1、第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、函数的概念1. 定义，)(xfyIx 为自变量，y 为因变量或称为函数值为对应关系f:自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。2.分段函数（考研中用得很多）例 1： 例 2： 例 3：1,3)(2xxf 0,x 1,0,),max(322x口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。3反函数例： 的反函数 2xyyx由于不单值，所以要看作 和 ，它们的图像与 一致。yx2xy如果改变符号，写成 和 ，那么它们的图像要变。xyx4隐函数确定 y 与 x 的函数关系0),(yxF有些隐函数能化为
2、显函数，例： ， 和 。12y2x21xy另外有些隐函数则不能化为显函数。例： 05)3sin(ex二、基本初等函数的概念、性质和图像（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性）例 1：考察 xxarctnlim)(的图像yrt例 2：考察 210limxe因为 指数函数 的图像 因此)(li20xxey0lim210xe三、复合函数与初等函数1.复合函数（i）已知 ， ，求)(xfg)(xf（ii）已知 ， ，求2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说，分段函数不是初等函数四、常出现的非初等函数1用极限表示的函数（1） （2）xfynlimxt
3、fyt,lim2用变上、下限积分表示的函数（1） 其中 连续，则xadtfF)(tfxfdy（2） 其中 ， 可导， 连续，xGy21x12t则 ffdx2口诀（3）：变限积分是函数；出现之后先求导。五、函数的几种性质1有界性：（i）定义：设函数 在 内有定义，若存在正数 ，使 都有 ，则称 在 上是有界xfyXMXxMxfxfX的。（ii）例： 在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界xf)(2奇偶性：（i）定义：设区间 关于原点对称，若对 ，都有 ，则称 在 上是奇函数。XXxxffxfX若对 ，都有 ，则称 在 上是偶函数。xfxff（ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数
4、图象关于 轴对称。y常用公式： 为f)(20)(aadxfdxf口诀（4）：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。3单调性：（i）定义：设 在 上有定义，若对任意 ， ， 都有 则称xfXXx1221x2121xffxf在 上是单调增加的单调减少的 ；若对任意 ， ， 都有 ，xf X则称 在 上是单调不减 单调不增（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。 ）（ii）判别方法：在（a，b）内，若 ，则 单调增加；若 ，则单调减少。0)(xf)(xf 0)(xf口诀（5）：单调增加与减少；先算导数正与负。4周期性：（i）定义：设 在 上有定义，如果存在常数 ，使得任
5、意 ， ，都有 ，xfXTXxTxfTf则称 是周期函数，称 为 的周期。fTxf由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。1.2 极限内容要点一、极限的概念与基本性质1极限的概念（1）数列的极限 Axnlim（2）函数的极限 ； ；fxAxfxlixflim； ；0li0x02极限的基本性质定理 1 （极限的唯一性）设 ， ，则AxfliBfliA定理 2 （极限的不等式性质）设 ，mxg若 变化一定以后，总有 ，则xxgf反之， ，则 变化一定以后，有 （注：当 ， 情形也称为极限的保号性）BAxxf0xB定理 3 （极限的局部有界性）设 Axflim则当 变化一
6、定以后， 是有界的。xxf定理 4 设 ，AflimBgli则（1） （2）xBAxgfli（3） （4）gfli lim0（5） BxAflim0二、无穷小1无穷小定义：若 ，则称 为无穷小（注：无穷小与 的变化过程有关， ，当lifxf x01limx时 为无穷小，而 或其它时， 不是无穷小）x0x12无穷大定义：任给 ，当 变化一定以后，总有 ，则称 为无穷大，记以MMxfxf。xflim3无穷小与无穷大的关系：在 的同一个变化过程中，x若 为无穷大，则 为无穷小，ff1若 为无穷小，且 ，则 为无穷大。xf 0xfxf14无穷小与极限的关系：，其中Aff lim0lim5两个无穷小的比
7、较设 ， ，且0lixf0lixglxgfli（1） ，称 是比 高阶的无穷小，记以lf xgof称 是比 低阶的无穷小xg（2） ，称 与 是同阶无穷小。0lfx（3） ，称 与 是等阶无穷小，记以1xgf6常见的等价无穷小，当 时0， ， ， ， ， ， ，xsintaxrcsinxarctn21cosxxex1lim。17无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小。口诀（8）：极限为零无穷小；乘有界仍无穷小。三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2重要准则：单调有界数列极限一定存在（1）若 （ 为正整数）又 （ 为正整数） ，则 存在，且nx1 mxnAxnlimm（2）若
8、 （ 为正整数）又 （ 为正整数） ，则 存在，且M M3两个重要公式公式 1： 1sinlm0x公式 2： ； ； enli euu1lievv10lim4用无穷小重要性质和等价无穷小代换6洛必达法则专门来处理两种比较困难的极限： ； ；0第一层次：直接用洛比达法则可处理 和 两种法则 1：（ 型）设（1） ，0limxf0lixg（2） 变化过程中， ， 皆存在x（3） （或 ） 则 （或 ）AgfliAxgfli（注：如果 不存在且不是无穷大量情形，则不能得出 不存在且不是无穷大量情形）xflimxgflim法则 2：（ 型）设（1） ，xflixgli（2） 变化过程中， ， 皆存在x
9、（3） （或 ） 则 （或 ）AgflimAxgflim口诀（9）：幂指函数最复杂；指数对数一起上。常用技巧： ，这样 是 型，可按第二层次来处理。)(ln)(xfgxef)(lnlimxfg*0口诀（10）：待定极限七类型；分层处理洛比达。7利用导数定义求极限基本公式： 如果存在000limxfxffx 8利用定积分定义求极限基本公式： 如果存在101li dfnkfn口诀（12）：数列极限洛比达；必须转化连续型。9其它综合方法10求极限的反问题有关方法例：已知 ，求 a 和 b。3)1sin(lm21xbax口诀（13）：无穷大比无穷大；最高阶项除上下。解：离散型不能直接用洛必达法则，故考
10、虑3030 sinlimsinlmxxx 等 价 无 穷 小 代 换 61sinlm3co1li020xxx 为例 2求 102lex解：若直接用 型洛必达法则 1，则得 （不好办了，分母 的次数反而增加）0“ 12091305lim2li2xexx x为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 t于是 tttxee5510limlilim2型“ 0!lili4tttt ee口诀（15）：变量替换第一宝；由繁化简常找它。六、求分段函数的极限口诀（16）：递推数列求极限；单调有界要先证，两边极限一起上；方程之中把值找。1.3 连续内容要点一、函数连续的概念1函数在一点连续的概念定义 1 若
11、 ，则称 在点 处连续。00limxfxxf0定义 2 设函数 ，如果 ，则称函数 在点 处左连续；如果 ，y0lifxxf000limxfx则称函数 在点 处右连续。xf0如果函数 在点 处连续，则 在 处既是左连续，又是右连续。fy0xxf02函数在区间内（上）连续的定义如果函数 在开区间 内的每一点都连续，则称 在 内连续。fba, xfba,如果 在开区间内连续，在区间端点 右连续，在区间端点 左连续，则称 在闭区间 上连续。xyaxf,ba二、函数的间断点及其分类1 函数的间断点的定义如果函数 在点 处不连续，则称 为 的间断点。xfy00xf2函数的间断点分为两类：（1）第一类间断
12、点设 是函数 的间断点，如果 在间断点 处的左、右极限都存在，则称 是 的第一类间断点。0xxfyxf0 0xf第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如： 是 的可去间断点，是 的跳跃间断点，是 的无穷间断点，是0xxfsinxfxf1的振荡间断点。f1sin三、初等函数的连续性1在区间 I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零） ，在区间 I 仍是连续的。2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间 I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单
13、调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间 上连续的函数 ，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。,baxf定理 1 （有界定理）如果函数 在闭区间 上连续，则 必在 上有界。,baxf,ba定理 2 （最大值和最小值定理）如果函数 在闭区间 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 和最xf, M小值 。m其中最大值 和最小值 的定义如下：Mm定义 设 是区间 上某点 处的函数值，如果对于区间 上的任一点 ，总有 ，xf0,ba0x,baxf则称 为函数 在 上的最大值。同样可以定义最小值, .m定理 3 （介值定理）如果函数 在闭区间 上连续，且其最大值和最小值分别为 和 ，则对于介于xf,baMm和 之间的任何实数 ，在 上至少存在一个 ，使得mMc,bacf推论：如果函数 在闭区间 上连续，且 与 异号，则在 内至少存在一个点 ，使得xf f ba, 这个推论也称零点定理。0f
