1、第四章命题与证明知识回顾:1 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义。(定义必须是严密的,诸如“一些” , “大概” , “差不多”等不能在定义中出现)2. 判断一件事情的句子,叫做命题。命题必须是一个完整的句子,且必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断。正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题。 (注意:错误的命题也是命题)3. 命题的构成:命题由题设(或条件)和结论两部分构成。命题表述的标准形式是:“如果那么” ;或“若,则”一般地, “如果(若)”是题设部分, “那么(则)”是结论部分。4 公理与定理公理与定理都是真命题经过人们长期实践中总结出来的,并作为判定其他命
2、题真假的依据,这样的真命题叫公理 (公理是不需要证明的基本事实)从公理或其他真命题出发,通过逻辑推理来判断一个命题是正确的,并可进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫定理5 证明:根据题设的条件以及定义、公理、定理等,经过逻辑推理来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫证明6 反证法与举反例证明假命题反证法的步骤为:先假设结论的反面是正确的,然后通过逻辑推理、推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾,说明假设的不成立,从而得出原结论是正确的若要证明一个命题为假命题,只要举出一个反例来说明命题不成立即可但所举的反例要简单、明确、有说服力【典型例题】:例 3. 判断下列语句,是不是命
3、题,如果是,请判断它是真命题还是假命题。(1)画线段 AB 的中垂线。(2)两条直线相交,有几个交点?(3)如果 a/b,b/c ,那么 a/c。(4)两个角不相等,则它们不是对顶角。(5)已知一个数能被 4 整除,这个数一定能被 8 整除。(6)同位角相等。例 1. 判断下列命题的真伪如果是假命题,请举出一个反例若 ab,则 b1a两个锐角的和是个锐角同位角相等,两直线平行一个角的补角大于这个角解:假命题比如当 a2,b3 时,就有 312假命题比如 30和 80均为锐角,但 30+8090真命题假命题比如:130的补角是 70,但 70130(注:举反例说明命题为假只需举一个反例即可)例
4、2. 下列各命题中是假命题的是( )A. 推理过程叫做证明 B. 定理都是命题C. 命题都是公理 D. 公理都是命题解:C例 6. 已知:(如图)MN/PQ,ACPQ ,BD、AC 相交于点 E,且 DE2AB求证:DBC ABC31 M D A N P Q E GCB证明:取 DE 的中点 G,连结 AGACPQ MN/PQ(已知)CAD90(两直线平行,同旁内角互补)又 G 为 DE 中点AGDG (直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)DE21DE2ABAG=ABABDAGB2ADG=2DBC (等腰三角形底角相等,与三角形外角定理)DBC ABC31例 7、反正法1 证明几何量之间
5、的关系:已知:四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点, 。)(21CDABEF求证: 。CDAB/证明:假设 AB 不平行于 CD。如图,连结 AC,取 AC 的中点 G,连结 EG、FG。E、F 、G 分别是 AD、BC 、 AC 的中点, , ; , 。/21ABG/21AB 不平行于 CD,GE 和 GF 不共线,GE、GF、EF 组成一个三角形。 但 EFCDABGFE)(21与矛盾。 /2、证明“唯一性”问题在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时,称为“唯一性”问题。A BCDE FG例 3:过平面 上的点 A 的直线 ,求证: 是唯一的。aa证明:假设
6、 不是唯一的,则过 A 至少还有一条直线 ,ab 、 是相交直线,b 、 可以确定一个平面 。设 和 相交于过点 A 的直线 。c , ,ab , 。c这样在平面 内,过点 A 就有两条直线垂直于 ,这与定理产生矛盾。c所以, 是唯一的。【练习题】1. 判断下列命题是真还是假命题,简要说明理由(1)同一个角的邻补角是对顶角(2)三条直线 a,b,c ,若 ab,cb,则 a/c(3)若延长线段 AB,延长射线 CD 后它们仍不相交,则这条线段与这条射线互相平行(4)点到直线的距离即是点到直线的垂线段(5)若同旁内角不互补,则这两条直线不平行(6)推论是真命题(7)是 9 的倍数的数,它一定也是
7、 3 的倍数(8)若一个数能被 5 整除,则它一定也能被 10 整除(9)只有开方开不尽的式子才是二次根式(10)当 m0 时,解不等式 mxn,得到解集 mnx6. 如图,已知ABC 中,AD 平分BAC,AB+BDAC求证:B2C A B D C *8. 如图, ABC 中,AD 平分BAC,BECE ,过点 E 作 GHAD,交 AC、以及AD、AB 的延长线于 H、F、G求证:AC2BG+ABA B H G C DE F1. (1) (2) (3) (4) (5)(6) (7) (8) (9) (10),理由略6. 提示:延长 AB 到点 E,使 BEBD,连结 ED,证明AED AC
8、D8. 提示:过 B 作 BN/AC,证明 AGH 为等腰三角形,则 BGBN又证明BNE CHE, BNHCBGACAH+HCAB+BG+HC AB+2BG八年级下学期几何动态问题1.已知:等边三角形 ABC的边长为 4 厘米,长为 1 厘米的线段 MN在 ABC 的边AB上沿 方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动(运动开始时,点 与点 重合,点N到达点 时运动终止) ,过点 MN、 分别作 AB边的垂线,与 的其它边交于PQ、两点,线段 运动的时间为 t秒(1)线段 在运动的过程中, 为何值时,四边形 MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积;(2)线段 MN在运动的过程中,四边形 的面积为
9、S,运动的时间为 t求四边形 QP的面积 S随运动时间 t变化的函数关系式,并写出自变量 t的取值范围2.如图,在 RtABC 中, 90, 6AB, 8C, DE, 分别是边AB,的中点,点 P从点 D出发沿 E方向运动,过点 P作 QB于 ,过点CPQBA M NQ作 RBA 交 C于,当点 与点 重合时,点 P停止运动设 BQx, Ry(1)求点 D到 的距离 H的长;(2)求 y关于 x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围) ;(3)是否存在点 ,使 QR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x的值;若不存在,请说明理由3.如图,在直角梯形 ABCD 中,ADBC,C90,
10、 BC16,DC12,AD21。动点 P 从点 D 出发,沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C出发,在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动,点 P,Q 分别从点 D,C 同时出发,当点 Q 运动到点 B 时,点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t(秒) 。(1)设BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式;(2)当 t 为何值时,以 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?(3)是否存在时刻 t,使得 PQBD?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由。4.如图,在梯形 ABCD中, B , 3AD, 5C, 10B,梯形的高为 4动点 M从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C运动;动点 N同时从 C点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为t(秒) AB CD ERPH QDNCMBA(1)当 MNA 时,求 t的值;(2)试探究: t为何值时, NC 为等腰三角形