1、221 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念教学目标了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a 0）及其派生的概念； 应用一元二次方程概念解决一些简单题目1通过设置问题，建立数学模型， 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义2一元二次方程的一般形式及其有关概念3解决一些概念性的题目4态度、情感、价值观4通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情重难点关键1 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一
2、元二次方程的概念教学过程一、复习引入学生活动：列方程问题（1） 九章算术 “勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈， 那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为 x尺， 那么， 这个门的宽为_ 尺， 根据题意， 得_整理、化简，得：_问题（2）如图，如果 ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点ACB如果假设 AB=1，AC=x ，那么 BC=_，根据题意，得：_整理得：_问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那么这个正
3、方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_整理，得：_老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理二、探索新知学生活动：请口答下面问题（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3） 都有等号，是方程因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理
4、， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a 0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a 0） 因此，方程（8-2x） （5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x 2-26x+22=0其中二次
5、项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22例 2 （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1） 2+（x-2） （x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1） 2+（x-2） （x+2）=1 化成ax2+bx+c=0（a 0）的形式解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x 2+2x-4=0其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4三、巩固练习教材 P32 练习 1、2四、应用拓展例 3求证：关于 x 的方程（m 2-8m+
6、17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+170 即可证明：m 2-8m+17=（m-4） 2+1（m-4） 20（m-4） 2+10，即（m-4） 2+10不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0） 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用六、布置作业1教材 P34 习题 221 1、22选用作业设计作业设计一、选择题1在下列方程中，
7、一元二次方程的个数是（ ） 3x 2+7=0 ax 2+bx+c=0 （x-2 ） （x+5）=x 2-1 3x 2- =05xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、 一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B 2，-3 ，18 C2，-3 ，6 D2，3，63px 2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数二、填空题1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_2一元二次方程的一般形式是_3关于 x 的方程（a-1）x 2+3x=0 是一元二
8、次方程，则 a 的取值范围是_七、板书设计一元二次方程（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a 0） 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用答案:一、1A 2B 3C二、13，-2，-4 2ax+bx+c=0（a0） 3a1221 一元二次方程第二课时教学内容1一元二次方程根的概念；2 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根
9、的概念；再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题重难点关键1重点：判定一个数是否是方程的根；2 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题问题 1如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？108设梯子底端距墙为 xm，那么，根据题意，可得方程为_整理，得_列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 问题 2一个面积为 120m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m， 苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为 xm，则长为
10、_m根据题意，得_整理，得_列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？老师点评：（1）问题 1 中 x=6 是 x2-36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0 的解（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根回过头来看：x 2-36=0 有两个
11、根，一个是 6，另一个是6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解例 1下面哪些数是方程 2x2+10x+12=0 的根？-4，-3 ，-2，-1，0，1，2，3，4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程 2x2+10x+12=0 的两根例 2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）
12、x 2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义解：（1）移项得 x2=64根据平方根的意义，得：x=8即 x1=8，x 2=-8（2）移项、整理，得 x2=2根据平方根的意义，得 x=即 x1= ，x 2=-（3）因为 x2-3x=x（x-3）所以 x2-3x=0，就是 x（x-3）=0所以 x=0 或 x-3=0即 x1=0，x 2=3三、巩固练习教材 P33 思考题 练习 1、2四、应用拓展例 3要剪一块面积为 150cm2 的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm， 这块铁片应该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm列方程 x（x-5）=15
13、0 ，即 x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由（2）完成下表：x 10 1112 13 14 15 16 17 x2-5x-150（3）你知道铁片的长 x 是多少吗？分析：x 2-5x-150=0 与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根， 但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根解：（1）x 不可能小于 5理由：如果 x5，则宽（x-5）0，不合题意x 不可能等于 10理由：如果 x=10，则面积 x2-5x-150=-100，也不可能（2）x 10 1112 13
14、 14 15 16 17 x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 （3）铁片长 x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根六、布置作业1教材 P34 复习巩固 3、4 综合运用 5、6、7 拓广探索 8、92选用课时作业设计作业设计一、选择题1方程 x（x-1）=2 的两根为（ ） Ax 1=0，x 2=1 Bx 1=0，x 2=-1 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=-1，x 2=22方程 ax（
15、x-b ）+ （b-x）=0 的根是（ ） Ax 1=b， x2=a Bx 1=b，x 2= Cx 1=a，x 2= Dx 1=a2，x 2=b2aa3已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根（b0） ，则 =（ ） cbA1 B-1 C0 D2二、填空题1如果 x2-81=0，那么 x2-81=0 的两个根分别是 x1=_，x 2=_2已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为_3方程（x+1） 2+ x（x+1 ）=0，那么方程的根 x1=_；x 2=_七、板书设计 一元二次方程（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根八、课后反思：答案:一、1D 2B 3A二、19，-9 2-13 3-1，1- 2
