1、函数的正交解释:函数的正交是向量正交的推广,函数可看成无穷维向量,在 n 维空间中两向量正交是借助内积来定义的,设 X=(x1,x2,.,xn),Y=(y1,y2,.,yn),则 X 与 Y 正交定义为其内积 X*Y=x1*y1+x2*y2+.+xn*yn=0,设 f(x),g(x)是定义在a,b区间的可积函数,f(x),g(x)中的自变元类似于(有限维)向量下标,向量 X 中分量的下标取 1,2,n 这些离散值,而 f(x)中的 x 可连续取a,b中所有的值,因此 f(x)是无穷维向量,两向量内积是对应分量之积的有限和,推广到函数空间,两函数内积是对应分量(函数值)之积的无限和,积分是有限和
2、的极限,因此积分表示一个无限和,为了看清这一推广,将向量内积表示为 X*Y=x1*y1*1+x2*y2*1+.+xn*yn*1,这个和式中每一项是由 X 的分量,Y 的分量和 1 相乘之积(1 看成下标取 1 个单位),对应于向量内积的写法,函数内积应写为 f(x)g(x)x,它对应了a,b区间某子区间的值,该子区间长为x,它类似于下标,将所有这些值加起来,当最大子区间长为趋于零,有限和变为无限和,其值恰为 f(x)g(x)在a,b的积分。周期信号的傅里叶级数展开周期信号是定义在 ,区间，每隔一定时间 T，按相同规律重复变化的信号，如图 3-1 所示。它可表示为 mtf(3-1)式中： m任意
3、整数， T信号的周期 ttf1T2/ ttf1Tttf1T00图 3-1 周期信号3.2.1 周期信号的傅里叶级数三角函数集 ,sin ,2si ,in ,cos ,2cs ,o ,1 000000 tttttt 在区间 (,)tT0 (式中20)是一个完备正交函数集。复指数函数集 e0jtn,1 在区间 (,)tT0 内也是完备正交函数集。所以函数在 (,)t0 区间内可以展开为正交三角函数或是正交复指数函数的加权和，将函数周期化扩展到整个时间轴，就得到周期函数的三角函数级数展开或复指数函数级数展开，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。1、 三角形式傅里叶级数设周期信号 ft()，其周期为
4、T，角频率为02fT，则该信号可展开为下面三角形式的傅里叶级数 1 000 02012sincos sinsi)(n tbta tbttf (3-2)式(3-2)中各正、余弦项的系数 ,称为傅里叶系数。 ,21dsin)(2,cod)(000000ttfTbnttfatfTtntnt上面积分区间可以是周期信号的任意一个周期。式(3-2)还可写成下列形式， 100cos)(nntAtf (3-4)式中 Aabnnn0212 rctg,若将式(3-4)转化成式 (3-2)，其系数之间的关系如下：aAnbn012cos,i (3-6)（3-3 ）（3-5 ）从物理概念上来说，式(3-4)中0A信号
5、tf的直流分量；11cos信号 tf的基波或基波分量，它的角频率与原周期信号相同， 是基波振幅， 1是基波初相角；202t信号 tf的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，A是二次谐波振幅， 是其初相角；以此类推， nntA0cos称为信号 tf的 n次谐波， nA是 次谐波振幅， n是其初相角； 比较大的那些分量有时候又通称为高次谐波。2、 复指数形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数，物理含义明确，但运算不便，因而常用复指数形式的傅里叶级数。设周期信号 ft()，其周期为 T，角频率为02fT，该信号复指数形式的傅里叶级数为 ftFnt()ej0(3-7)其中 2,1 0,= ,e)(12j-0
6、ndttfTFnn(3-8)称为复指数形式傅里叶级数系数。三角形式的傅里叶级数物理含义明确，而指数形式的傅里叶级数数学处理方便，而且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来。两种形式的傅里叶级数的关系可由（3-9）式表示 1j-j01 j-j0 )e( )e2e2()( 0000 ntntn tnntn FFbabatf (3-9)其中： ,321)j(210nbaFnn表 3-1 综合了三角形式和复指数形式的傅里叶级数及其系数之间的关系。图 3-2 更直观地表示了两种傅里叶级数系数之间的关系。表 3-1 周期信号展开为傅里叶级数形式 傅里叶级数展开式 傅里叶系数傅里叶系数之间关系三角形式 sinco)(100tbatf100 )co(nntATttfa00d)(1 2,1cos)(00tnfTtnbTfttt00()sid , nnabArctg 200ncosnAib,321指数形式ftFnt()ej0 1,0= de)(00j-nttfTFttn,321)j(0baFnnReImnAnanjb2nnjnF0图 3-2 傅里叶级数系数之间的关系
