1、1数学实验报告实验序号:11 日期: 班级 姓名 学号实验名称 利用级数求函数近似值及其几何演示问题背景描述：如果有这样的一个级数，它在某个区间内收敛，且恰好是某个函数 f(x)，即函数f（x）在该区间能够展成级数，而这个级数在该区间内就表达了函数 f(x).所以可以根据函数的级数展开式来近似计算函数 f(x)的值。实验目的：用函数的幂级数展开式求函数的近似值，通过 matlab 命令以单个点的逼近，输出结果，并作出其几何趋近曲线。实验原理与数学模型：1f(x)=1/(1-x)在区间(-1,1)内的级数展开式为 ,利用这个关系，求出随 n0nx(1)的增大函数的点逼近情况。2f(x)=ln(1
2、+x)在区间(-1,1)内的级数展开式为 ,利用这个关系，求n0(1)nx(出随 n 的增大函数的点逼近情况。实验所用软件及版本：Matlab 7.0.1主要内容(要点)：1 计算函数 f(x)=1/(1-x)在 x=0.5 处的近似值，并依据级数展开作出趋近图。2 计算函数 f(x)=ln(1+x)在 x=0.5 处的近似值，并依据级数展开作出趋近图。2实验过程记录(含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录)：1 计算函数 f(x)=1/(1-x)的近似值，并依据级数展开作图。输入：clc;syms x y n f=inline(sum(x.(0:n),x,n)f1=inline(1./(1-
3、x),x)for n=0:2:55a=f(0.5,n);b=f1(0.5);c=a-bend部分输出：f =Inline function:f(x,n) = sum(x.(0:n)f1 =Inline function:f1(x) = 1./(1-x)c =-1c =-0.2500c =-0.0625c =3-2.3283e-010c =-5.8208e-011c =-1.4552e-011c =-3.6380e-012c =-9.0949e-013c =-2.2737e-013c =-5.6843e-014c =-1.4211e-014c =-3.5527e-015c =-8.8818e-0
4、164c =-2.2204e-016c =0由结果可以看出随着n值的增大真实值b和近似值a无限接近。输入：clc;x=-1:0.1:1;y=1./(1-x);plot(x,y,r);hold onx=-1:0.1:1;for n=1:1:100g=sum(x.(1:n);for x=-1:0.1:0.9999g=sum(x.(1:n);plot(x,g,bo-);drawnow; pause(0.0002);endend 输出：5由图像可以看出随着n值的增大真实曲线和各近似点无限接近。2、计算函数 f(x)=ln(1+x)在 x=0.5 处的近似值，并依据级数展开作出趋近图。输入：clc;sy
5、ms x y n f=inline(sum(-1).(0:n).*(x.(0:n)+1)./(0:n)+1),x,n)f1=inline(log(1+x),x)for n=0:1:100a=f(0.5,n);b=f1(0.5);c=abs(a)-abs(b)end部分输出如下：f =Inline function:f(x,n) = sum(-1).(0:n).*(x.(0:n)+1)./(0:n)+1)f1 =Inline function:8f1(x) = log(1+x)c =0.0945c =-0.0305c =0.0112c =-7.7761e-004c =3.3846e-004c =
6、-1.4982e-004c =-2.3754e-012c =1.1523e-012c =-5.5966e-013c =2.7189e-013c =-1.9429e-015c =7.2164e-016c =-5.5511e-016c =5.5511e-017c =-2.7756e-016c =-1.1102e-016c =-1.6653e-016c =-1.1102e-016c =-1.1102e-0169c =-1.1102e-016由结果可以看出随着 n 值的增大真实值 b 和近似值 a 无限接近。C 值趋向于 0.输入：clc;x=-1:0.1:1;y=log(x+1);plot(x,y,
7、r);hold onx=-0.99999:0.1:1;for n=0:1:100g=sum(-1).(0:n).*x.(0:n)+1)./(0:n)+1);for x=-1:0.1:1g=sum(-1).(0:n).*x.(0:n)+1)./(0:n)+1);plot(x,g,-b);drawnow; pause(0.0002);endend 由图像可以看出随着n值的增大真实曲线和各点无限接近。3实验结果报告与实验总结：当函数的级数趋向于无穷多项时，函数值可以用其无穷级数的值代替。且 n 值越大，其差值越小，与真实值越接近。思考与深入：1、 当项数有限时，可以求其两者间的误差。2、 观察级数 的部分和序列的变化趋势，并求和。1!n教师评语：评分标准：本实验报告总分 100 分，无程序扣 20 分，无结果扣 20分，无法计算扣 20 分，功能过于简单扣 10 分，错别字扣 5 分，内容与别人重复扣 20 到 50，抄袭与被抄袭者扣 100 分。3
