1、绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自 1965 年 L.A.Zadeh 教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用
2、精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。如判
3、断企业经济效益的好坏时，用“年利税在 100 万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少 1 元的企业，仍是经济效益好的企业” ，而不应被划为经济效益不好的企业。这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到， “年利税为 0 者仍为经济效益好的企业”的悖论。类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论” 。它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。客观实际中存在众多的模糊性事物和现象，促使人们寻求建立一种适于描述模糊事物和现象的逻辑模式。模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的。模糊方法的逻辑基础
4、是连续值逻辑，它是建立在0，1上的。如若我们把年利税在 100 万元以上者的属于“经济效益好”的企业的隶属度规定为 1，那末，相比之下，年利税少 1 元的企业，属于“经济效益好”的企业的隶属度就应相应减少一点，比如为 0.99999，依此类推，企业的年利税每减少 1 元，它属于“经济效益好”的企业的隶属度就要相应减少一点。这样下去，当企业的年利税为 0 时，它属于“经济效益好”的企业的隶属度也就为 0 了，显然，模糊方法的这种处理方式，是符合于人们的认识过程的，连续值逻辑是二值逻辑的合理推广。现代科学发展的总趋势是，从以分析为主对确定性现象的研究，进到以综合为主对不确定性现象的研究。各门科学在
5、充分研究本领域中那些非此即彼的典型现象之后，正在扩大视域，转而研究那些亦此亦彼的非典型现象。自然科学不同学科之间，社会科学不同学科之间，自然科学和社会科学之间，相互渗透的趋势日益加强，原来截然分明的学科界限一个个被打破，边缘科学大量涌现出来。随着科学技术的综合化、整体化，边界不分明的对象，亦即模糊性对象，以多种多样的形式普遍地、经常地出现在科学的前沿。模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑等众多的分枝。和模糊集合理论的发展速度相比，模糊技术的
6、应用虽稍迟一步，但也取得了令人可喜的进展。自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来，有关这方面的研究报告已逾 7000 多篇，制造出近千种模糊产品，如计算机、电饭煲、摄像机、微波炉、洗衣机、空调器等。如日本松下公司研制的智能化家用空调器，可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据，在室温高或低于 25时，会自动地“稍稍”调节空调器的阀门，进行 4608 种不同状态设定选择，从而获得最佳开启状态和尽可能少的消耗。而这种“稍稍”的程度，只有通过有经验的人的感觉来决定。模糊技术方法不是对精确的摒弃，而是对精确更圆满的刻画。它通过模糊控制规划，利用人类常识和智慧，理解词语的模糊内涵和外延，将各方
7、面专家的思维互相补充。虽然，目前要使模糊技术接近于人的思维，尚难以做到，但正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说：一个普遍应用模糊技术的时代，不久就会到来。我国自 70 年代开始模糊数学研究以来，成就突出，已形成了 2000 至 3000人的世界最庞大的研究队伍，并在高速模糊推理研究等领域，居世界领先地位。但同时在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是实验室里的成果，还有许多未转化成经济效益。需要在政府和工业界的支持和参与下，成立专门的开发实体，制定规划，并积极开展国际交流，为我国 21 世纪的技术发展和科学腾飞奠定基础。第二章 模式识别2-1 模式识别及识别的直接方法在 日 常 生 活 中
8、生 活 中 ， 经 常 需 要 进 行 各 种 判 断 、 预 测 。 如 图 象 文 字 识 别 、 故障 （ 疾 病 ） 的 诊 断 、 矿 藏 情 况 的 判 断 等 ， 其 特 点 就 是 在 已 知 各 种 标 准 类 型 前 提 下 ，判 断 识 别 对 象 属 于 哪 个 类 型 的 问 题 。 这 样 的 问 题 就 是 模 式 识 别 。一 、 模 糊 模 式 识 别 的 一 般 步 骤模 式 识 别 的 问 题 ， 在 模 糊 数 学 形 成 之 前 就 已 经 存 在 ， 传 统 的 作 法 主 要 用 统 计方 法 或 语 言 的 方 法 进 行 识 别 。 但 在 多
9、 数 情 况 下 ， 标 准 类 型 常 可 用 模 糊 集 表 示 ， 用模 糊 数 学 的 方 法 进 行 识 别 是 更 为 合 理 可 行 的 ， 以 模 糊 数 学 为 基 础 的 模 式 识 别 方 法称 为 模 糊 模 式 识 别 。模 式 识 别 主 要 包 括 三 个 步 骤 ：第 一 步 ： 提 取 特 征 ， 首 先 需 要 从 识 别 对 象 中 提 取 与 识 别 有 关 的 特 征 ， 并 度 量这 些 特 征 ， 设 分 别 为 每 个 特 征 的 度 量 值 ， 于 是 每 个 识 别 对 象 就nx,1 x对 应 一 个 向 量 ， 这 一 步 是 识 别 的
10、 关 键 ， 特 征 提 取 不 合 理 ， 会 影 响)(2识 别 效 果 。第 二 步 ： 建 立 标 准 类 型 的 隶 属 函 数 ， 标 准 类 型 通 常 是 论 域的 模 糊 集 ， 是 识 别 对 象 的 第 个 特 征 。),(1nxUixi第 三 步 ： 建 立 识 别 判 决 准 则 ， 确 定 某 些 归 属 原 则 ， 以 判 定 识 别 对 象 属 于 哪 一个 标 准 类 型 。 常 用 的 判 决 准 则 有 最 大 隶 属 度 原 则 （ 直 接 法 ） 和 择 近 原 则 （ 间 接 法 ）两 种 。二 、 最 大 的 隶 属 度 原 则若 标 准 类 型
11、是 一 些 表 示 模 糊 概 念 的 模 糊 集 ， 待 识 别 对 象 是 论 域 中 的 某 一 元 素（ 个 体 ） 时 ， 往 往 由 于 识 别 对 象 不 绝 对 地 属 于 某 类 标 准 类 型 ， 因 而 隶 属 度 不 为1， 这 类 问 题 人 们 常 常 是 采 用 称 为 “最 大 隶 属 度 原 则 ”的 方 法 加 以 识 别 ， 这种 方 法 （ 以 及 下 面 的 “阈 值 原 则 ”） 是 处 理 个 体 识 别 问 题 的 ， 称 为 直 接 法 。最 大 隶 属 度 原 则 ： 设 是 个 标 准 类 型 ， ， 若 )(,21UFAn Ux0nkxx
12、ki 1 ma)(00则 认 为 相 对 隶 属 于 所 代 表 的 类 型 。0xi例 1 通 货 膨 胀 识 别 问 题通 货 膨 胀 状 态 可 分 成 五 个 类 型 :通 货 稳 定 ;轻 度 通 货 膨 胀 ;中 度 通 货 膨 胀 ;重度 通 货 膨 胀 ;恶 性 通 货 膨 胀 .以 上 五 个 类 型 依 次 用 (非 负 实 数 域 ,下 同 )上R的 模 糊 集 表 示 ,其 隶 属 函 数 分 别 为 :54321,A5 ,3exp01)(21 x)50(2A7e)(23x)93(p4x50 ,1 ,50e)(25 xxA其 中 对 ,表 示 物 价 上 涨 。 问 时
13、 ， 分 别 相 对 隶 属 于 哪 种 类0x%x4,8型 ？解 ，3679.)8(1A521.0)8(2A，0534.)(5，41A0.)(2A，03.)(3 19465由 最 大 隶 属 原 则 ， 应 相 对 隶 属 于 ， 即 当 物 价 上 涨 时 ， 应 视8x2A%8为 轻 度 通 货 膨 胀 ； ， 应 相 对 隶 属 于 ， 即 当 物 价 上 涨 时 ， 应 视40540为 恶 性 通 货 膨 胀 。三 、 阈 值 原 则在 使 用 最 大 隶 属 度 原 则 进 行 识 别 中 ， 还 会 出 现 以 下 两 种 情 况 ， 其 一 是 有 时 待识 别 对 象 关 于
14、 模 糊 集 中 每 一 个 隶 属 程 度 都 相 对 较 低 ， 这 时 说 明 模0xnA21,糊 集 合 对 元 素 不 能 识 别 ； 其 二 是 有 时 待 识 别 对 象 关 于 模 糊 集nA21,x x中 若 干 个 的 隶 属 程 度 都 相 对 较 高 ， 这 时 还 可 以 缩 小 的 识 别 范 围 ，nA21,关 于 这 两 种 情 况 有 如 下 阈 值 原 则 。阈 值 原 则 ： 是 个 标 准 类 型 ， 为 一 阈 值)(,21UFAn 1,0(,0dUx（ 置 信 水 平 ） 令 nkxk1ma0若 则 不 能 识 别 ， 应 查 找 原 因 另 作 分
15、 析 。d若 d 且 有 ， 则 判 决 相 对 地 属 于dAi)(01 di)(02 dxAmi)(00xmiiiA21例 2 三 角 形 识 别 问 题我 们 把 三 角 形 分 成 等 腰 三 角 形 ,直 角 三 角 形 , 正 三 角 形 ,非 典 型 三IRE角 形 ,这 四 个 标 准 类 型 ,取 定 论 域TCBABACxX,180),(这 里 是 三 角 形 三 个 内 角 的 度 数 ， 通 过 分 析 建 立 这 四 类 三 角 形 的 隶 属 函CBA,数 为 ：)()(601)(BxI (21xAn9AR)(18)(CxE 902,),(3,min0ACBT现 给
16、 定 ， ， 对 上 述 四 个 标 准 类 型 的 隶 属 度 为 ：4508)(Axx06.)(7.0)( 94.0)( 916.0)( xTxExRxI由 于 关 于 , 的 隶 属 程 度 都 相 对 高 ， 故 采 用 阈 值 原 则 ， 取 ，I 8.0d因 ， ， 按 阈 值 原 则 ， 相 对 属 于 ,8)(0xI 8)(0x 0xIR即 可 识 别 为 等 腰 直 角 三 角 形 。例 3 癌 细 胞 识 别在 癌 细 胞 识 别 问 题 中 细 胞 分 成 四 个 标 准 类 型 ， 即 ： 癌 细 胞 ， 重 度)(M核 异 质 细 胞 ， 轻 度 核 异 质 细 胞
17、， 正 常 细 胞)(N)(R。)(T选 取 表 征 细 胞 状 况 的 七 个 特 征 ：.: ,:,:,7654221核 内 平 均 透 光 率 核 内 平 均 光 密 度核 内 总 光 密 度 细 胞 周 长细 胞 面 积 核 周 长核 面 积xx根 据 病 理 知 识 ， 反 映 细 胞 是 否 癌 变 的 主 要 指 标 有 以 下 六 个 ， 它 们 都 是上 的 模 糊 集 ：),(:721xX123461212526741235212)()(,: )()(,: )lg(,: )(),:,: )( )(:xFFxEEDDxCCBB axaAA细 胞 畸 形核 畸 形核 内 染 色
18、 质 不 匀核 桨 比 例 置核 染 色 增 深 正 常 核 面 积核 增 大上 述 是 适当选取的常数621,细 胞 识 别 中 的 几 个 标 准 类 型 分 别 定 义 为 ：cc ccRNMTCBARFED2121)(上 述 定 义 中 的 模 糊 集 的隶属函数为 。另两个模糊集 、21A21A21)()x21B的隶属函数类似定义。21C给定待识别细胞 ，设 的核面积等七个特征值为 据此可算出Xx00x ),(07201x、 、 、 ，最后按最大隶属度原则识别。)(0xM)(NR)(T例 4 冬季降雪量预报内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大， （2）秋霜晚冬雪大， （3）秋
19、分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。为 描 述 “夏 热 ” 、 秋 霜 晚 、 秋 分 刮 西 北 风 等 概 念 ， 在 气 象)(1A)(2 )(3A现 象 中 提 取 以 下 特 征 ：当年 67 月平均气温1x：当年秋季初霜日期2：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。3x于是模糊集 （夏热） ， （秋霜晚） 、 （秋 分 刮 西 北 风 ） 的 隶 属 函 数 可 分 别1A23A定 义 为 ： 2 0)(21 )( 112111 xxxxA其 中 是丰镇地区若干年 6、7 月份气温的平均值， 为方差，实际预报时取 =1x 1 x =0.982,9c2222 0
20、 1)(axaxxA其 中 是若干年秋季初霜日的平均值， 是经验参数，实际预报时取 =17（即 92x2 2x月 17 日） ， =10（即 9 月 10 日） 。a90 cosx18 027 in- 36 1)( 333 xA取 论 域 ， “冬 雪 大 ”可 以 表 示 为 论 域 上的模糊集),(|21X X，其隶属函数为：C )()1xA)(2)(3xA采 用 阈 值 原 则 ， 取 阈 值 ， 测 定 当 年 气 候 因 子 。 计8.0d ),(321x算 ， 若 则 预 报 当 年 冬 季 “多 雪 ”， 否 则 预 报 “少 雪 ”。)(x8.0)(用 这 一 方 法 对 丰
21、镇 19591970 年 间 隔 12 年 作 了 预 报 ， 除 1965 年 以 外均 报 对 ， 历 史 拟 合 率 为 11/12。2-2 贴近度与模式识别的间接方法一 、 贴 近 度表 示 两 个 模 糊 集 接 近 程 度 的 数 量 指 标 ， 称 为 贴 近 度 ， 其 严 格 的 数 学 定 义 如 下 ：定 义 1 设 映 射: N1,0)(UF满 足 下 列 条 件 ：(1) ， )(UFA1),(AN(2) ，,B),(B(3) 若 满 足)(C)(xAx)(Ux有 () BN则 称 映 射 为 上 的 贴 近 度 ， 称 为 与 的 贴 近 度 。UF) (BAN贴
22、近 度 的 具 体 形 式 较 多 ， 以 下 介 绍 几 种 常 见 的 贴 近 度 公 式（ 1） Hamming 贴 近 度i iixBABAN1)(),(或 baH d)()(), (（ 2） Euclid 贴 近 度ni iixBABAN12)(), (或 baiiE d2)(), (（ 3） 格 贴 近 度定 义 7 映 射 1,0)(:UFNg ， （ 或 = ）ABABg(),),( c)AB(21)c称 为 格 贴 近 度 ， 称 为 与 格 贴 近 度 。 其 中 ，,Ng(称 为 与 的 内 积 )Ux)( (称 为 与 的 外 积 )ABAB若 ， 则nxU,21)(i
23、iniA)(1iinixB值 得 注 意 的 是 ， 这 里 的 格 贴 近 度 是 通 过 定 义 来 规 定 的 ， 事 实 上 ， 格 贴 近 度 不满 足 定 义 1 中 (1)， 即 ， 但 是 ， 当 时 ，1)(ANg UAsuUFAp,),(1格 贴 近 度 满 足 定 义 1 的 (1)-(3)。 另 外 格 贴 近 度 的 计 算 很 方 便 ， 且 用 于 表 示 相同 类 型 模 糊 度 的 贴 近 度 比 较 有 效 ， 所 以 在 实 际 应 用 中 也 常 选 用 格 贴 近 度 来 反 映 模糊 集 接 近 程 度 。还 有 许 多 贴 近 度 ， 这 里 不
24、在 一 一 介 绍 。贴 近 度 主 要 用 于 模 糊 识 别 等 具 体 问 题 ， 以 上 介 绍 的 贴 近 度 表 示 式 各 有 优 劣 ，具 体 应 用 时 ， 应 根 据 问 题 的 实 际 情 况 ， 选 用 合 适 的 贴 近 度 。二、模式识别的间接方法择近原则在模式识别问题中，各标准类型（模式）一般是某个论域 上的模糊集，用模式识别X的直接方法（最大隶属度原则、阈值原则）解决问题时，其识别对象是论域 中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是 上的模糊集，这类问题可以用下面的择近原则来识X别判决。择近原则：已知 个标准类型 、 、 ， 为待识别的对n1A2)(XFn)(
25、B象， 上的贴近度，若)(XFN为 kBBAi , |),(max, 则认为 与 最贴近，判定 属于 一类。i iA例 5 岩石类型识别岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差（ ） 、差（ ） 、较好（ ） 、好（12A3） 、很好（ ） 。它们都是 上的模糊集，其隶属函数如下（图 2-1）4A5 ),0X0 200 400 600 900 1100 1800 20001 )/(2cmkg)(5x4A)(3x)(2xA)(1xAx图 2-120 01)20(1x )(1xxAxxxx60 04)(21 )(2其 它 0109)10(2 4)(3 xxxA其 它 02081)20(41 9)(
26、4 xxxAxx20 118)8(4)(5今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为 上的模糊集 ，隶属函数为（图 2-3） 。XB图 2-3其 它 01200)120(8 778)( xxxB试问岩体 应属于哪一类。计算 与 的格贴近度，得：)51(iA0),( ,68.0),( 1),( ,54 321 BNBNBANgg g按择近原则， 应属于 类，即 属于“较好”类（ 类）的岩石。3 3例 6 小麦亲本识别在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是：早熟型， ：矮杆型， ：大粒型，1A23A：高肥丰产型， ：中肥丰产型。45判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特
27、征：抽穗期， ：株高， ：有效穗数，1x2x3：主穗粒数， ：百粒重。45第 种类型亲本的第 个特征，是模糊集 ，这些模糊集除 （早熟型的抽穗期）ijijA1A与 （矮杆型的株高）外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布2A函数展开，取前两项作它的近似值，则有 222)( )(1axeax于是 的隶属函数可表示为：ijA 其 它 ,0 2,)(21 ,)()(222 ijijijijij ijij ijijijijijij abxbxaax而 ， 的隶属函数取为偏小值型：1A2iii ibxbxxA )(21 )(2 )2,1(i为确定隶属函数中的参数值，在熟知的标准类型中，每
28、类型选出 个新本为样本，分k别计算各样本的第 个特征的均值 及方差 ，取jijl ),(lijklijlijijlijijlijxba12,:mn以上参数值见表（2-1）表 2-1早熟 矮杆 大粒 高肥丰产 中肥丰产亲本参数性状ja1jbj12jajb2j21ja3jbj321ja4jbj421a5jbj521抽穗期 - 6.7 1.1 5.5 9.6 1.0 5.8 11.9 1.2 5.2 11.3 0.9 5.1 8.9 1.2株高 67.1 87.7 50.0 - 70.0 72.4 67.9 90.9 52.2 67.9 81.2 35.9 76.5 84.6 57.5有效穗数 9.
29、1 11.2 18.1 8.3 18.2 10.8 9.4 13.2 15.6 9.8 13.2 11.3 7.2 13.2 5.8主穗粒数 40.2 55.0 92.0 37.5 52.5 80.7 44.2 54.5 21.2 41.2 51.0 13.3 37.6 48.3 93.9百粒重 3.0 4.4 0.3 2.4 3.4 0.3 4.0 6.0 0.3 3.6 4.2 0.3 3.3 4.0 0.2现有一待识对象 ，它的第 个特征 是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表BjjB示为： 其 它 0 22,2)(1)( jjjjjj xxxx 。)5,4321(j式中参数值见表（2
30、-2）表 2-2特性参数 抽穗期 株高 有效穗数 主穗粒数 百粒重x8.5 85.6 6.2 36.2 3.4321.5 4 1.9 70 0.28计算识别对象 的第 个特征与第 种标准类型对应特征 的格贴近度Bji ijA并定义第 种标准类型 与识别对象 的贴近度为：)5,4321(),(iAji iB,1jiji计 算 结 果 列 于 表 （ 2-3）表 2-3早熟（ ）1A矮杆（ ）2大粒（ ）3A高肥（ ）4中肥（ ）5A( ， )gN1iAB0.50 1.00 1.00 1.00 1.00( ， )2i 1.00 0.00 1.00 0.76 0.99( ， )g3i 1.00 0.
31、88 0.77 0.64 0.96( ， )N4iAB0.23 0.98 0.89 0.83 0.98( ， )g5i 1.00 1.00 0.98 1.00 1.00( ， )i 0.23 0.00 0.77 0.64 0.96表 （ 2-3） 的 最 后 一 行 为 与各标准类型的贴近度。由于 与 的贴近度最高BB5A（0.96） ，故判定识别对象 为 代表的类型，即 为中肥丰产类型的亲本。5A例 7 遥感土地复盖类型分类遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理，来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面 0.45 公倾地物的综合。遥感图象识别分类中，要涉及不少模糊概念，
32、例如， “以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。美国爱达荷大学 R.C.Heller 教授指出，国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位（即标准类型）时，空间遥感的分类精度可达 83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时，精度就不理想了。现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型：公路， ：村庄农田， ：红松为主的针叶林，1A23A：阔、针混交林， ：白桦林。4A5A对 于 多 波 段 遥 感 技 术 ， 假 设 采 用 个 波 段 ， 则 每 一 地 物 对
33、 应 一 个 维pp数 据 向 量 。 1975 年 1 月 22 日 美 国 发 射 LandSat-2， 提 供),(21pxx了 MSS-4， 5， 6， 7 这 四 个 波 段 的 数 据 ， 故 有 。 取 论 域4),(| 4321xxX其 中 分别为象元对应于 MSS-4，5，6，7 各波段的光谱强度。于是五种4321,标准类型 可表为 上的模糊集。)5(iAX由于各波段光谱强度是正态分布模糊集，故第 个标准类型的（ +3）波段光谱强度ij的隶属函数为：2)(exp)(ijji aA)4,321(j定义第 种标准类型 为：ii4321iiiii A因而 24141 )(maxep
34、)(min)( ijjjji xxA其中 为若干个第 种类型第（ +3）个波段光谱强度的均值， 为方差，东北凉水林场ijai ij的这些参数值见表（2-4）表 2-4标准类型 MSS-4 MSS-5 MSS-6 MSS-71ia1i2ia2i3ia3i4ia4i1A19.06 0.56 18.24 1.60 51.24 4.32 25.24 1.98221.89 2.88 24.68 4.82 47.37 4.09 21.63 2.39315.46 1.22 12.58 0.88 36.54 3.55 17.33 2.084A16.22 0.64 12.78 0.58 42.41 2.87 2
35、1.22 1.50517 0.82 13.2 0.42 45 0.94 23.20 0.42设 为识别对象，定义 与 的贴近度为： BiAB（1）),(),(41jigjiN其中 = （2jig ijjij(2)cj）表 2-5判别类型N识别对象1A234A5max 结果 效果1B0.92 0.72 0.50 0.50 0.50 0.92 1A正确20.65 0.99 0.50 0.50 0.50 0.99 2正确30.50 0.50 0.99 0.60 0.50 0.99 3正确4B0.50 0.50 0.61 0.99 0.65 0.99 4A正确50.50 0.50 0.50 0.62
36、0.89 0.89 5正确按 及 XxBABc )(1)( A(ccB)（3-22, 2)(jiajigeN6）（这里 与 是 的均值与方差） 。jajjB现有东北凉水林场空间遥感象元（待识别对象）五个，按（1）与（2）计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表（2-5）按择近原则进行识别判决，准确率 100%。例 8 雷达识别现有 个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画，n假设共有 个特征，第 类雷达的第 个特征可以取 个值。由于保密的需要及信号环境jijijn的日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第 类 雷达的 个特)1(nik征为 类雷达的第
37、个特征 取值为 ，其隶属iAki,21 j)1(kj,2ijmijA函数为中间型柯西分布，即 12)()(mijmij au设 为待识别对象，它的 个特征为 的第 个特征 的隶属函数XkXk,21 jj也取中间型柯西分布： ),(j )(1)(12xujj 采用格贴近度，令 ijmijijjijij ndXA1|ax),(则 为识别对象 的第 个特征与 类雷达第 个特征贴近程度的度量。ij j一般情况可令 kjijida1（ 是各 的加权平均值，权系数 表示 个特征的重要性程度） 可作为识别对iij jaid象 与第 类雷达总贴近的度量。根据 的大小可判定 属于何类雷达，但是，由于权XidX系
38、数 的确定有一定的模糊性， 及 的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导jamijAj致贴近度 有一定的模糊性。因此对 及 进行模糊化处理，设mijdjaijRLijijijRLjjj wdDcA),;( ),;(这里 ， 都是 模糊数（见第五章） ，取 。jij 令 mjiji ijijijjjjADac1 )1(),(的隶属函数为i )()(sup)(1ijjmjdai uDkjii 则 为识别对象 与第 类雷达的贴近程度的模糊测度。iDX为得到 所属雷达类别的确切判决，类似于阈值法则，给定水平值 ，令)(|infsupiiDd若 且 唯一，则判定 为 类雷达；nii 1:max0 0X0
39、i若 且 ，则判定 为 类雷达。niddiii 1:max21 21iidX1i用上述方法（将权系数及贴近度模糊化） ，经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。第 三 章 模 糊 规 划3-1 模 糊 极 值一 、 有 界 函 数 的 模 糊 极 值设 （ 为 实 数 集 ）RXf: R)(xfy是 有 界 函 数 ， 求 函 数 的 普 通 极 值 问 题 是 求 使xXfxf)(ma)(满 足 上 式 的 为 在 上 的 最 大 值 点 ， 为 最 大 值 ， 最 大 值 点 不 一 定x)(fXx唯 一 . 设 的 一 切 最 大 值 点 的 集 合 为)(f
40、XxfxfMf ),(ma)(称 为 的 优 越 集 .当 时 ， 函 数 在 处 取 到 最 大 值 ， 使f)(xf)(xf达 到 最 优 .当 时 ， 虽 不 是 最 大 值 ， 但 对 不 同 的 ， 与)(f)(x最 大 值 的 差 异 有 所 不 同 ,也 就 是 说 ， 对 于 不 属 于 的 ， 它 们 的 “优 越 性 ”fMx程 度 有 所 不 同 ， 为 了 反 映 中 各 点 不 同 的 优 越 程 度 ， 将 优 越 集 模 糊 化 ，Xf并 利 用 它 将 极 值 模 糊 化 .定 义 1 设 是 有 界 函 数 ， 定 义 的 隶 属 函 数 为 Rf: f( )
41、 XxfXxfxMf )(min)(a)( Xx称 为 的 无 条 件 模 糊 优 越 集 称 的 的 无 条 件 模 糊 极 大 值 .这 里f )fM， 它 的 求 属 函 数 按 扩 张 原 理 为)(RFf(约 定 )yxfMyfff )()( 0注 (1)当 为 的 极 大 点 ， 即 时 ，1xXxf)(ma1 1xMf当 为 的 极 小 点 ， 即 时 ,2)(f fxfin)2( )(2f充 分 必 要 条 件 是)(1xf)()(21xMffXx21(2)当 时 ， Xxyma1 )(1yf1)(yfMf当 时 ， f)(in2f 2xf当 时 ，Ry0)()()( xfyx
42、fMyfff因 此 , 反 映 了 在 模 糊 意 义 下 , 对 的 模 糊 数 大 值 的 求 属 程 度 .(f例 1 设 ， ,54321,xxXRXf:定 义 , , , ,则0)(xf)(f1)(f)(41)(5xf, 并 且 3mainx )5,432ixMif于 是 )5.,12.(fM又 .0)(0)(01xxffff1()3(2ff )13xff5.0)()()( 4xMMffff故 1/5.0/0/25.f的 无 条 件 模 糊 极 小 集 定 义 为 的 无 条 件 极 大 集 ， 显 然 有f fmfXxfXxfxmf )(in)(a)( )(x且 有 ， ,所 有
43、极 小 集 是 极 大 集 的 余 集 .1Mfff fM二 、 模 糊 约 束 下 有 界 函 数 的 模 糊 极 值设 ： 是 有 界 函 数 ， ， 考 虑 在 约 束 下 的 最 大 值 问RXf: )(XFCfC题 ， 这 是 一 个 模 糊 规 划 问 题 ， 求 解 这 个 问 题 意 味 着 既 要 最 大 限 度 地 满 足 约 束 ， 又要 最 大 限 度 地 达 到 理 想 目 标 ， 为 此 定 义 如 下 ：定 义 2 设 目 标 函 数 是 有 界 函 数 ， 是 模 糊 约 束 ， 令Rf: )(XFfMCD这 里 的 是 定 义 1 中 的 无 条 件 模 糊
44、优 越 集 ， 称 为 在 约 束 下 的fMf DfC条 件 模 糊 优 越 集 ， 称 为 在 约 束 下 的 条 件 模 糊 极 大 值 .它 们 的 求 属)(函 数 分 别 为 ： XxfXxfxf )(min)(a)(MCDfyxfxyf f)()()(求 解 目 标 函 数 在 模 糊 约 束 下 的 条 件 极 大 值 有 如 下 三 个 步 骤 ：)(xf(1)求 无 条 件 模 糊 优 越 集 fM(2)求 条 件 模 糊 优 越 集 fCD(3)求 条 件 最 佳 决 策 ， 即 选 择 ,使xX)(ma)(就 是 所 求 的 条 件 极 大 点 ， 就 是 在 模 糊
45、约 束 下 的 条 件 极 大 值 .x xf C例 2 采 区 巷 道 布 置 是 矿 井 开 拓 中 的 重 要 内 容 ， 其 目 的 就 是 建 立 完 善 的 矿 井 生产 系 统 ， 实 现 采 区 合 理 集 中 生 产 ， 改 善 技 术 经 济 指 标 .因 此 ， 合 理 地 选 择 最优 巷 道 布 置 方 案 ， 对 于 矿 井 生 产 具 有 十 分 重 要 的 意 义 .根 据 煤 矿 开 采 的 特 点和 采 区 在 矿 井 生 产 的 作 用 ， 在 选 择 最 优 巷 道 布 置 方 案 时 ， 要 求 达 到 下 列 标 准 ：(1)生 产 集 中 程 度
46、高 ； (2)采 煤 机 械 化 程 度 高 ；(3)采 区 生 产 系 统 十 分 完 善 ； (4)安 全 生 产 可 靠 性 好 ；(5)煤 炭 损 失 率 低 ； (6)巷 道 掘 进 费 用 尽 可 能 低 .上 述 问 题 ,实 际 上 就 是 一 个 模 糊 约 束 下 的 条 件 极 值 问 题 ， 我 们 可 以 把(1) (5)作 为 模 糊 约 束 ， 而 把 (6)作 为 目 标 函 数 .设 某 矿 井 的 采 区 巷 道 布 置 有 六 种 方 案 可 供 选 择 ， 即 = (方 案 ), X1x(方 案 ), (方 案 ), (方 案 ), (方 案 ), (方
47、 案 ) .2x3x4x5x6x经 过 对 六 种 方 案 进 行 审 议 ， 评 价 后 ， 将 其 结 果 列 于 表 1方案评价项目 123456x:生产集中程度高1C较低 高 较高 很高 较高 较高:采煤机械化程度高2 高 较高 较高 高 很高 高:采区生产系统完善3 一级 较低 较低 很高 高 较高:安全生产可靠度高4C较低 一般 较低 高 一般 高:煤炭损失率低5 高 较高 一般 一般 一般 很低: 巷道掘进费用(万元)6fm59.40 69.10 78.80 34.50 44.20 63.60将 表 1 中 的 语 言 真 值 (评 价 结 果 )转 化 为 各 模 糊 约 束 集 ,)(XFCi的 隶 属 度 转 化 的 对 应 关 系 如 下 ：)5,432(i对 , , , 而 言 ， 对 应 关 系 为 ：1C34很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0对 而 言 ， 对 应 关 系 为5C很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
