1、第十一章 图与网络规划,11.1 图与网络的基本概念 11.2 树及最小树问题 11.3 最短路问题 11.4 网络最大流问题 11.5 最小费用最大流问题,2019/4/9,2,11.1 图与网络的基本概念,图的概念 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V，边的集合记为E，则图可以表示为：G（V，E），点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。 在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。,2019/4/9,3,图的表示,2019/4/9,4,点与边,顶点数 集合V中元素的个数，记作p
2、(G)。 边数 集合E中元素的个数，记作q(G)。 若e=u,vE，则称u和v为e的端点，而称e为u和v的关联边，也称u，v与边e相关联。 例如图中的图G，p(G)=6，q(G)=9， v1，v2是e1和e2的端点，e1和e2都是v1和v2的关联边。,2019/4/9,5,点边关系,若点u和v与同一条边相关联，则u和v为相邻点；若两条边ei和ej有同一个端点，则称ei与ej为相邻边。 例如在图中v1和v2为相邻点， v1和v5不相邻；e1与e5为相邻边，e1和e7不相邻。,2019/4/9,6,简单图,若一条边的两个端点是同一个顶点，则称该边为环；又若两上端点之间有多于一条边，则称为多重边或平
3、行边。 例如图的e8为环，e1，e2为两重边，e4，e5也是两重边。 含有多重边的图称作多重图。 无环也无多重边的图称作简单图。,2019/4/9,7,图的次,次 点v作为边的端点的次数，记作d(v)，如图中，d(v1)=5, d(v4)=6等 端点次为奇数的点称作奇点；次为偶数的点称作偶点。 次为1的点称为悬挂点，与悬挂点连接的边称作悬挂边； 次为0的点称为孤立点。 图中的点v5即为悬挂点，边e9即为悬挂边，而点v6则是弧立点。,2019/4/9,8,定理,若图G中所有点都是孤立点，则称图G为空图。 定理1 所有顶点的次的和，等于所有边数的2倍。即,2019/4/9,9,定理2 在任一图中，
4、奇点的个数必为偶数。 设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有,2019/4/9,10,链,由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。 v0称为链的起点， vn称为链的终点。 若v0 vn则称该链为开链，反之称为闭链或回路。,2019/4/9,11,简单链,若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。 除起点和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中,是一条链，且是开链，也是简单链，但不是初等链，因为v1出现两次。,2019/4/9,12,圈,若链中所含的边均不相同，则称为简单链；若点均不相同，则称为初等链或通路。除起点
5、和终点外点均不相同的闭链，称为初等回路或称为圈。 例如图中,是一个圈。,2019/4/9,13,连通性,若一个图G的任意两点之间均至少有一条通路（初等链）连接起来，则称这个图G是一个连通图，否则称作不连通图。 例如图中，v1和v6之间没有通路，因此它不是连通图，而如果去掉v6，则构成一个连通图。,2019/4/9,14,连通的意义,连通是一个很重要的概念，如果一个问题所对应的图是一个不连通图，则该问题一定可以分解成互不相关的子问题来加以研究，即可以把不连通图分解成连通的子图来研究。,2019/4/9,15,子图,子图的定义 设， G1=(V1,E1), G2=(V2,E2)，如果V1V2 ，又
6、E1E2 ，则称G1是G2的子图。,必须指出，并不是从图G2中任选一些顶点和边在一起就组成G2的子图G1，而只有在G2中的一条边以及连接该边的两个端点均选入G1时，G1才是G2的子图。,2019/4/9,16,特殊子图,当G1中不包含G2中所有的顶点和边，则称G1是G2的真子图。 部分图 若V1=V2，E1E2 ，则称G1为G2的一个部分图。 若V1V2 ， E1= u,v | uV1, vV1，则称G1是G2中 由V1导出的导出子图。,2019/4/9,17,有向图,在有些图中，边是没有方向的，即u,v=v,u，这种图称为无向图。 而有些关系是不对称的，例如父子关系、上下级关系、加工工序的先
7、后顺序等都具有单向性，用图来表示这些关系时，得到的边是具有方向的，用带箭头的线来表示，称为弧。 从顶点u指向的弧a，记作a=(u,v),(u,v)(v,u)，其中u称为a的起点，v称为a的终点，这样的图称为有向图。仍以V表示点的集合，以A表示弧的集合，则有向图表示为D（V，A）,2019/4/9,18,有向图例,2019/4/9,19,有向图的链路,有向图中，在不考虑边的方向时，也可以相同地定义链，若有向图D（V，A）中，P是一个从u到v的链，且对P中每一条弧而言，在序列中位于该弧前面的点恰好是其起点，而位于该弧后面的点恰好是其终点，这个链P就称为是D中从u到v的一条路。 当路的起点与终点相同
8、，即u=v时，称作一条回路。 顶点全不相同的路称为初等路。 除起点和终点外点均不相同的回路称为初等回路。,2019/4/9,20,11.2 树及最小树问题,一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。 定理 以下关于树的六种不同描述是等价的： 无圈连通图。 无圈，q=p-1。 连通，q=p-1。 无圈，但若任意增加一条边，则可得到一个且仅一个圈。 连通，但若任意舍弃一条边，图便不连通。 每一对顶点之间有一条且仅有一条链。,2019/4/9,21,部分树,若T是图G（V，E）的部分图，且T是树，则称T为G的部分树。 若T是图G的部分树，则从G
9、中去掉T中所有的边，所得到的子图称为G中的T的余树，也称为G的一个余树。 余树不一定是树！,一个没有圈的图称为一个无圈图或称为林。 一个连通的无圈图则称为树，一个林的每个连通子图都是一个树。,2019/4/9,22,网络概念,图只能用来研究事物之间有没有某种关系，而不能研究这种关系的强弱程度。 网络 赋权的图 权 程度的度量，数量描述。,2019/4/9,23,网络最短树问题,最短树问题的一般提法是：选取网络中的部分图，使得网络连通，且使总权数最短。 在实际应用中，经常碰到需要求一个赋权连通图的最短树的问题。例如，用节点表示城市，用边表示可以在两个城市之间架设光缆，边上的权表示光缆的长度，试求
10、应如何架设光缆，才能使任意两城市之间均由光缆相通，且使光缆的总长度最短。 求最短树的方法，依据的是树的特点，即无圈和连通，加上最短的要求，方法主要有两种：一种称为破圈法，一种称为生长法,2019/4/9,24,网络最短树-破圈法原理,破圈法原理 如果网络图中无圈并且q=p-1，则已经是树； 如果网络图中有圈，则截去该圈中权数最大的边；这样，并不影响网络图的连通性，且能使边数减少一个； 经过一定次数的截边，网络图中将再也没有圈，成为无圈图； 如果此时的网络满足q=p-1，则已经是树； 由于每次截去的边在圈中具有最大的权数，因此获得的树也是最短的树。,2019/4/9,25,破圈法步骤 在网络图中
11、寻找一个圈，若已经无圈则转。 在圈中选取权数最大的边，从网络图中截去该边，对新的网络，转。 若q=p-1，则已找到最短树，否则网络图不连通，无最短树。,方法示例： 例 对图中的网络，用破圈法求最短树。,2019/4/9,26,网络最短树-生长法原理,生长法原理 类似于自然界中植物生长的过程，结合就近生长和避免构成圈的要求，逐步生长直到所有的点都已经被包含。 如果原网络不连通，则在生长过程中会出现某些点不能被生长，则结束。 避圈的原理是已经被包含在生长过的树中的点不再被生长。 由于在每次生长时都采用就近生长的方法，生成的树一定是最短树。,2019/4/9,27,生长法步骤 从图上任选一点i，令,
12、若这样的边不存在，则原图没有最短部分树。 令,若S=V，则已找到最短树，否则，,2019/4/9,28,生长法示例取S=v1, 则S到其余点的距离在距离矩阵中第一行,2019/4/9,29,2019/4/9,30,2019/4/9,31,2019/4/9,32,2019/4/9,33,11.3 最短路问题,最短路问题的一般提法是：欲寻找网络中从起点1到终点n的最短路线，即寻求连接这两点的边的总长度为最小的通路，最短路线中的网络大都是有向网络，也可以是无向网络。,2019/4/9,34,最短路问题的狄克斯拉算法,把V分成两个集合,令,计算,求,若vk=vn则已经求得vn到v1的最短路线，否则继续
13、计算,使用条件 lij0,2019/4/9,35,算法解释若以P(vi)记v1到vi的最短距离，则根据动态规划原理应有,第一步 取P(v1)0，而T(vj)则是对P(vj)所取的初值；,2019/4/9,36,第二步 利用P(vi)已知，据上式对T(vj)进行修正；,2019/4/9,37,第三步 对T(vj)求,2019/4/9,38,k=2, 不是最优，继续,2019/4/9,39,在所有的T(vj)中确定最小的,2019/4/9,40,k=3, 不是最优，继续,2019/4/9,41,k=5, 不是最优，继续,2019/4/9,42,k=6=n, 已经是最优。如果希望计算v1到v4的最短
14、距离，继续,2019/4/9,43,表格实现,2019/4/9,44,2019/4/9,45,福德算法,适用于有负权，但无负回路的有向或无向网络，设dj(k)为从1到j的边数不超过k的路线中距离最短的。 算法依据的思想是动态规划最优性原理，在此处形成递推公式： 其算法步骤如下： 令,计算,若对所有j,则最优，否则把k的值加1，继续计算。 若k=n-1，则说明存在负回路，最短路线不存在。,2019/4/9,46,福德算法示例,2019/4/9,47,2019/4/9,48,0,2,5(2),10(2),9(3),2019/4/9,49,2019/4/9,50,例 求：5年内，哪些年初购置新设备，
15、使5年内的总费用最小。解：（1）分析：可行的购置方案（更新计划）是很多的，如： 1） 每年购置一台新的，则对应的费用为：11+11+12+12+13 +5+5+5+5+5 = 842 )第一年购置新的，一直用到第五年年底，则总费用为： 11+5+6+8+11+18 = 59 显然不同的方案对应不同的费用。,2019/4/9,51,（2）方法：将此问题用一个赋权有向图来描述，然后求这个赋权有向图的最短路。求解步骤：1）画赋权有向图：设 Vi 表示第i年初，(Vi ,Vj )表示第i 年初购买新设备用到第j年初（j-1年底），而Wi j 表示相应费用，则5年的一个更新计划相当于从V1 到V6的一条
16、路。 2）求解 （标号法）,2019/4/9,52,W12 =11+5=16 W13 =11+5+6=22 W14 =11+5+6+8=30 W15 =11+5+6+8+11=41 W16 =11+5+6+8+11+18=59,W23 =11+5=16 W24 =11+5+6=22 W25 =11+5+6+8=30 W26 =11+5+6+8+11=41,W45 =12+5=17 W46 =12+5+6=23 W56 =13+5=18,W34 =12+5=17 W35 =12+5+6=23 W36 =12+5+6+8=31,2019/4/9,53,11.4 网络最大流问题,所谓最大流问题就是在
17、一定的条件下，要求流过网络的物流、能量流或信息流等流量为最大的问题，在最大流问题中一般有如下规定： 网络有一个起点s和一个终点t 网络是有向网络，即流有方向性。 在网络各条弧上都有一个权，表示允许流过的最大流量。若以bij表示由i到j的弧上允许流过的最大流量，以xij表示实际流过该弧的流量，则0 xij bij 网络中，除起点s和终点t之外的任何顶点，流入量总和应该等于流出量的总和。,2019/4/9,54,最大流问题的数学模型,2019/4/9,55,最大流-最小割集定理,最大流最小割集定理揭示了最小割集（网络中的瓶颈）容量与最大流量的关系，也提供了一个求最大流的方法。,网络割集容量,最小割
18、集 所有割集中容量最小的一个割集。,流过网络的最大流量等于最小割集的容量,割集,2019/4/9,56,2019/4/9,57,福德富克逊方法原理,算法的原理 首先,依据最大流问题的要求,为网络分配一个可行流。 所谓可行流,是指所有弧上流量满足容量限制,所有中间点满足平衡条件的流； 若这一可行流的流量就是最大流量，则问题已经解决； 若不是最大流量，则增加流量获得流量更大的可行流。,网络中的最大流量fmax值大小是由网络中最狭窄处瓶颈的容量所决定的。,2019/4/9,58,福德富克逊方法流图,2019/4/9,59,福德富克逊方法讨论,若弧(vi,vj)上的流量满足xij=bij，则称该弧为饱
19、和弧，否则称为非饱和弧。若弧(vi,vj)上的流量xij=0。则称该弧为零流弧，否则称为非零流弧。一条从s到t的初等链是由s开始的点、边序列，其中没有相同的点，也不考虑弧的方向。把这条链中的s到t方向相同的弧称为正向弧。把这条链中的s到t方向相反的弧称为逆向弧。 在上述的可行流中，从s到t的某个初等链满足：其上的正向弧均为非饱和弧。其上的逆向弧均为非零流弧。 则称该链为一条流量增广链。,2019/4/9,60,流量增广链: 从s到t的某个初等链满足 其上的正向弧均为非饱和弧。 其上的逆向弧均为非零流弧。 结论：若在可行流中，存在从s到t的增广链，则该可行流不是最大流，其流量可以增加；否则若不存
20、在从s到t的增广链，则该可行流是最大流。 增广链的性质： Vs到增广链上任一点也有增广链; 增广链上任一点到Vt也有增广链;,2019/4/9,61,福德富克逊方法步骤,为网络分配初始流xij标在图中弧旁的( )内 寻求增广链，若不存在，则已最优, 否则 在增广链上调整流量，产生新的可行流。重复、两步，直到最优。,2019/4/9,62,寻求增广链的方法,寻求流量增广链的方法，是依据增广链的性质而产生的，其基本思路类似于最短树问题的生长法。 从s开始，逐个检查每个点i，看是否存在从s到i的增广链。 如果存在从s到i的增广链，而（Vi Vj）非饱和或（Vj Vi）非零流， 则存在从V1到Vj的增
21、广链。,2019/4/9,63,福德富克逊方法示例,为网络分配初始流xij标在图中弧旁的( )内,2019/4/9,64,寻求增广链 从s开始，赋上标记（，），表示s是源点，能够得到任意多的量。s称为已标记的点。也表示增广链可以从V1延伸到V1,-, ,2019/4/9,65,如果vi是已经标记的点, vj是未标记的点 则当(vi ,vj)是非饱和弧时, vj可以标记: vi+,ejej=minei, bij-xij当(vj ,vi)是非零流弧时, vj可以标记: vi-,ejej=minei, xji 如果vt可以标记,则找到增广链, 否则继续. 如果对于一切未标记的点, 均不能再标记, 则
22、已经是最优.,2019/4/9,66,如图v1是已经标记的点, 其它点是未标记的点(v1 ,v2)是非饱和弧, v2可以标记: v1+,e2e2=mine1,b12-x12(v1 ,v3)是饱和弧, 目前v3和其它点暂时不能标记，即暂时没有从v1 到v3或其它点的增广链。,-, ,vs+, 11,2019/4/9,67,如图v2是已经标记的点, v3是未标记的点(v3 ,v2)是非零流弧, v3可以标记: v2-,e3e3=mine2, x32=min11,3,-, ,vs+, 11,v2-, 3,v2+, 4,v3+, 3,v5+, 4,2019/4/9,68,vt已经标记, 找到流量增广链
23、。,-, ,vs+, 11,v2-, 3,v2+, 4,v3+, 3,v5+, 4,正向流流量增加et，逆向流流量减少et 调整后流量 f=17,2019/4/9,69,-, ,vs+, 7,v2-, 3,v3+, 1,v3+, 3,v4+, 3,vt已经标记, 找到流量增广链。,2019/4/9,70,正向流流量增加et=3，逆向流流量减少et,调整后流量 f=20,2019/4/9,71,vsv2已经标记，其余点不能标记，已经最优 最大流量 fmax=20,-, ,vs+, 4,2019/4/9,72,11.5 最小费用最大流问题,定义 已知网络G =(V，E，C，d)，f 是G上的一个可
24、行流， 为一条从vs到vt的增广链， 称为链的费用。,若 * 是从vs到vt的增广链中费用最小的增广链，则称 * 是最小费用增广链。 结论：如果可行流 f在流量为W(f )的所有可行流中的费用最小，并且 *是关于f 的所有增广链中的费用最小的增广链，那么沿增广链 *调整可行流f，得到的新可行流f *也是流量为W(f*)的所有可行流中的最小费用流。当f * 是最大流时，就是最小费用最大流。,2019/4/9,73,寻找关于f 的最小费用增广链：构造一个关于f 的赋权有向图L(f ) ，其顶点是原网络G的顶点，而将G中的每一条弧 ( vi, vj )变成两个相反方向的弧（vi， vj）和(vj ,
25、 vi)，并且定义图中弧的权lij为： 1.当 ，令 2.当（vj，vi）为原来网络G中（vi， vj）的反向弧，令在网络G中寻找关于f 的最小费用增广链等价于在L(f )中寻求从vs 到vt 的最短路。,2019/4/9,74,步骤： （1）取零流为初始可行流 ，f (0) =0。 （2）一般地，如果在第k-1步得到最小费用流 f (k-1)，则构造图 L( f (k-1) )。 （3）在L( f (k-1) )中，寻求从vs到vt的最短路。若不存在最短路，则f (k-1)就是最小费用最大流；否则转(4)。 （4）如果存在最短路，则在可行流f (k1)的图中得到与此最短路相对应的增广链，在增广链上，对f (k1)进行调整，调整量为：,2019/4/9,75,令,得到新可行流f (k) 。对f (k)重复上面步骤，返回（2）。,例 求网络的最小费用最大流，弧旁权是（bij , cij）,2019/4/9,76,2019/4/9,77,2019/4/9,78,2019/4/9,79,2019/4/9,80,第十一章习题 1、2、4、8,
