1、实变函数内容小结实变函数的研究方法是将对实变函数的研究转化为对空间 中集合的研究，所以首NR要的工作考虑集合一、集合间的关系：集合的定义及集合的运算(并、交、取余、极限等), 利用基数可将无限集合分为两类：可数集合及不可数集合要求：1. 会证明两个集合相等；2. 了解集合的运算法则，特别是集列的极限与集列中各集合的关系及证明过程3. 了解一些常见的可数集，如整数集、有理数集及下述集合定理 6 若 中每个元素由 个互相独立的记号所决定，各记号跑遍一个可数集，An， nkxakkxn ,21;,21,321 则 为可数集。二、集合中元素间的一个关系(度量)：因为空间 为一个度量空间，所以其NR中的
2、任两点间具有距离，因此可在 中定义邻域、内外点、聚点、收敛、开集、闭集并NR考虑它们间的运算(并、交、取余等 )要求：1. 了解一些度量空间，如离散的度量空间、序列空间 、可测函数空间 、连续函数S)(Xm空间 、 ， 、,Cab2l,baLppl2. 了解开集 (闭集)的运算法则，会证明一些特定的集合为开集或闭集3. 了解紧集与闭集的关系4. 熟悉有限开覆盖定理及证明过程5. 掌握构造某个集合开覆盖的方法三、集合的一个几何度量(测度为长度、面积、体积的推广) ：为了定义可测集，引入集合的外测度定义，并给出集合可测的测度定义。该定义只能研究一些简单集合的可测性。证明一个集合是否可测常用的方法是
3、利用公式。)()(*CETmTm采用此法可得一些可测集经适当运算后仍然可测要求：1. 熟悉集合的外测度定义及可测集的运算规律，会证明一些给定的集合可测2. 了解一些常见的可测集，如 中的全体有理数、开集、闭集、区间、零测集等1,03. 了解 L 外测度的次可数可加性及 L 测度的可数可加性4. 熟悉单调可测集列的极限运算与测度运算位置互换的条件及证明过程5. 熟悉可测集与开集、闭集的关系及证明过程一个重要结论：设 是任意可测集，则对 (开)( 利用集合的外测度定义来E0,G构造)，使 ，且EG)(m四、可测函数：利用可测集的定义可给出可测函数的定义，从而将函数的可测问题转为对集合的研究，因此根
4、据可测集的运算知可测函数经适当运算后仍然可测，并且可探讨连续函数与可测函数的关系、一致收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系。要求：1.了解可测函数的定义及运算法则，并会证明一些函数可测2. 熟悉连续函数与可测函数的关系及证明过程3. 了解一致收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系及证明过程几个重要公式：,11nafEafn,11nafEafn， ，ffn1 ffn1),()(xffxf|()ffxf五、L 积分：因为前面所述四方面的理论，我们可引入 L 积分的定义( 特殊及一般)及对应的性质(特殊及一般)，并进一步探讨积分运算与极限运算位置互换的条件：勒贝格控制收敛定理、Levi 引理及 Fat
5、ou 定理要求：1. 了解函数 L 可积的定义及性质，并会证明一些函数可积2. 熟悉连续函数、可测函数与 L 可积函数的关系3. 熟悉 R 积分与 L 积分的关系4. 会熟练利用三大结论解决一些具体问题泛函内容( 度量空间与线性赋范空间) 小结我们希望泛函的定义空间与欧氏空间 具有尽可能多的相似性质：如点列可进行极限NR运算、空间具有完备性、空间中的元素可进行线性运算等。为此，在一个集合上定义距离，引入度量空间，进而在此空间上给出点列收敛定义及开闭集的定义并引入完备度量空间的概念。关于度量空间有一个重要的结论：压缩映射原理。 度量空间中的点列可进行求极限运算，但元素间无法进行线性运算，为此引入
6、线性空间。度量空间中的元素只能进行极限运算，而线性空间中的元素只能进行线性运算，线性赋范空间中的元素既可进行极限运算，又可进行线性运算。要求：1.了解一般度量空间中柯西点列与收敛点列的关系2. 会证明一些度量空间完备，如 、 =收敛数列 、 lCba,3. 会利用压缩映射原理解决一些具体问题4. 了解线性赋范空间与度量空间的关系，会证明某些集合上定义的一些量为范数5. 熟悉连续映射的几个充分必要条件及证明过程必须掌握教材中2. 79 页的定理 2, 96 页的例 3，121 页的例 1,3. 第五章的 5 题， 130 页的定理 7 4. 第五章的 11、15， 131 页的例 1 5. 第七章的第 15、17 题 6. 189 页的例 1-3
