1、1全国高考数列题1、(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x-sinx，数列a n满足：0a 11，a n+1=f(an)，n=1，2，3，证明：()0 a n+1a n1；()a n+1 an362、 （本小题分）已知正项数列 ，其前 项和 满足 且 成等比数列，求nanS21056,nna125,a数列 的通项n.3、 （本小题满分 14 分）已知公比为 q(0q1)的无穷等比数列a n各项的和为 9，无穷等比数列a n2各项的和为。581（）求数列a n的首项 a1和公比 q：（）对给定的 k(k=1,2,n),设 Tk是首项为 ak，公差为 2ak-1 的等差数列，求数列 T2的
2、前 10 项之和： （）设 bi为数列 的第 i 项，s n=b1+b2+bn，求 sn，并求正整数 m(m1),使得)(iT limn存在且不等于零。mns（注：无穷等比数列各项的和即当 n 时该无穷等比数列前 n 项和的极限）4、(本小题满分 14 分)在 m(m2)个不同数的排列 p1p2pm 中，若 1ijm 时 pip j (即前面某数大于后面某数)，则称 与 构成一个逆序一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记ipj排列(n+1)n(n-1)321 的逆序数为 ，如排列 21 的逆序数 =1，排列 321 的逆序数na1a=3，排列 4321 的逆序数 =62a32()求 、
3、，并写出 的表达式；4a5na()令 = ,证明 2n + + 2n+3， n=1，2，nbn11b2n5、 （本小题满分 12 分）已知正项数列 ，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn= 5a n6，且 a1，a 3，a 15 成等比数na2列，求数列 的通项 an.6、 （本小题满分 12 分）在数列 中， ， .na1212()nnaa（）求 的通项公式；（）令 ，求数列 的前 项和 .12nnbnbnS（）求数列 的前 项和 .aT7、(本小题满分 14 分)已知数列a n满足：a 1= ,且 an= (n2,nN *).231n(1)求数列a n的通项公式；(2)证明：对一切正整数
4、n，不等式 a1a2an2n!恒成立.38、已知有穷数列 共有 2 项（整数 2） ，首项 2设该数列的前 项和为nak1an，且 2（ 1，2，2 1） ，其中常数 1nS1S)(k（1）求证：数列 是等比数列；（2）若 2 ，数列 满足 （ 1，2，2 ） ，求数1knbn)(log21n k列 的通项公式；nb（3）若（2）中的数列 满足不等式| | |n1b32| | |4 ，求 的值1kk23k9、 （本小题满分 14 分）设数列 、 、 满足： ， （n=1,2,3,） ，nabnc2nnab 213nac证明 为等差数列的充分必要条件是 为等差数列且 （n=1,2,3,）b10、
5、(本小题满分 14 分)已知各项均为正数的数列a n满足 =anan+1，nN *12n(1)求数列a n的通项公式；(2)设 Sn=a21+a22+a2n，T n= ，求 Sn+Tn，并确定最小正整数 n，使221naSn+Tn 为整数11、设数列a n的前 n 项和为 Sn，且对任意正整数 n， an+Sn=4096.(1)求数列a n的通项公式：4(2)设数列log 2an的前 n 项和为 Tn.对数列T n，从第几项起 Tn-509？12、 （本小题满分 12 分）在数列 中， ， .na1212()nnaa（）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；2（）令 ，求数列 的前 项和 ；
6、1nnbnbnS（）求数列 的前 项和 .aT13、 （本小题满分 12 分）数列 的前 n 项和为 Sn，已知 ，s n=n2an-n(n-1),n=1，2a1（）写出 sn 与 的递推关系式（n 2）,并求 sn 关于 n 的表达式：1（）设 求数列b n的前 n 项和 Tn。)(,)( Rpxffnn 14、 （本小题满分 12 分）已知 ,其中 ,设0(),nfx1()()kkfxf(,)nkN, .212220().).knnnnFCffCffx1,(I) 写出 ;k(II) 证明:对任意的 ,恒有12,x112()()nFx515、 （本大题满分 12 分）已知数列 ，其中 ，记数
7、列 的前na121,3, 2nnaana项和为 ，数列 的前 项和为nnSlU（）求 ； U（）设 ， （其中 为 的导210,!nUnn nkeFxxTxFkxkF函数） ，计算 1limnTx16、 （本大题满分 12 分）在等差数列 中， ，前 项和 满足条件na1nnS， 24,12,nS（）求数列 的通项公式；na（）记 ，求数列 的前 项和 。(0)bpnbnT17、 （本小题满分 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ， na2()R，nSpqnN（1）求 的值；q（2）若 与 的等差中项为 ， 满足 ，求数列 的前 项和1518nb2logabn18、 （本大题满分 12 分）
8、6数列 的前 项和记为na 11,21nnSaS（）求 的通项公式；（）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又nbnT35成等比数列，求123,aban19、已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为正整数）.nanS1a3231nS（1）求数列 的通项公式；（2）记 .若对任意正整数 ， 恒成立，求实数 的最大值. naaS21 nSkk20、(本小题共 14 分)在数列a n中，若 a1，a 2 是正整数，且 an=|an-1-an-2|,n=3，4，5，则称a n为“绝对差数列”.() 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；() 若“绝对差数列”a n中，a 2
9、0=3，a 21=0，数列b n满足 bn=an+ an+1 + an+2，n=1，2，3，分别判断当 n时，a n 与 bn 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.21、 （本小题满分 12 分）设数列a n的前 n 项和。,321,314S（）求首项 a1 与通项 an；（）设 ，证明：,sTnniiT1.23722、(本小题满分 14 分)已知数列x n、y n满足 x1=x2=1，y 1=y2=2，并且 ( 为非零111,nnnyx参数，n=2，3，4，)()若 x1、x 3、x 5成等比数列，求参数 的值；()当 0 时，证明
10、(nN *)；nyx1()当 1 时，证明 (nN *).1322 nyxx 23、(本小题共 14 分)设等差数列a n的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0，S 14=98，求数列a n的通项公式；()若 a16，a 110，S 1477 ，求所有可能的数列a n的通项公式 .24、)(本小题满分 12 分)已知a 为等比数列,a =2，a +a = .求a 的通项公式.n32430n25、 （本小题满分 14 分）已知数列x n满足 x1=x2=1，并且（ 为非零参数，n=2，3，4，）.1nn()若 x1、x 3、x 5 成等比数列，求参数 的值；
11、()设 0 1，常数 kN *且 k3，证明8+ (nN *).21xkknkk126、 （本小题满分 14 分）已知数列 满足na*11,2().naN（I）求数列 的通项公式；（II） 若数列b n满足 ，*)1(441121 Nnanbnbb （证明：b n是等差数列（）证明： *1231.().22naaN27、 （本小题满分分）设数列 的前 项和为 ，且方程 有一根为nanS20nxa1,2,3.nS（I）求 12,;（II）求 的通项公式n28、已知函数 数列 （ ）的第一项 以后各项按如下方 ,x)(23f n0x,1x式取定：曲线 处的切线与经过（0，0）和（ 两点的)(1nf
12、y在 )(nxf直线平行（如图） ，求证：当 n N+时，9（） ；1n2n2x3x（） 。2112)()(29、 （本小题满分 14 分）已知数列 满足na *1221,3,().nnaaN（I）证明：数列 是等比数列；n（II）求数列 的通项公式；n（II）若数列 满足 证明 是等差数列。b121*4.(),nnbbbaNnb30、 （本小题满分分）设等比数列 的前 n 项和为 ，anS481,7,?na求 通 项 公 式31、若 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，且 S1，S 2，S 4 成等比数列() 求数列 S1，S 2，S 4 的公比；() 若 S2=4，求a
13、n的通项公式1032、 （本小题满分 13 分）已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 .数列 的26)(xfan前 n 项和为 Sn，点 均在函数 y=f(x)的图象上。)(,*nN（）求数列a n的通项公式；（）设 ，T n 是数列b n的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 都13nab 20m*Nn成立的最小正整数 m。33、(本小题满分 14 分)已知 a12，点(a n，a n+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中 n=1，2，3，()证明数列lg(1+a n)是等比数列；()设 Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)，求 Tn 及数列a n的通项；
14、()记 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn,并证明 Sn+ =1.na 13T34、 （本小题满分 12 分）已知一列椭圆 ， 若椭圆 上有一点 ，使 到右2:1nnyCxb0,12,n nCnP准线 的距离 是 与 的等差中项，其中 分别是 的左、右焦点。nlndPFG,nFGn11（）试证： ；3(1)2nb（）取 ，并用 表示 的面积，试证： 且nnSnPFG12S1(3)nS35、 （本小题满分 12 分）如图，对每个正整数 n，A n（x n，y n）是抛物线 x2=4y 上的点，过焦点 F 的直线 FA.交抛物线于另一点 Bn（s n，t n）.（）试证：x nsn=4（n
15、1） ；（）取 xn=2n，并记 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点.试证：|FC1|+|FC2|+|FCn|=2n-2-n+1+1（n1）.12全国高考数列题答案1、证明 ()先用数学归纳法证明 0a n1，n=1，2，3，()当 n=1 时，由已知，结论成立()假设当 n=k 时结论成立，即 0a k1因为 0x1 时 f(x)=1-cosx0，所以 f(x)在(0，1) 上是增函数又 f(x)在0，1 上连续，从而 f(0)f(a k)f(1)，即 0a k+11-sin11故当 n=k+1 时，结论成立.由()、() 可知，0a n1 对一切正整数都成立因为
16、 0a n1 时，a n+1-an=an-sinan-an=-sinan0，所以 an+1a n.综上所述 0a n+1a n1.（）设函数 g（x）=sinx-x+ x3，0x1.6由()知，当 0x1 时，sinx x.从而 g（x）=cosx-1+ =-2sin2 + -2（ ） 2+xx=0.2x所以 g（x）在（0，1）上是增函数. 又 g（x）在0，1上连续，且 g（0）=0，所以当 0x1 时，g（x）0 成立.于是 g（a n）0，即 sinan-an+ an30.故61an+1 an3.62、解：10S n=an2+5an+6, 10a 1=a12+5a2+6, 解之得 a1
17、=2 或 a1=3.又 10Sn1 =an1 2+5an2 +6,(n2) ， 由得 10an=(an2a n1 2)+5(ana n1 ), 即（a n+an1 ）(a na n1 5)=0.13a n+an1 0, a n an1 =5 (n2).当 a1=3 时,a 2=13，a n=73,a1,a2,an 不成比数列，a 13.当 a1=2 时,a 2=12，a n=72，有 a32=a1a2, a 1=2, a n=5n3.3、.解() 由题设可得: 数列 的首项 为 3,公比 q 为 .358192qn1a32()由( )知 ,所以,等差数列 的的首项为 ，公差)3(nna)2(T
18、2,12d，即数列 的前 10 项之和为 155。90210S )(（） 为数列 的第 i 项， 是首项为 ,公差为 2 -1 的等差数列，ib)(iT)(iiai )1()31()(121 iiai iiii又 nnbS2= )(20)3()3(7531 1nn= )(2)(2令 13)()(nt 则 n)32(13(275)(31242 以上两式相减得： nt )()3143231)(nn n)32(5 nt)32(51 21()458(Sn 2)34518limli ns n因为 m1，且 存在，显然，当 m=2 时， ,nsli 1limns当 m2 时， ，由题设 不等于 0，因此
19、m2 不合题意，舍去。0limnnsli故满足题设的 m 的值为 2。144、解 （）由已知得 a4=10，a 5=15，a n=n+（n-1）+2+1= .2)1(n（）因为 bn= = 2 =2，n=1，2，n1 所以 b1+b2+bn2n.又因为 bn= =2+ ，n=1，2，n所以 b1+b2+bn=2n+2（ ）+（ ）+（ ） 31421=2n+3- 2n+3.综上，2nb 1+b2+bn2n+3，n=1，2，.5、解：10S n=an2+5an+6, 10a 1=a12+5a1+6, 解之得 a1=2 或 a1=3.又 10Sn1 =an1 2+5an1 +6 (n2)， 由得
20、10an=(an2a n1 2)+5(an an1 ), 即（a n+an1 ）(a n an1 5)=0.a n+an1 0 , a n an1 =5 (n2) .当 a1=3 时,a 2=13， an=73,a1，a 2，a n 不成等比数列，a 13 .当 a1=2 时,a 2 12， an=72，有 a32=a1a2, a 1=2, a n=5n3.6、解答：（）由条件得 ，又 时， ，()nn2故数列 构成首项为 1，公比为 的等比数列.从而 ，即 .2na221na21na（）由 得 ，2()nnb235nnS，23115nnS两式相减得： ， 所以 .231()2n 25nnS（
21、）由 得 .23112()nnaa 1nTaT所以 .1nnTS146n7、解：(1)将条件变为：1- 因此，1- 为一个等比数列，),(31nnana其首项为 1- ,公比为 ，从而 1- ，据此得 an= (n1) 1an31315（2）证：据得，a 1,a2an= .为证 a1a2an2n!，)31()(3!2n只要证 nN *时有 . )(2n显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个 nN*,1- . )31()1(32n )31(2用数学归纳法证明式：1n=1 时，显然式成立，2设 n=k 时，式成立,即 1- ,)31()(32k )31(2k则当 n=k+1 时,1- )()1
22、(2k 1k )(2k 13k=- -332k 1k3132k1- .即当 n=k+1 时，式也成立 .)(故对一切 nN *,式都成立.利用得， 1-)31()1(32n )31(2n=1- =1- .故式成立，从而结论得证.31)n nn)()(8、解：（1） ，则 ，两式相减，得 ，21nnSa21nnSaan1（又 ）数列 是首项为 、公比为 的等比数列。a2,（2） ， （ 1nb 21log212log)(log21 kaanan，2，2 ） 。k（3）由（2）知，数列 是首项为 、公差为 的等差数列。nbk又 ， 时， ； 时， 。12kbn 123nb23nb| | | | |
23、132kk16kkk bbb2217,6543,2,4,32048422 kZ9、证明：必要性.设a n是公差为 d1 的等差数列，则bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0 所以 bnb n+1(n=1，2，3，)成立，又 cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2) =d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，)，所以数列c n为等差数列充分性设数列c n是公差为 d2 的等差数列，且 bnb n+1(n=1，2，3，). 证法一：c n=an+2an+1+3
24、an+2， c n+2=an+2+2an+3+3an+4. -得 cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2.c n-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2， b n+2bn+1+3bn+2=-2d2， 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2 -得 (bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0 b n+1-bn0，b n+2-bn+10，b n+3-bn+20， 由得 bn+1-bn=0(n=1，2，3，)由此不妨设 bn=d3(n=1，2，3，) ，则
25、an-an+2=d3(常数)由此 cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3，从而 cn+1=4an+1+2an+2-3d3=4an+1+2an-5d3两式相减得 cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3，因此 an+1-an= (cn+1-cn)+d3= d2+d3(常数)(n=1 ，2，3，)，所以数列a n是等差数列，11证法二：令 An=an+1-an，由 bnb n+1 知 an-an+2a n+1-an+3，从而 an+1-ana n+3-an+2，即 AnA n+2(n=1，2，3，)由 cn=an+2an+1+3an+2,cn+1=an+1+2an+2+
26、3an+3 得cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)，即 An+2An+1+3An+2=d2 由此得 An+2+2An+3+3An+4=d2. -得 (An-An+2)+2(An+1-An+3)+3(An+2-An+4)=0 因为 An-An+20，A n+1-An+30，A n+2-An+40， 所以由得 An-An+2=0(n=1，2，3，).于是由得 4An+2An+1=An+2An+1+3An+2=d2, 从而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2. 由和得 4An+2An+1=2An+4An+1，故 An+1=An，即 an
27、+2-an+1=an+1-an（n=1，2，3，）,所以数列a n是等差数列 .10、.解(1)条件式化为 an+1- )1(21nna因此a n- 为一个等比数列，其公比为 2，首项为 a1- .1 3817所以 an- 2n-1= (nN*)3812n因 an0,由解出 an= )9(21n（2）由有 Sn+Tn= naan21221 = = (4n-1)+2n(nN *)3332542 764为使 Sn+Tn= (4n-1)+2n 为整数，当且仅当 为整数.2764271n当 n=1,2 时，显然 Sn+Tn 不为整数，当 n3 时，4 n-1=(1+3)n-1=C 3+ C 32+33
28、（C +3n-3C ）1nnn只需 为整数，927321Cn3n-1 与 3 互质，n 为 9 的整数倍 .当 n=9 时， =13 为整数.2139n故 n 的最小正整数为 9.11、解(1) a n+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048.当 n2 时, a n= SnS n1 =(4096a n)(409 6a n1 )= an1 a n = an=2048( )n1 .1n2(2) log2an=log22048( )n1 =12n,T n= (n 2+23n).由 Tn ,而 n 是正整数,于是,n46.4603从第 46 项起 Tn0 时单调递增，xh2)(
29、而 1123nnnx124nx,2)(11nnx所以 因此,n即 ,)(1121nn又因为 令 则),(212nnxx,2nnxy.y30因为 所以 因此,2121xy .)21()(1nnyy .)21(2nnx故 .)()(nn29、 （I）证明： 213,nnaa2111*(),().nnaN是以 为首项，2 为公比的等比数列。1a21a（II）解：由（I）得 *(),nn1221()().n a2*.()nN（III）证明： 1214.(),nnbbba12(.)4,nnbb12()nn11.()().nbbb，得 即 1(),nn20.nb2120.n，得 ,nnbb即 是等差数列。21,n*21(),nnbNnb32、解：（）依题意可设 .2(,0)(2 axfaxf 则由 .3)(,36)( 2fbaxf 所 以得又由点 均在函数 y=f(x)的图象上得),NnSu .2nS当 n2 时， 56|)1()(|)2(1 nsn当 n=1 时， 所以.516321 a ).(Nan
