解析几何高考题型分析及解法指导.doc

1、解析几何高考题型分析及解法指导近年来各地高考试题中解析几何内容在全卷的平均分值为 27.1 分，考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。题目突出主干知识、注重“知识交汇处” 、强化思想方法、突出创新意识。从题型来看，选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法。因此，在复习过程中这一点值得强化。从内容来看， 直线与圆的方程是解析几何中最基础的内容，在高考试题中，主要以客观试题的形式出现 ，

2、属于低档题，直线以倾斜角，斜率，夹角，距离，平行与垂直，线性规划等有关问题为基本问题；对称问题（包括点对称，直线对称） ，要熟记解答的具体方法；与圆的位置有关的问题，其常规的解答方法是研究圆心到直线的距离；所考查的思想方法仍将是坐标法，数形结合，分类整合，方程的思想和待定系数法。 圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线和圆锥曲线的位置关系等。坐标法是解析几何的基本方法，已知曲线的方程，通过方程研究曲线的有关性质，通过曲线满足的性质，探求曲线的轨迹方程及圆锥曲线的参数的取值范围问题是高考的常考常新的话题。关于圆锥曲线问题解决的基本方法是定义法，配方法，换元法，待定系数法和化归法。本文

3、结合 2009 年考纲要求和对 2008 年全国各地解析几何题型和解题方法的分析，期望从中窥见 2009 年考试方向。一、09 年考纲要求掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式，两点式，一般式，能熟练求出直线方程。掌握两条直线平等与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线 的距离公式，能够判断两条直线的位置关系。理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用，了解解析几何的基本思想，了解坐标法。掌握圆 的标准方程和一般方程， 了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程，及其简单几何性质，了解椭圆的参数

4、方程，了解圆锥曲线的简单应用。二、2008 年高考平面解析几何题型归类分析1基础知识、基本运算的考查：例 1(2008 山东文)若圆 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，C430xyx则该圆的标准方程是（ ）A B227(3)xy22()(1)xyC D22(1)()1xy 23解析：设圆心坐标为（m,1） ，由圆心到直线的距离公式可求 m2.故选 B点评：本题考查求圆的方程，已知曲 线类型求轨迹时常用待定系数法。涉及到圆与直线的位置关系，常用到几何方法。本题中圆与 x 轴相切， 则圆心的纵坐标与半径的 值相等。注意用数形结合，画草图帮助理解。例 2.（2008 北京理）若点

5、到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹P1(20)， P为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：即到点与到直线的距离相等的轨迹为抛物线，选 D点评： 本题考查抛物线的定义 ，将点 P 到 的距离，转化为点 P 到 x2 的距离，体现了转1x化与化归的思想。例 3.（08 湖北文15）圆 的圆心坐标为（3，2） ，和圆 C 关34cos,()2inCy为 参 数于直线 对称的圆 C的普通方程是（ x2） 2（ y3） 216（或0xyx2 y24 x6 y30）.点评：考查圆的参数方程，及圆 的对称问题（一般的曲线对 称问题简单）。2基本方法与基本技能的考查：例 4.(2008

6、 重庆理)圆 O1：x 2y 22x0 和圆 O2：x 2y 24y0 的位置关系是 ( )(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切解析：由两圆心间的距离在（R 1-R2)和(R 1+R2)间，故选 B。点评：两圆的位置关系有五种。此 类问题通常是求两圆心之 间的距离，再与两 圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系例 5.（安徽理15）若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从2 连续变化到 1A02xya时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 xyaA74点评：本题考查线性规划知识，本 质上是对数形结合方法的考 查。近年来以 线性规划为载体而考查其变形问题较多，为代数问题 找到几何模型

7、值得注意。体 现转 化与化归的思想。3. 圆锥曲线几何性质的考查：例 6.(2008 福建文、理)双曲线的两个焦点为 ，若 P 为其上的一点，2:1(0,)xyCab且 ，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）12|PF (,3)(1,3(3,)3,)解析：由 ,又双曲线离心率大于 1,故 B 正确。221 eacPFa可 得点评：本题考查双曲线的离心率，离心率是 圆锥曲线的重要特征，是命题的热点。圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多 处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。4.有关直线与圆锥曲线及曲线与曲线的综合题例 7.(湖北文20) 已知

8、双曲线 的两个焦点为2:1(0,)xyCab在曲线 C 上.:(2,0):(,)(3,7)FP点（）求双曲线 C 的方程；（）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，若OEF的面积为 求直线 l 的方程2,解：()依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为 （0 a24） ，1422yax将点（3， ）代入上式，得 .解得 a2=18（舍去）或 a22，77922故所求双曲线方程为 .12yx()解：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得(1 k2)x24 kx6=0.直线 I 与双曲线 C 相交于不同

9、的两点 E、 F, ,3,10)1(64)(,0122 ， kkk k( )(1, ).,33设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得 x1+x2= 于是,16,422kxk|EF|= 121 )()= |34(1 2221212 kxxk而原点 O 到直线 l 的距离 d ,2k S OEF= .|1|32|1|312|1222 kkEFd 若 S OEF ，即 解得 k= ,0|3242k满足.故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 和x.2xy点评：本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直 线和双曲 线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及

10、综合运用数学知识进 行推理运算的能力.涉及到三角形的面积问题。在直线与圆锥曲线 的位置关系处命题一直是个 热点，基本方法是 联立方程，利用判别式、韦达定理求解，运算量一般较 大。 这类综合题中常涉及的问题 有弦长问题，面积问题，对称问题，轨迹问题，定点、定值问题，是历年来高考中的热点问题，复习时要注重通性通法的训练。5.解析几何相关的应用题例 9.（08 湖北理10）如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变

11、轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 2c1和 2c2分别表示椭轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a 1+c1=a2+c2; a 1-c1=a2-c2; c 1a2a 1c1; .321ca其中正确式子的序号是( B )A. B. C. D.解析：由题意及图知 ，故正确，又因为 ，所以 整理得21ca21a21ac故正确，因此答案选 B21ca点评：本题实际上是由课本上的一道例题改变而来，主要是考查椭圆与椭圆、 椭圆与圆之间焦距、长轴及圆半径三者之间的转化关系，考 查学生阅读资料、提取信息和建模能力。取材于 课本，要求在复习过程中重视课本，用

12、好例 题与练习题。6.解析几何相关的定义信息开放创新题例 10.（湖南理20）若 A、 B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定 x02.（I）证明：点 P（ x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II) 试问：点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0表示）：若不存在，请说明理由.解: 略点评：定义新概念，知识点发生有效的迁移是解决此 题的关 键，充分体 现了在新情境下考查

13、学生综合运用知识解决问题的能力，同 时一系列的存在性问题， 给 原本静态的问题赋于了动态活力，使问题更具开放性，对学生探索能力的考 查更直观，区分度更大。7.解析几何与其它知识综合题解析几何与立体几何的交汇问题例：（08 浙江理10） 如图， 是平面 的斜线段， 为斜足，若点 在平面 内运动，ABAP使得 的面积为定值，则动点 的轨迹是（ B ）ABP PA圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线点评：本题以立体几何为载体考查用平面截圆柱所得的截面这一椭圆的几何定义，这是课本阅读材料当中的内容，紧扣高考题 源于课本的理念。ABP（第 10 题）解析几何与平面几何的交汇问题例：（08 江西理21）

14、设点 在直线0,Pxy上，过点 作双曲线,01xmy的两条切线 ，切点为 ，定点 (21PAB、 A、 M， 0)（1）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，试求0xyN 的重心 所在的曲线方程；AMNG（2）求证： 三点共线B、 、解：（1）设 ， ，AN直线 ，则),(Ayx),(Nxxy1NAx ， ， 设 ，则2ANx)2,(A),(G，解得AAAAyxyxymm216321，代入双曲线方程 ，并整理得 ，myxyA4912x 129)31(9ymx即 G 点所在曲线方程为 192)3(yx（2）设 ， ，PA 斜率为 k，则切线 PA 的方程为：),(1yxA),(2B )(11xky由

15、，消去 y 并整理得：2k，因为直线与双曲线相切，从而01)()()1( 211 kxxx= = 0，及 ，解得)1(4)(14)(4 2212212 kkxykxy 121yx1yxk因此 PA 的方程为： 同理 PB 的方程为：12又 在 PA、PB 上， ),(0ymP10mxy120xy即点 ， 都在直线 上，1xA),(2B又 也在 上，A、M、B 三点共线),(M10xy点评：本题重点考查直线与直线、直 线与双曲线之间的位置关系。数形结合、熟练地进行坐标运算、设而不求的消元思想、用代数方法解决几何问题是解析几何的主 题，复 习时要注重培养学生的综合运算能力。解析几何与解三角的交汇问

16、题例：（08 重庆理21）如图（21）图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P 满足： 6.（）求点 P 的轨迹方程；（）若 ,求点 P 的坐标.21cosMN解：()由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以 M、 N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆.因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴 b= ，25ac所以椭圆的方程为21.95xy()由 得,cosPMNPAcs2.A因为 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N 构成三角形.在 PMN 中，o1,4,N由 余 弦 定 理 有 22cos.NPNA将代入，得 2().PM故点 P 在以 M、 N 为焦点，实轴长为 的双曲

17、线 上.2321xyAyxO BGFF1图 4由()知，点 P 的坐标又满足 ，所以2195xy由方程组 解得2594,3.xy3,2.y即 P 点坐标为 5353535(,)2222、 （ ， -） 、 （ -， ） 或 （ ， -） .点评：本题考查椭圆与双曲线定义及两种圆锥曲线的交点问题。在第二问中涉及到两边之和与夹角，联系解三角形知识，利用余弦定理可求解。解析几何与平面向量，导数的交汇问题例：（08 广东理18）设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 如0b21xyb28()xyb图 4 所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在(2)F， x G点 的切线经过椭

18、圆的右焦点 G1（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得AB， P为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点P的坐标） 解析：（1）由 得 ，28()xyb218xb当 得 ， G 点的坐标为 ， ， ，yb4(4,)14yx4|1x过点 G 的切线方程为 即 ，(2)yx2令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ，0y2x1F(,0)b1F(,0)b即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；b2xy28xy（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个

19、，AxPABRtABP同理 以 为直角的 只有一个。PBRtAB若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和APB21(,)8xAB(2,0)， (2,0)。224215()1086xx关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，APBRtABP因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。ABP点评：本题主要考查直线、椭圆 、抛物 线等平面解析几何的基 础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力。在第一 问中涉及到切 线问题，与 导数相联系，难度不大，第二问中涉及到方程的解的问题，同 时考查向量知识运用的灵活性。在向量、导数、函数、方程交

20、汇处设计题目，也是近几年来高考的 热点之一。解析几何与极坐标的交汇问题例： 9（08 安徽 文22）设椭圆 其相应于焦点 的准线方程2:1(0)xyCab(2,0)F为 .（ ）求椭圆 的方程；4x（）已知过点 倾斜角为 的直线交椭圆 于 两点，求证： 1(2,0)F,AB;2ABCOS（）过点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 和 ,求 的1(,0)C,DEAB最小值解 ：（1）由题意得： 椭圆 的方程为22844caab 2184xy(2)由（1）知 是椭圆 的左焦点，离心率1(2,0)FC2e设 为椭圆的左准线。则l:4lx作 ， 与 轴交于点 H(如图)111,AB于点 A 在椭圆上

21、112AF 1(cos)FHA12cosAF同理 1cos 12sB。1 224cocsABF点评：此题以直线与椭圆的位置关系为命题元素，以求弦 长为载 体将解析几何问题代数化及用三角函数的方法去解决圆锥曲线中有关求最值及求范围问题。本题同时具备极坐标特征，若用极坐标的思想来解题，本题第二问 就会快速求解。在复 习过程中适当地 扩充，或在边缘问题上适当补充，不仅可以开阔学生视野，而且可以 为某些解题方法提供更好的思路。三、方法总结及复习建议1求直线方程或者判断直线的位置关系时，要注意斜率，截距的几何意义，在判断关系时除用斜率判断之外注意向量的利用。2.直线与圆，圆与圆的位置关系关系常用几何方法

22、处理。3求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的 a，b，p 等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e 的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 注意各种方程的一般式。4涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，或在圆锥曲线中涉及到焦点与到准线的距离时常常要注意运用定义.5直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.6.注意弦长公式的灵活运用7.离心率的思路 1、定义法，分别求出 a、c 或者用第二定义；2、方程法即从a、b、c、d、e 五个量中找联系，知二求三8.中点弦问题“点差法”最有效9对于

23、轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.10与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.四、对 2009 年高考解析几何题型的预测1求曲线（轨迹）方程的常用方法（定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等） 。2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。3直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：（1）直线方程、圆方程；（2）圆锥曲线的标准方程；（3）

24、圆锥曲线的几何性质；（4）直线与圆锥曲线的位置关系；（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。五、后段复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。