ，3AB4843BC0AC. ， ， D. ，60C5 9063. 如图，已知 ， ，增加下列条件： ； ；12DEBCD； 。其中能使 的条件有( )DEEA. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个（第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）4. 如图，已知 ， ， ，则 等于( )ABCDA23BDA. B. C. D. 无法确定67 6二、填空题：5. 如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，且90ACBACD， ，则点 到 的距离等于_ ；:2:3CD10cmcm6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠
4、， 为折痕，则 的大小为,D_；三、解答题：7. 如图， 为等边三角形，点 分别在 上，且 ， 与ABC,MN,BCAMCNA交于 点。求 的度数。BNQN8. 如图， ， ， 为 上一点， ， ，交90ACBBCDAECDBF延长线于 点。求证： 。DFE9. 如图，已知 AEAD，AFAB ，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求证：（1）AC=EF，（2）ACEF10. 已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD 的延长线于 E.求证：BD=2CE.11、如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DCBE，DG CE 于 G。（1）求证：G 是 C
5、E 的中点； （2）B2BCE。12、在ABC 中，AB AC，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点F，DF AC，求证：AE 平分BAC。13、如图，在ABC 中，B22.5 0，C 60 0，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD，AEBC 于点 E，求 EC 的长。26答案例 1. 思路分析：从结论 入手，全等条件只有 ；由 两边ACFBDEACBDEF同时减去 得到 ，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是EF，也可以是 。CD由条件 ， 可得 ，再加上 ，A90F，可以证明 ，从而得到 。B解答过程： ，CEBDF90F在 与 中RtA
6、tEB (HL)tCtDAF，即EBAFBE在 与 中ACD(SAS)FBE解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例 2. 思路分析：直接证明 比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，21C 证明 且 。也可以看成将 “转移 ”到 。212那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 延长交 于 ，则构造了FBD，ADBCF
7、可以通过证明三角形全等来证明2=DFB ，可以由三角形外角定理得 DFB=1+C。解答过程：延长 交 于ADBF在 与 中BF(ASA 90B2FB又 。1DC21C解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段 为边的 绕点 顺时针旋转 到 的位置，而线段 正好是AEB90CBFCF的边，故只要证明它们全等即可。CBF解答过程： ， 为 延长线上一点90ABCFAB在 与 中EBF(SAS)AC。E解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应
8、边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例 4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接 AC/ ， /BDB，1234在 与 中43AC(ASA)BD。解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5. 思路分析：要证明“ 为 的平分线” ，可以利用点 到 的距离相BPMNP,BMN等来证明，故应过点 向 作垂线；另一方面，为了利用已知条件 “ 分别, ACP
9、是 和 的平分线” ，也需要作出点 到两外角两边的距离。MACNP解答过程：过 作 于 ， 于 ， 于PDBMEACFBN平分 ， 于 ， 于E平分 ， 于 ， 于AFBF，PPD，且 于 ， 于BMDN为 的平分线。BN解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例 6. 思路分析： 要证明“ ”，不妨构造出一条等于 的线段，然后证其等2ACE2AE于 。因此，延长 至 ，使 。ACF解答过程：延长 至点 ，使 ，连接EDF在 与 中BD(SAS)AEFBD，ADCB又 C，AF在 与 中D
10、CF(SAS)A又 2E。C解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例 7. 思路分析：欲证 ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证ABCP明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段 。而ABC构造 可以采用“截长” 和“补短”两种方法。ABC解答过程：法一：在 上截取 ，连接NN在 与 中P12A(SAS)NCP在 中，BPBN，即 ABACPBPC。法二：延长 至 ，使 ，连接ACMABPM在 与 中BP12(SAS)APBM在 中， CPC。解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“
11、截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长” ；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短” 。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题：1. A 2. C 3. B 4. C二、填空题：5. 4 6. 90三、解答题：7. 解： 为等边三角形B，A6在 与 中MCNB(SAS)ANC。60QBAQNBC8. 证明： ，EDF
12、90FACBE在 与 中FAB(AAS)CE。F9. 证明：（1）AD/BC ， BDAB=180又DAB4EAF3=360，3= 4=90DABEAF=180B=EAF在ABC 和FAE 中 ABCFAE （SAS） AC=EF（2）ABCFAE1= F 又1 3=2F2= 3 又 3=90 2=90 AGEF，即 ACEF10. 证明：延长 BA、CE 交于点 F. 3=90，5 F=90又BECE，4=90，7=90 1F=90，6=18090=901= 5在ABD 和ACF 中 ABDACF（ASA）BD=FC在BEF 和BEC 中 BEF BEC（ASA）EF=EC FC=2EC BD=2EC11. 提示：连结 ED12、延长 FE 到 G，使 EG EF，连结 CG，证DEFCEG13、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线， ADBD ，BDAB22.5 026ADE 45 0，AE AD 62又C60 0EC 363AE
