1、三角函数公式变形及其应用邓星月 数学学院 数学与应用数学 2010 级 1 班 学号 20100513104摘要三角函数具有公式多,变形多,应用广的特点,本文将对三角函数诱导公式,和差化积,积化和差,倍角公式,半角公式,万能公式及其应用做简单的整理及梳理,其中包括自制口诀,希望能够加强记忆.关键词: 三角函数 诱导公式 倍角公式 万能公式正文一,三角函数的定义1,定义域:正忌纵,余忌横,但要除开正余弦.2,符号法则(函数值变化情况)正弦函数在一二象限为正,三四象限为负;余弦函数在一四象限为正,二三象限为负;正切函数在一三象限为正,二四象限为负.3,正弦线,余弦线,正切线.当角在第一象限:tan
2、xsinxsinxtanx4,sinx cosx: x2k+,2k例 1:已知 x(0,)且 sinx+cosx=1/2求:sinxcosxsinx-cosxtanx解:由 sinx+cosx=1/2 得 1+2sinxcosx=1/4Sinxcosx=-3/80X(/2)Sinx-cosx0又(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+3/4=7/4Sinx-cosx=7/2 由得:sinx=(1+7)/4,cosx=(1-7)/4tanx=sinx/cosx=(1+7)/(1-7)例 2:y=asinx+bcosx=(a2+b2)(a/(a2+b2)siax+(b/(a2+b2)
3、cosx=(a2+b2)sin(x+)二,诱导公式.1,口诀:负角函数正角算 sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx;tan(-x)=-tanx终边相同函数等:sin(2k+x)=sinx纵轴要变横不变:把 x 看成锐角,看原函数符号函数符号看象限:sin(3/2)k+x)=-cosx例 3:f(x)= sin(x-)cos2-x3、/2、/3、2 之间的关系1、/2 一 二 三 四/2 一三 一三 二四 二四(2k,2k+)例 4、 为二象限角,且 cos/2-sin/2=(1-sin) ,求 /2 所在象限。解:cos/2-sin/2=Isin/2-cos/2I cos/2s
4、in/2由图可知,/2 为一或三象限故 /2 为第一象限2、/3 一 二 三 四/3 一二三 一二四 一三四 二三四例 5、若 为第一象限角,下列能确定为正的是(C)A、sin/2 B、cos/2 C、tan/2 D、cos23、2 一 二 三 四2 一二 三四 一二 三四4、三角形中的隐含条件。1、A+B+C= (A+B)/2=/2-C/2Sin(A+B)=sin(-C)=sinC sin(A+B)/2=cosC/2Cos(A+B)=cos(-C)=-cosC cos(A+B)/2=sinC/2Tan(A+B)=tan(-C)=-tanC tan(A+B)/2=cotC/22、锐角 ABC
5、中,A+B90,则任一角的正弦大于另两角的余弦。证明:A+B90A90-BsinAsin(90-B)sinAcosB同理,sinAcosC3、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (正弦定理)拓展:分子分母都是齐次的,边角互换,得a/b=sinA/sinB ab/c2=(sinAsinB)/sin2C4、a2=b2+c2-2bccosA (余弦定理)即,cosA=(b2+c2-a2)/2bc例 6、在 ABC 中,求证:、sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2、tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC和差化积公式: 口诀:Sin+sin=2
6、sin(+)/2cos(-)/2 正弦加减正余余正Sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 余弦加减余余正正Cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 和差取半前有二Cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 余弦相减负在前证明:例 6、sinA+sinB+sinC=2sin(A+B)/2cos(A+B)/2+2sinC/2cosC/2=2cosC/2cos(A-B)/2+2cos(A+B)/2cosC/2=2cosC/2(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2)=4cosC/2cosA/2cosS/2、tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)Ta
7、n+tan=tan(+)(1-tantan)左边=tanA+tanB+tanC=tan(A+B) (1-tanAtanB)+tanC=-tanC+tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC和差公式: 口诀:Sin()=sincoscossin 两角和差算正弦,正余余正号同前;Cos()=coscos-+sinsin 两角和差算余弦,余余正正号相反。tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) Tan+tan=tan(+)(1-tantan)积化和差公式: 口诀:Sincos=1/2sin(+)+sin(-) 正余正相加,余余余相加;Coscos=1/2cos(+)+
8、cos(-) 正正余相减,符号去管它。Sinsin=1/2cos(+)-cos(-) (正弦的角减余弦的角)倍角公式:Sin2=2sinsinCos2=cos-sin=(cos+sin) (cos-sin)=2cos-1 =1-2sin降次公式:cos=(1+cos2)/2 (降次升角,正减余加)sin=(1-cos2)/2 半角公式:sin/2=(1-cos)/2Cos/2=(1+cos)/2Tan/2=(1-cos)/(1+cos)tan/2=(sin/2)/( cos/2)=(2sin/2)/(2sin/2cos/2)=(1-cos)/sincot/2=(cos/2)/(sin/2)=(
9、2cos/2)/(2sin/2cos/2)=(1+cos)/sintan/2=(1-cos)/sin=sin/(1+cos) (正减余加,对角线法则)cot/2=(1+cos)/sin=sin/(1-cos)万能公式:sin2=2sincos=2sincos/(sin+cos)=2t/(1+t) (t=tan)Cos2=(1-t)/(1+t)Tan2=2t/(1-t)常见勾股数:3,4,5; 已知一个三角函数,求其三角函数,如:sin=16/65,5,12,13;7,24,25; 658,15,17; 169,40,41;11,60,61;16,63,65; 63三倍角方式: 口诀:sin3=
10、3sin-4sin 一次三次乘三四,cos3=-3cos+4cos 正负负正莫忘记。其它式子:、+=n, (nZ) ,则:tan+tan+tan=tantantan、+=n+/4, , (nZ)则:Tan+tan=tan(+) (1-tantan)=1-tantanTan+tan+tantan+1=2(tan+1) (tan+1)=2例 7、 (1+tan1) (1+tan2)(1+tan45)=2 23、+=n-/4(nR) ,则:(tan-1) (tan-1)=2例 8、tan70+tan50-3tan70tan50=tan120(1-tan70tan50)-3tan70tan50=-3例
11、 9、tan43tan17+tan17tan30+tan43tan30=1例 10、锐角 ABC 中,P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第二象限。例 11、已知 sin(x-3/4)cos(x-/4)=-1/4,求 cos4x。解:sin(x-3/4)cos(x-/4)=1/2sin(2x-)+sin(-/2)=1/2(-sin2x-1)=-1/4故:sin2x=-1/2Cos4x=1-2sin2x=1/2例 12、已知 sin+sin=1/2 ,cos+cos ,求 cos(-)/2,tan(+).口诀:要求差,两边平方再相加;要求和,和差化积求半角。解:+=2+2cos(-)=
12、1/4+1/9=13/36 Cos(-)=-59/72cos(-)/2=1+cos(-)/2=13/144由: 2sin(+)/2cos(-)/2=1/22cos(+)/2cos(-)/2=1/3故:tan(+)/2=3/2=tTan(+)=2t/(1-t)=-12/5例 13、若 sin+sin=2/2 ,求 cos+cos 的取值范围。解:设 m=cos+cos +=2+2cos(-)=1/2+mCos(-)=m/2-3/4因为 Icos(-)I1所以 Im/2-3/4I1,故-14/2M14/2例 14、在 ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求 C。解:
13、两式平方相加:9+16+24sin(A+B)=36+1得:sin(A+B)=1/2sinC=1/2C=30或 1504sinB=1-3cosA0cosA60,故 C=301 与余弦加减可消项: 1 与正弦加减可配方:1+cos2=2cos 1+sin2=(sin+cos)1-cos2=2sin 1-sin2=(sin-cos)例 15、求证:(1+sin2-cos2)/(1+sin2+cos2)=tan.证明:=(sin+cos)-(sin+cos)(cos-sin)/(sin+cos)+(sin+cos)(cos-sin)=(sin+cos-cos+sin)/(sin+cos+cos-sin)=2sin/2cos=tan=右求三角函数:直角三角形法,由直角三角形确定所求三角形的绝对值,象限确定符号。例 16、已知 tan,求 3sin+7cos。解:3sin+7cos=(3sin+7cos)/(sin+cos)=(3+7tan)/(tan+1) (tan0)=(-3+7tan)/(tan+1) (tan0)