1、第 1 页 共 3 页龙岩学院数计院10.2 无界函数的广义积分一 无界函数广义积分的概念定义 1 设 在 的临近无界（我们称 点为 的奇点） ，但对于任意充分fxbbfx小的正数 ， 在 上可积，即 ,a0lim()bafxd存在时，称这极限值 为无界函数 在 上的广义积分。记作Ifx,。0li()bbaafx如果上述的极限不存在，就称 发散。bafxd类似可定义 （ 为奇点）.bafxd如果 在 内部有一个奇点 ， ，当 和 都收敛时，(),cbcafxdbcfx就称 收敛，并且有bafx。bcbaacfxdfxfx如果上式右边的任何一个积分发散，就称 发散。fd例 1：讨论积分 的收敛性
2、。1bpadx0例 2：讨论积分 的收敛性。120x二 无界函数积分的性质性质 1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。柯西收敛原理 （ 是奇点）收敛的充分必要条件是： ，bafxda0，当 时，总有 .0,fxd定义 2 若积分 （ 是奇点）收敛，就称 绝对收敛。收敛但bafx bafxd第 2 页 共 3 页龙岩学院数计院不绝对收敛的积分成为条件收敛。定理 2 绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。三 无界函数广义积分的收敛性判别法1. 柯西判别法设 是 的奇点，如果 ， ，那么xaffx()pca01bafd绝对收敛. 如果 ， ，那么 发散。0()pc
3、fx1bafxd2. 柯西判别法的极限形式如果 ， 则limpxfl（1）当 时， ，那么积分 绝对收敛；0l1pafxd（2）当 时， ，那么积分 发散。例 3：求下列广义积分： ， 。10dx12x例 4：讨论广义积分 的收敛性。10lnx定义 3 设 在 内无界， 是唯一的奇点, 如果f,abc0limbacfxdfxd存在，我们就称此极限为广义积分 的柯西主值，记为b.0.libcbaacPVfxfxfx同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为 .limAfdfd例 5：设 ，求 的主值. acb1baxc例 6 讨论反常积分 的收敛性 12d第 3 页 共 3 页龙岩学院数计院解: 函数 在区间 1 1上除 x0 外连续 且 由于2x 201limx )1(li0 0dx即反常积分 发散 所以反常积分 发散 12x12dx例 7 讨论反常积分 的敛散性 baqd)(解: 当 q1 时 babaxx )ln(当 q1 时 qbaqd 1)(当 q1 时 qbaxx 1 )()(因此 当 q1 时 此反常积分收敛 其值为 当 q1 时 此反常积分发散 q1
