1、平面向量的线性运算目标导航1.通过向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。5.学会分析问题和创造性地解决问题。能熟练地掌握用三角
2、形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。7.理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。8.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。重难点突破1.向量加法的运算及其几何意义。2.对向量加法定义的理解。3.向量的减法运算及其几何意义。4.对向量减法定义的理解。5.实数与向量积的意义。6.实数与向量积的运算律。7.两个向量共线的等价条件及其运用。8.对向
3、量共线的等价条件的理解运用。每课一记一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。二、1. 向量的加法定义向量加法的定义：如图 3，已知非零向量 A.b，在平面内任取一点 A，作AB=a， C=b，则向量 A叫做 a 与 b 的和，记作 a+b，即a+b= + = 。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。2. 向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接” ，即第二个向量要以第一个
4、向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如图 4，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形，则以 O为起点的对角线 OC就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。3. 向量 a，b 的加法也满足交换律和结合律：对于零向量与任一向量，我们规定 a+0=0+a=a。两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。当 a，b 不共线时，|
5、a+b|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当 a，b 共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当 a，b 共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有|a+b|a|+|b|。如图 5，作 AB=a， D=b，以 AB.AD 为邻边作 ABCD，则 BC=b， D=a。因为 C= + =a+b， C= + =b+a，所以 a+b=b+a。如图 6，因为 = + =(AB+ )+ D=(a+b)+c，AD
6、= B+ = +( + )=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。四、向量也有减法运算。由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此 a 和-a 互为相反向量。于是-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0。
7、1. 平行四边形法则图 1如图 1，设向量 AB=b， C=a，则 AD=-b，由向量减法的定义，知 AE=a+(-b)=a-b。又 b+ C=a，所以 =a-b。由此，我们得到 a-b 的作图方法。图 22. 三角形法则如图 2，已知 a、b，在平面内任取一点 O，作 A=a， B=b，则 A=a-b，即a-b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。与数 x 的相反数是-x 类似，我们规定，与 a 长度相等，方向相反的量，叫做 a的相反向量，记作-a。（2）向量减法的定义。我们定义 a-b=a+(-b)，即减去一
8、个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。五、我们规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|=|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反。由(1)可知，=0 时，a=0。根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特别地
9、，我们有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b。向量共线的等价条件是：如果 a(a0)与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b=a。共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|a|确定。它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。
10、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量 a、b，以及任意实数 、 、 ，恒有 ( a b)= a12121b。2经典例题例 1 化简：(1)BC+A(2)D+ +(3) + F+ + +解：(1)BC+A= + = C(2)D+ + = + D+ B=( + )+DB= + =0(3) + F+ + + A= + + + F+ A=AC+ + + = + F+ = + =0解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。例 2 若 =a+b， DB=a-b当 a.b 满足什么条件时，a+b 与 a-b 垂直？当 a.b 满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？当 a.
11、b 满足什么条件时，a+b 平分 a 与 b 所夹的角？a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？解析：如图 6，用向量构建平行四边形，其中向量 AC、 DB恰为平行四边形的对角线。由平行四边形法则，得 AC=a+b， DB=A- =a-b。由此问题就可转换为：当边 AB、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)当边 AB、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a.b 互相垂直)当边 AB、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(a.b 相等)a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解
12、决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。练习题1.已知正方形 ABCD 的边长为 1， AB=a， C=c， =b，则|a+b+c|为( )。A.0B.3C. 2D.22.设 a=(AB+CD)+( + A)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。A.B.C.D.3.下列等式中，正确的个数是( )。a+b=b+a a-b=b 0-a=-a -(-a)=a a+(-a)=0A.5B.4C.3D.24.如图 7，D、E、F 分别是ABC 的边 AB、 C、 的中点，则 AF-D
13、B等于( )。A.B.FCC. ED.B5.下列式子中不能化简为 AD的是( )。A.(A+C)+B.( D+MB)+( + )C. D.OC- A+6.已知 A.B.C 三点不共线，O 是ABC 内一点，若 OA+ B+ C=0，则 O 是ABC 的( )。A.重心B.垂心C.内心D.外心7.312(2a+8b)-(4a-2b)等于( )。A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b8.设两非零向量 e1、e2 不共线，且 ke1+e2 与 e1+ke2 共线，则 k 的值为( )。A.1B.-1C.1D.09.若向量方 2x-3(x-2a)=0，则向量 x 等于( )。A. a56B.-6
14、aC.6aD.- a5610.设向量 a，b 都不是零向量：(1)若向量 a 与 b 同向，则 a+b 与 a 的方向_，且|a+b|_|a|+|b|；(2)若向量 a 与 b 反向，且|a|b|，则 a+b 与 a 的方向_，且|a+b|_|a|-|b|。11.如图 17 所示，已知正方体 ABCDA1B1C1D1，设 =a， A=b， 1=c，则1AC=_。(用 A、B 、C 表示)12.在ABC， AE=51B，EFBC，EF 交 AC 于 F，设 AB=a， C=b，则 BF用a、b 表示的形式是 F=_。13.在ABC，M、N、P 分别是 AB、BC 、CA 边上的靠近 A、B 、C
15、 的三等分点，O 是ABC 平面上的任意一点，若 OA+ CB=31e1-2e2，则=_。14.某人在静水中游泳，速度为 km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为 4 34km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游?15.在中心为 O 的正八边形 A1A2A8 中，a0= 18A，ai= 1i(i=1，2，7)，bj= Aj(j=1，2，8)，试化简 a2+a5+b2+b5+b716.已知ABC 为直角三角形，A=90，ADBC 于 D，求证：| AB|2=|D+ |2+| C+ A|217.已知两向量 a 和 b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是 a 的方向与 b 的方向垂直。18.已知ABC 的重心为 G，O 为坐标原点， OA=a， B=b， C=c，求证： O=31(a+b+c)19.对判断向量 a=-2e 与 b=2e 是否共线?有如下解法：解：a=-2e，b=-2e，b=-a。a 与 b 共线。请根据本节所学的共线知识给以评析,如果解法有误，请给出正确解法。
