1、课 题 第三章点、直线、平面的投影教 学目 的要 求1、掌握正投影法的基本原理和基本特性。2、理解三视图的形成过程，熟练掌握三视图与物体方位之间的关系。3、熟练掌握三视图的投影规律。重点 1、三视图的投影规律。2、正投影法的基本特性。重点与难点难点 三视图的三等关系和六向方位关系。授课形式 讲授 教具 模型 三角板教学内容投影法和三视图 投影法的基本知识一、什么是投影法用灯光或日光照射物体，在地面或墙面上就会产生影子，这是日常生活中见到的投影现象。如下图，设投影中心为 S，过投影中心 S 和空间点 A 作投射线 SA与投影面 P 相交于一点 a，点 a 就称为空间点 A 在投影面 P 上的投影
2、。同样 b、c是 B、C 的投影。如果将 a、b、c 诸点连成几何图形abc，即为空间ABC 在投影面 P 上的投影。上述投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影。投影法中得到投影的面称为投影面。二、常用投影法的种类投影法分中心投影法和平行投影法两大类：1、中心投影法投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。上图即为中心投影法。这类投影法，所得投影abc 的大小会随投影中心 S 距离空间ABC 的远近面变化，可知中心投影法不反映物体原来的真实大小。由于作图复杂和度量性差，故在机械图样中很少采用。2、平行投影法投射线互相平行的投影法称为平行
3、投影法。在平行投影中，因为投射线互相平行，若仅改变物体离开投影面的距离，则所得投影的形状和大小不变。平行投影法又可分为两类：斜投影法投射线与投影面相倾斜的平行投影法。所得的图形称为斜投影（斜投影图）。正投影法投射线与投影面相垂直的平行投影法。所得的图形称为正投影（正投影图）。平行投影法中的投影面又有单面和多面之分，前者用于画轴测图，后者用于画多面正投影图。直线段和平面形的投影特性一、直线段的投影特性线段的投影，由线段上一系列点的投影决定。由于两平面的 P 与 H 的交线 ab 必定为直线 ，所以直线的投影一般仍是直线。线段上其它点的投影，也必定位于由此两端点所决定的线段投影上。线段对于一个投影
4、面的相对位置有：平行、倾斜、垂直三种情况，其投影特性如下：线段平行投影面，投影反映真实长度（简称实长）；线段倾斜投影面，投影变短（短于实长）；线段垂直投影面，投影积聚成一个点。二、平面形的投影平面形对于一个投影面的相对位置有：平行、倾斜、垂直三种情况，其投影特性如下：平面形平行投影面，投影成真实形（简称实形）；平面形倾斜投影面，投影成为类似形；平面形垂直投影面，投影积聚为线段。作平面形投影的方法，一般先作出各边线的投影，各边线的投影组成的封闭线框即为平面形的投影。三、线段和平面形的投影特性1、真实性当空间平面形（或线段）与投影面平行时，其投影反映实形（实长），而且几何关系（平行、垂直、角度）也
5、保持不变。2、积聚性当平面形（或线段）垂直投影面时，在该投影面上的投影积聚为一段直线（或一个点）。3、类似性当平面倾斜于投影面时，这个平面形的投影成为一个与它既不全等、也不相似的类似形。 三视图根据有关标准规定，用正投影法所绘制出物体的图形称为视图。物体的一个投影不能确定物体的形状。如下图一、三视图的形成1、三投影面体系三投影面体系由三个互相垂直的投影面组成，V 面称为正立投影面；H 面称为水平投影面；W 面称为侧立投影面。三个投影面把空间分成八个部分，称为八个分角。顺序如上图。我国标准是将物体放在第一分角内进行投影，称为第一角画法。三个投影面的交线 OX、OY、OZ 称为投影轴（简称 X 轴
6、、Y 轴、Z 轴）。三根投影轴互相垂直交于一点 O，称为原点。以原点为基准，沿 X 轴方向度量长度尺寸和确定左右位置；沿 Y 轴方向测量宽度尺寸和确定前后位置；沿 Z 轴方向度量高度尺寸和确定上下位置。2、三视图的形成和名称如上图所示，把物体正放，就是把物体上的主要表面或对称平面置于平行于投影面的位置。物体的位置一经放定，作各个视图时就不许再变动。然后将组成此物体的各几何要素分别向三个投影面投射，就可在三个投影面上画出三个视图。由前向后投射在正面（V）上所得的视图叫主视图，由上向下投射在水平面（H）面上所得的视图叫俯视图，由左向右投射在侧面（W）上所得的视图叫左视图。把这三个视图按正确的投影关
7、系配置的视图，常称为三面视图或三视图。3、投影面的展开为了把三面视图画在同一张图纸上，必须把三个互相垂直相交的投影面展开摊平成一个平面。其方法如下图所示，正面（V）保持不动，水平面（H）绕 X 轴向下旋转 900与正面（V）成一平面，侧面（W）绕 Z 轴向右旋转 900，也与正面（V）成一平面，展开后三个投影面就在同一图纸平面上。投影面摊平后，Y 轴被分为两处，分别用 YH（H 面上）和 YW（W 面上）表示。理论上投影面是无限大的，且为了便于标注尺寸等原因，在工程图样上通常不画投影面的边线和投影轴，各投影面和视图的名称也不需要标注，由其位置关系来识别。二、物体与三视图的关系每个视图表示物体一
8、个方向的形状和两个方向的尺寸以及位置关系。主视图表示从物体前方向后看的形状和长度、高度方向的尺寸以及左右、上下方向的位置。（不反映宽度尺寸以及前后的位置关系）俯视图表示从物体上方向下俯视的形状和长度、宽度方向的尺寸以及左右、前后方向的位置。（不反映高度尺寸以及上下的位置关系）左视图表示从物体的左方向右看的形状和宽度、高度方向的尺寸以及前后、上下方向的位置。（不反映长度尺寸以及左右的位置关系）三、三视图间关系1、位置关系以主视图为主；俯视图在主视图的正下方；左视图在主视图的正右方。画三个视图时必须以主视图为主按上述关系排列三个视图的位置，叫做按投影关系配置视图。这个位置关系是不能更动的，并且视图
9、之间要对齐、对正不能错开。2、尺寸关系每对相邻视图同一方向上尺寸相等，即：主视图和俯视图中的相应投影长度相等，并且对正；主视图和左视图中的相应投影高度相等，并且平齐；俯视图和左视图中的相应投影宽度相等。上述是物体上的长、宽、高尺寸在三视图间的对于三视图的总体或局部都是如此，在画图、读图、度量及标注尺寸时都要注意。3、方位关系主视图和俯视图可以分出物体上各结构之间的左右位置；主视图和左视图可以分出物体上各结构之间的上下位置；俯视图和左视图靠近主视图的一面是物体的后面，另一面是物体的前面。课后小结 重难点总结课 题 32 点的投影教 学目 的要 求熟练掌点的投影规律重点 掌握点的投影规律；判断重影
10、点重点与难点难点 特殊位置点的投影授课形式 讲授 教具 三角板教学内容32 点的投影一、空间点的位置和直角坐标空间点的位置可由其直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A（x，y，z）；A（25，20，30）；A（x A，y A，z A）；B（x B，y B，z B）。其中 x，y，z（或相应数字）均为该点至相应坐标面的距离数值。如下图。由于点的一个投影只能反映它到两个投影面的距离或坐标值，而在第三个坐标方向（即垂直于投影面的方向）的距离或坐标值显示不出来，所以仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。二、点的三面投影规定把空间点用大写字母 A、B、C等标记，在 H 面上的投影用小写字母表示如
11、a、b、c，在 V 面上的用 a、b、c表示，在 W 面上的用：a“、b”、c“表示。为了了便于进行投影分析，用细实线将点的相邻投影连起来，称为投影连线。点 A 在 V 面上的投影，由点 A 到 H、W 两个投影面的距离或坐标值：z A、x A所决定。点 A 在 H 面上的投影，由点 A 到 V、W 两个投影面的距离或坐标值：xA、 yA所决定。点 A 在 W 面上的投影，由点 A 到 V、H 两个投影面的距离或坐标值：yA、 zA所决定。三、点的三面投影由下图可以看出，过点 A 的三条投射线，构成三个互相垂直的平面，它们与三个投影相交得六段交线（即投影连线），并组成一个六面体，它的各面是矩形
12、，对边互相平行且相等，邻边互相垂直。点的投影规律：点的相邻两个投影的连线，必定垂直投影轴。点的投影到投影轴的各段投影连线长度，分别等于点到三个投影面的距离，而且两两相等。点是最基本的几何元素，以上两点投影规律不但为画和读点的投影图所依据，也为今后各种图示、读图以及图解问题所应用。四、各种位置点的投影点的位置有在空间、在投影面上、在投影轴上以及在原点上四种情况，各有不同的投影特征。空间点三个坐标均不为零。点在投影面上，点的一个坐标值为零。点在投影轴上两个坐标等于零。点在原点三个坐标值均为零。当空间二个点的两对同名坐标相等，这两个点叫重影点。重影点的一个投影重合在一起，需由第三个不相等的坐标来判别
13、，坐标大的点可见，坐标小的点不可见，不可见的点要加括号。课后小结 点的投影课 题 33 直线的投影教 学目 的要 求掌握各种位置直线的投影特性，并能借以判断直线的空间位置。重点 掌握各种位置直线的投影特性；对各种位置直线的空间位置能熟练地判断。重点与难点难点 各种位置直线的投影及判断两直线垂直相交授课形式 讲授 教具 三角板 直线作业 P、11教学内容与过程一、直线的投影1、 直线的各面投影可由直线上两个点的同名投影来确定。（P、76 图 311）2、直线上任一点的投影必定在该直线的同名投影上。3、若线段上的点将线段分成定比，则该点的投影也必将该线段的同名投影分成相同的定比。讲解以上内容时，一
14、一在黑板上画出。二、各种位置直线的投影特性空间直线对于三个投影面有三类不同的位置，即：一般位置直线，投影面平行线，投影面垂直线。后两类统称为特殊位置直线。在学习各种位置直线的投影时，可画出其空间位置直观图帮助想象。1、一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。一般位置直线与其投影之间的夹角为该直线对该投影面的倾角，分别用 、 表示。 为直线与 H 面的倾角， 为直线与 V 面的倾角， 为直线 与 W 面的倾角。一般位置直线与投影轴的夹角为该直线倾角的投影。（P、79 图 312）一般位置直线的投影特征：一般位置直线 的三个投影都是直线，不反映实长；且均与投影轴倾斜，其与投影轴的夹角
15、不反映该直线对投影面倾角的真实大小。利用上述投影特征，如果已知直线的两个投影，且均与投影轴倾斜，就可判断其为一般位置直线。2、投影面平行线平行一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线，投影面平行线又分为三种：平行于 H 面，而与 V、W 面倾斜的直线叫做水平线；平行于 V 面，而与 H、W 面倾斜的直线叫做正平线；平行于 W 面，而与 H、V 面倾斜的直线叫做侧平线。投影面平行线对于三个投影面 H、V、W 的倾角分别用 、 表示，其中某个倾角为零。P、76、77 表 31 列举几种投影面平行线及其投影特征。画图时，对于投影面平行线，应先画它所平行的投影面上的那个投影（反映实长的斜
16、线）3、投影面垂直线垂直一个投影面的直线，称为投影面垂直线。垂直于 H 面的称为铅垂线，垂直于 V 面的称为正垂线，垂直于 W 面的称为侧垂线。P、78 表 32 列举了几种投影面垂直线的投影图例及其投影特征。三、两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。前两种统称为共面直线，交叉位置的两直线则称为异面直线。一、平行的两直线平行两直线的投影仍互相平行，这种投影性质可称为平行性。根据平行直线的投影性质可推论：平行两直线的各组同名投影必定互相平行。换言之，如果投影图中三组同名投影都互相平行，则直线在空间一定互相平行。实际上，对于一般位置直线，只要两组投影就足够判定它们是否平行。如
17、果是特殊位置直线，则只要反映实长的投影互相平行，也能证明两直线在空间是互相平行的。二、相交的两直线相交两直线的各组同名投影也必定相交，而且交点符合空间点的投影规律。换言之，若投影图中两直线在三个投影面上的同名投影都相交，且交点的投影符合空间点的投影规律，则此两直线在空间必定相交。判别一般位置直线是否相交，一般只要根据任两组同名投影就能作出正确的判断。但是，如上图，CD 为侧平线，故还要看该直线在所平行的那个投影面上的投影情况。三、交叉的两直线 两条既不平行又不相交的直线叫做交叉两直线。交叉两直线的各面投影不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性。重影点的判别：（1）从重影点画一
18、根垂直于投影轴的直线到另一个投影中去，就可将重影点分开成两个点；（2）所得的两个点中坐标较大的一个点可见，坐标较小的一点为不可见。四、两直线垂直相交两条直线相交成直角时，叫做垂直相交或正交。当相交成任意角的两直线都是同一投影面的平行线时，则交角在所平行的投影面上的投影反映其真实大小。但是：如果两条直线垂直相交，只要有一条为投影面的平行线，则在所平行的投影面上两直线的同名投影仍互相垂直相交，这就是直角的投影特性。换言之，若投影图上相交两直线的一组同名投影互相垂直，且其中一条直线是该投影面的平行线，则此空间两直线是垂直相交两直线。课后小结直线三种位置的投影特点课 题 34 平面的投影教 学目 的要
19、 求掌握各种位置平面的投影特性，并能借以判断平面的空间位置。掌握点和直线在平面上的几何条件，会用辅助线法示属于平面上的点重点掌握各种位置平面的投影特性；对各种位置平面的空间位置能熟练地判断。掌握属于平面的点和直线的投影特性重点与难点难点 各种位置平面的投影及判断判断点或直线是否属于平面授课形式 讲授 教具 三角板教学内容与过程一、平面的表示法1、用几何要素表示平面不在一直线上的三个点可确定一个平面。2、用迹线表示平面空间平面与投影面的交线称为平面的迹线。对于特殊位置迹线平面，用两段短的粗实线表示有积聚性的迹线的位置，中间以细实线相连，并在两端标以符号。二、各种位置平面的投影特征 空间平面对于三
20、个投影面有三类不同的位置，即一般位置平面，投影面平行面和投影面垂直面。后两类又称为特殊位置平面。1、一般位置平面倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面，一般位置平面的各个投影均为类似形线框，不反映实形，也不反映该平面对投影面的倾角。P、83 图 3212、投影面平行面平行一个投影面的平面，称为投影面平行面。一个平面平行于一个投影面，必定与另外两个投影面垂直。平行于 H 面的称为水平面，平行于 V 面的称为正平面，平行于 W 面的称为侧平面。投影面平行面的投影特征见 P、85 表 34投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映实形；另外两个投影积聚成线段，且分别平行于相应的投影轴。画图时，对于投
21、影面平行面，一般应先画反映实形的那个投影。读图时，只要给出平面图形的一个线框和另一个平行投影轴的积聚投影，就可判断其为投影面的平行面，且平行于线框所在的投影面。3、投影面垂直面垂直一个投影面与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。垂直于 H 面的平面称为铅垂面，垂直于 V 面的平面称为正平面，平行于 W 面的平面称为侧垂面。投影面垂直面的投影特征见 P84 表 33投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影积聚成为线段且与投影轴倾斜，所夹角度反映该平面对另外两个投影面倾角的真实大小；另外两个投影面上的投影为该平面的类似形。画图时，对于投影面垂直面，一般应先画有积聚性的那个投影，然后再画出两个类似形线框的投影。读图时，只要给出平面形的一个类似形线框的投影和为一段斜面线的积聚投影，由这两个投影，就可判定该平面为投影面垂直面，且垂直于斜线所在的投影面。课后 平面投影特点小结
