1、- 1 -运动图象解直线运动问题例 1从车站出发的每辆车都先以加速度 a 作匀加速直线运动，加速到速度为 v 时开始作匀速直线运动，由于发车的时间间隔相同，相邻的作匀速直线运动的两车间距均为 s，则相邻两车发车的时间间隔为_.解：ts 末第一、第二辆车的速度都达到 v，此后两车间距 s 不变.此时第一辆车通过的路程数值上等于梯形OABt 的面积，第二辆车通过的路程数值上等于三角形 t1Bt 的面积，两图形的面积之差即平行四边形 OABt1的面积数值上等于两车的路程之差，即两车的间距 s.依据平行四边形的面积等于一边与这一边上高的乘积，从图 1 中可对应找到 s=vt，即相邻两车发车的时间间隔为
2、 s/v。例 2质点沿光滑斜面无初速下滑，第一次从 A 至 B，第二次从 A 至 C 再到 D，B、D 在同一水平面，AB=ACCD，如图 2 所示。质点在 C 处不损失能量，两次下滑时间分别为 t1 与 t2，则 A.t1t2. B.t1t2. C.t1=t2. D.无法判断.由于在下滑过程中不损失机械能，因此质点到达 B 点和 D 点的速度均为 v，如图 3 所示，即两次下滑的 vt 图线的终点均应落在直线 vF 上.OF 为第一次下滑的 vt 图线，OG 为第二次下滑 AC 段的图线，由于 AC 段的加速度比 AB 段大，OG 的斜率比 OF 的斜率大.GH 为 CD 段图线，H 落在
3、vF 上，H 可能在 F 的左边、右边或与 F 重合. 若 H 正好与 F 重合，那么四边形 OGHt1 的面积比三角形 OFt1 的面积大，这说明第二次下滑的路程较长，这与 AB=ACCD 相矛质，所以 H 不可能与 F 重合，即 t1 不可能等于 t2。若 H 在 F的右边，如图 4.GH 与 OF 的交点为 M，过 M 作 MNvH，连 FN，FN 与 MH 交于 K，Ft1 与 MH 交于 I.FMH 与FNH 同底等高，两者面积相等，去掉公共部分FKH 的面积，可得MKF 与HKN 的面积相等.两次下滑的 vt 图线包围的面积，公共重叠的部分是四边形 OMIt1，第一次下滑的 vt
4、图中不重叠部分只有MFI，而它的面积 SMFISMFK=SNHK，SNHK 只是第二次下滑的 vt 图中不重叠面积中的一部分，这就证明了 H 在 F 的右边时，四边形 OGHt2。的面积比三角形 OFt1 的面积大，这与题设矛盾，所以 H 只能在 F 的左边，即 t1t2，（A）选项正确.例 3作匀加速直线运动的物体先后经过 A、B、C 三点，在 AB 段物体的平均速度为 3m/s，在 BC 段平均速度为 6m/s，AB=BC，则物体在 B 点的速度为 A.4m/s. B.4.5m/s. C.5m/s. D.5.5m/s.AB=BC，通过两段路程的时间之比为 t1：t2=2：1.图 5 画出了
5、物体通过两段路程的 vt 图，根据匀变速直线运动中某段中间时刻的瞬时速度等于整段时间的平均速度，那么 AB 段中间时刻的速度 vF=的 MGNK，依据平行线所截线段对应成比例.那么 EG:GK=t1t2=21，又因为 F 为 EG 中点，H 为 GK 中点，所以FG：GH=2：1，而 FG：GH=项正确.例 4作匀变速直线运动的物体在运动过程中通过一段路程 s 用时间为 t，接着再通过一段路程 s 用时间为 2t，又继续前进，则物体的加速度大小为_.由后通过路程 s 所用的时间长，可知一定是匀减速运动，物体作匀减速运动的 vt 图象如图 6 所示，第一段路程中间时刻的速度 vA 等于第一段路程
6、的平均速度 s/t，第二段路程中间时刻的速度 vC 等于第二段路程的平均速度 s/2t，这二个中间时刻的时间间隔 tC-tA=3t/2，根据 v-t 图线斜率的绝对值在数值上等于加速度的大小，设直线 EG 的斜率为 k，则例 5质点 P 以 O 点为平衡位置竖直向上作简谐运动，同时质点 Q 也从 O 点被竖直上抛，它们恰好同时到达最高点，且高度相同，在此过程中，两质点的瞬时速度 vP 与 vQ 的关系应该是 A.vPvQ. B.先 vPvQ，后 vPvQ，最后 vP=vQ=0.C.vPvQ. D.先 vPvQ，后 vPvQ，最后 vP=vQ=0.先在图 7 中画出 Q 作匀减速运动的 vt 图
7、象.由于 P 作简谐运动，当它由平衡位置向极端位置运动过程中，受到的回复力从零开始不断变大，它的加速度也从零开始不断变大，速度不断变小，P 作加速度不断增大的减速运动，其 vt 图线是一条曲线.根据 vt 图线上任一点的切线的斜率数值上等于质点在该时刻的加速度，由于 P 的加速度由零开始不断变大，画出曲线切线斜率的绝对值也应由零开始不断增大，即曲线的切线应从呈水平状态开始不断变陡，那么只有向右边凸出的下降的曲线才能满足这样的条件.又因 P与 Q 的运动时间相等，所以曲线的终点也应在 t，P 与 Q 的路程相等，所以曲线包围的面积应等于三角形 vQ0Ot 的面积，根据这些要求，曲线的起点，即质点
8、 P 的初速度 vP0 必定小于 Q 的初速 vQ0，且两条 vt 图线必定会相交，如图 7 中的实线所示.图 7的两条虚线表示的质点 P 的 vt 图线都不满足题设条件（P 与 Q 的路程相等），所以（D）选项正确.- 2 -例 6甲、乙两车同时同向沿直线驶向某地，甲在前一半时间以 v1 匀速运动，后一半时间以 v2 匀速运动.乙在前一半路程以 v1 匀速运动，后一半路程以 v2 匀速运动，先到目的地的是_.图 8 画出了甲与乙的 st 图线，图象画好答案也出现了，t 乙t 甲，所以甲先到达目的地.图 8中假设 v1v2，若 v2v1 可得到同样的结果，此题也能用 vt 图象求解，无论用 s
9、t 图象还是vt 图象，都要比用计算的方法简捷得多.直线运动中的典型问题及解法一、初速度为0的匀加速直线运动问题：设法将中间位置或中间小过程与起点相联系例：物体从光滑的斜面顶端由静止开始匀加速下滑，在最后1s 内通过了全部路程的一半，则下滑的总时间为多少？分析：物体运动的典型特征为 ，最后1s 刚好是一段中间过程。解：如图所示，有，而 ，由于 ，解得：说明：末速度为0的匀减速直线运动在变换成反方向的初速度为0的匀加速直线运动后可以采用同样的方法处理。二、不同性质的直线运动过程相连接的问题匀速、匀加速、匀减速直线运动中的两个或三个组合在一起。解题策略：转折点速度。例：质点由 A 点出发沿直线 A
10、B 运动，行程的第一部分是加速度大小为 a1的匀加速运动，接着做加速度大小为 a2的匀减速运动，到达 B 点时恰好速度减为零。若 AB 间总长度为 S，试求质点从 A 到 B 所用的时间 t。解：设第一阶段的末速度为 V， 则由题意可知： ，解得： ，而所以 说明：只要涉及不同性质的直线运动，不管题中待求量是什么，解题的首要任务都应该是求出转折点速度。三、运动性质多变或周期性变化的问题：先描绘出物体的 图像，从全局上把握住运动的特点。例：一个物体原来静止在光滑的水平地面上,从 开始运动，在第1、3、5奇数秒内，给物体施加方向向北的水平推力，使物体获得大小为 的加速度，在第2、4、6偶数秒内，撤
11、去水平推力，向经过多长时间，物体位移的大小为？分析：如图所示，从图线下方所围图形的面积关系可以看出，每一秒内物体运动的位移大小构成等差数列，所以可以结合等差数列的求和公式进行求解。解：物体在第1S 内的位移为，由等差数列的求和公式得 n（n 为正整数）秒内物体的总位移。解得：8n9 ，表明该位移不能在整数秒内完成，实际运动时间应该在之间。而物体在前8S 内的位移为 ，且 。设物体在剩余内所用时间为 ，由于 ，解得： 。所以物体完成4025m 的位移总共所用的时间为四、追及和相遇问题 【图像】例：火车以速度 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 处有另一火车沿同方向以速度 （对地、且 ）做匀速运动
12、。司机立即以加速度 紧急刹车要使两车不相撞， 应满足什么条件？分析：两辆火车恰好不相撞的条件是：后车追上前车瞬间两者速度刚好相等。 （务必注意不是后车追上前车瞬间后车速度为- 3 -零，这一点可通过分析最后一段时间内的位移大小关系搞清。 ）解：两车恰好不相撞的临界条件是：后车追上前车瞬间两者速度刚好相等。如图有，即 ，又 解得：，所以要使两车不相撞，应满足例：汽车 A 在红绿灯前停下，绿灯亮时 A 车开动，以 的加速度做匀加速直线运动，经 后以该时刻的速度做匀速直线运动，在绿灯亮的同时，汽车 B 以 的速度从 A 车旁边驶过，之后 B 车一直以相等的速度做匀速运动，问：从绿灯亮时开始，经多长时
13、间后两车再次相遇？解：在绿灯亮后的30s 内，A 车发生的位移为： ，B 车发生的位移为： 因 ，可知 A 必须再匀速运动一段时间才能追上 B。设共需 t 时间汽车 A 才能追上汽车 B，两者位移关系为 ，如图，即其中 解得： 若两个物体不在同一直线上运动，则应利用两者运动时间的关系列方程，这也是求解两类相遇问题的最大区别。例：在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动栏木装置如图所示，当高速列车到达 A 点时，道口公路上应显示红灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。已知高速列车的速度 V1=120km/h，汽车过道口的速度 V2=5km/h，汽车驶至
14、停车线时立即制动后滑行的距离是 S05m，道口宽度 s26m，汽车长 l=15m。若栏木关闭时间 tl16s，为保障安全需多加时间 t2=20s。问：列车从 A 点到道口的距离 L 应为多少才能确保行车安全？解：由题意可知，从列车到达 A 点到列车抵达道口，共经历三个阶段，超过停车线的汽车安全通过道口阶段、栏木关闭阶段、保障安全额外增加的时间阶段。所以 A 点离道口的距离应为： 其中， ， ， ，所以变式练习：1从静止开始以加速度 a=10m/s2做匀加速直线运动的物体，在哪一秒内的位移是第一秒内位移的3倍？2一根链条自由下垂悬挂在墙上，放开后让链条作自由落体运动。已知链条通过悬点下32m 处
15、的一点历时05s，问链条的长度为多少？3跳伞运动员做低空跳伞表演，当直升飞机悬停在离地面 高时，运动员离开飞机作自由落体运动。运动一段时间后，打开降落伞，展伞后运动员以 的加速度匀减速下降。为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过 。求：（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？（2）运动员在空中的最短时间为多少？（取 ）- 4 -4有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为 ，制动时匀减速上升，加速度为 ，楼高 问：（1）若上升的最大速度为 ，电梯升到楼顶的最短时间是多少？（2）如果电梯先加速上升，再匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为 ，上升的最大速度是多少？5摩托车以速度 沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方离摩托车 处，有一辆汽车正以 的速度开始减速，且，汽车的加速度大小为 。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，问其加速度 至少需要多大？变式练习答案： 1第2s 内 2275m 3 （1）280m，08m；（2）205s 4 （1） ；（2）5
