1、几何部分第六章：圆知识点：一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及
2、其所对的弧组成的圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。2、反证法反证法的三个步骤：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和180与三角形内角和等于 180矛盾。不可能有二
3、个以上是钝角。即最多只能有一个是钝角。三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所
4、对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推理 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。六、圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，
5、这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。例如图 61，连 EF 后，可得：DEFBDEFA180AB18ryBCDA七、直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。2、若圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则：直线和圆相交 dr；直线和圆相切 dr ；直线和圆相离 dr；直线和圆相交dr例如：图 62 中，直线与圆 O 相割，有：rd图 63 中，直线与圆 O 相切，r d图 64
6、中，直线与圆 O 相离，r d八、切线的判定和性质切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理 1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。例如图 65 中，O 为圆心， AC 是切线，D为切点。B90则有 BC 是切线OD 是半径ODAC九、三角形的内切圆要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的交点就是圆心。这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。十、
7、切线长定理经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图 66B、C 为切点，O 为圆心。ABAC ，12十一、弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图 67，AB 为切线，则有：CBAE，BAE DCD十二、和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。推理：如果弦与直径垂直相交，那么
8、弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图 68，若 F 为切点则有：AF2=AHAC，AGABAF 2EMMD=BMMGCNNH=DNNE十三、圆和圆的位置关系如图 69若连心线长为 d，两圆的半径分别为R，r，则：1、两圆外离 d R r；2、两圆外切 d = Rr ；3、两圆相交RrdRr（Rr）4、两圆内切 d = Rr；（Rr）5、两圆内含 dR r。 （Rr）定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。如图 61
9、0，O 1，O 2 为圆心，则有：ABO 1O2，且 AB 被O1O2 平分十四、两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。如图 611，若 A、B、C、D 为切点，则 AB 为内公切线长，CD 为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图 612，OO 1A 为直角三角形。d2=（Rr） 2e 2 为外公切线长，又如图 613， OO1C 为直角三角形。d2（R 十 r） 2 e2 为内公切线长。十五、相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为
10、圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6 14十六、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成 n（n3）等分：（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正 n 边形的每个中心角等于 n360正多边形都是轴对称
11、图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。若 n 为偶数，则正 n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。十七、正多边形的有关计算正 n 边形的每个内角都等于 n180)2(定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。十八、画正多边形1、用量角器等分圆2、用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形） 。正五边形的近似作法；二十、圆周长、弧长1、圆周长 C2R；2、弧长 180RnL二十一、
12、圆扇形，弓形的面积l、圆面积： ； S2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为 R 的圆中，圆心角为 n的扇形面积 S 扇形 的计算公式为： 3602RnS扇 形注意：因为扇形的弧长 。所以扇形的面积公式又可写为180RL L1扇 形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图1、圆柱的侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形 ABCD 绕边
13、AB 旋转一周得到的图形是一个圆柱。 （图 6 一 16）AB 叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段 CD， CD，都叫圆柱的母线。圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。圆柱的两个底面是平行的。圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图 617，其中 AB=高，AC=底面圆周长。S 侧面 =2Rh圆柱的轴截面是长方形一边长为 h，一边长为 2RR 是圆柱底半径，h 是圆柱的高。见图 68（2）圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图 619，把 RtOAS 绕直线 SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。旋转轴 SO 叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的
14、SA、SA、都叫圆锥的母线，母线长都相等。圆锥的侧面展开图如图 6 一 19 是一个扇形SAB半径是母线长，AB 是 2R。 （底面的周长） ，所以圆锥侧面积为 S 侧面 =RL例题：例 1、如图 7.2-1，AB 是O 的直径，ADCD,BCCD,且 AD+BC=AB，1、求证：O 与 CD 相切；2、若 CD=3，求 ADBC.特色本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.解答(1)过 O 点作 OECD 于 E. ADCD， BCCD， ADOEBC，又AO=BO， DE=CE， OE= (AD+BC). 而 AB=AD+BC，21 OE=OA， 而 OECD， O 与
15、CD 相切.(2)连结 AE、BE，O 与 CD 相切， OECD ， BAE=BEC. 而 BAE= OEA， OEA+ DEA=90 ， DEA+BEC=90 . 又ADCD， DEA+ DAE=90 ， DAE=BEC， AEDEBC，ADEC=DEBC， 即 ADBC=DEEC= = .21CD49例 2、如图 7.1-2.已知，AB 为O 的直径，D 为弦 AC 的中点，BC=6cm,则 OD= .特色 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.解答由三角形的中位线定理知 OD= BC21例 3、如图 7.3-1O 为ABC 的内切圆，C= ,AO 的延长线交 BC90于点 D,A
16、C=4,CD=1,则O 的半径等于（ ）.A 、 B、 C、 D、544365特色本题考查内心的性质.解答 过点 O 半径 OE,则 OECD,AEAC=OECD,设半径为 R,则（4-R）4=R1,解之得 R= ,选 A.例 4、圆内接四边形 ABCD，A、B、C 的度数的比是 123，则这个四边形的最大角是 .特色运用圆内接四边形的性质进行简单计算.解答设 A=x，则B=2x,C=3x . A+C=180 ， x+3x=180 ， x=45 .A=45 ， B=90 ， C=135 ， D=90 . 最大角为 135 .例 5、如图 7.5-1，O 和 O 外切于点 C，直线 AB 分别外
17、12切O 于 A，O 于 B，O 的半径为 1，AB=2 ，则O12 2的半径是 . 特色以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型，着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.解答 （1）选 B，利用两圆相交，连心线垂直平分公共弦，再根据勾股定理可求得.例 6、将两边长分别为 4cm 和 6cm 的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为 cm .2特色考查圆柱的表面积的计算，着眼于考查学生思维的全面性.解答以边长为 4cm 作母线所得到的圆柱的表面积为 80 ；以边长为 6cm 作母线2cm所得到的圆柱的表面积为 120 .2cm例 7、如图 7.6-2，正六边形内接于半径为 1 的圆，其中阴影部分的面积是 .特色考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力.解答 答案： .作半径，用扇形的面积减去三角形的面积.436
