1、初二数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象教学目标1. 了解常量和变量、自变量和函数的意义。2. 认识并会画出平面直角坐标系。3. 能在给定的直角坐标系中找出点和坐标的对应关系。4. 了解现实生活中类似的数形结合思想的实例，体会平面直角坐标系在函数研究中的地位和作用。二. 重点、难点：函数的概念，直角坐标系和函数图象的认识。【典型例题】（一）变量与函数1. 知识回顾：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做自变量。如：圆的面积 S 随半径 r 的变化而变化，S 与 r 都会取不同的数值。（2）刻画气
2、温变化规律的量是时间 t 和温度 T，气温 T 随时间 t 的变化而变化，T 与t 都会取不同的数值。（3）对于一个实际问题中的两个变量 x、y，自身先变的量是自变量，随之而变的量是因变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，则称 x 为自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数，通常我们把函数 y 放在等式左边，自变量 x 的代数表达式放在右边，构成函数关系式。（4）表示函数的方法通常有三种：解析法，列表法，图象法。（5）在问题研究的过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。2. 典型例题：例 1. 求下列函数自变量的取值范围：（1） ；
3、（2）yx6yx135（3） ；（4） 解：（1）x 取任意实数（2） ，所以50x3（3） ，所以66（4） ，所以x15方法点拨：（1）当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数；（2）当函数的解析式是分式时，自变量取使分母不为零的任意数；（3）当函数的解析式是开平方的式子时，自变量取使被开方的式子为非负数的实数；（4）需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。例 2. （1）会求函数值如：当 时，求 的函数值。x2yx532解： y531226453（2）会运用函数值的求解意义，确定函数关系式中的待定字母如：当 时，函数 与函数 有相同的函数值，求 k 的值，以xykx2yxk及当 时，这两个
4、函数值。3分析：两个函数有相同的函数值是指将自变量 x 的取值代入两个解析式后所得结果相同。解：由题意，得： 2kk解得： k43当 时，xyx4326当 时， 1例 3. 列函数关系式（1）学校食堂现库存粮食 21000 千克，平均每天用粮食 200 千克，求库存粮食 y（千克）与食用的天数 x 之间的函数关系式。分析：库存粮食现存粮食消耗粮食解： （0x105 的整数）y2（2）购买 200 元钱的柴油，求所能购买的数量 y（升）与单价 m（元）之间的函数关系式。分析：单价数量总价my0()（3）某 10 层高的楼房，底层高 4.2m，以上各层高 2.8m，列出第 n 层的楼顶的高度h（m
5、）与 n 的函数关系式。分析：楼顶高度底层高每层高（层数1）（n10 的正整数）428124（二）平面直角坐标系1. 知识回顾：（1）在平面上两条原点重合、互相垂直且有相同单位长度的数轴，建立一个平面直角坐标系。其中水平的一条数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向。铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向。两数轴的交点 O 叫做坐标原点。（2）点坐标（x，y）中，x 代表横坐标，y 代表纵坐标。（3）各象限内点的坐标符号：（4）点 P（x，y）关于 x 轴对称点的坐标（ ）xy， 关于 y 轴对称点的坐标（ ），关于原点对称点的坐标（ ），（5）点 P（x，y）到 x 轴的距离是到 y 轴
6、的距离是 x（6）x 轴上点坐标表示为（x，0）或（a，0）等y 轴上点坐标表示为（0，y）或（0，b）等（7）x 轴上两点（a，0），（b，0）之间的距离是 或aby 轴上两点（ ），（ ）之间的距离是 或， m0， nmn2. 典型例题：例 1. 填空：（1）当 是任意实数时，点 A（x，y）在_上。xy0，答案：y 轴（2）已知点 P（ ）在 y 轴上，那么 P 点坐标是_。a12，答案：（0，3）分析： a03， ，（3）已知点 P 在第四象限，那么 k 的取值范围是_。323k，答案： 分析：由第四象限点坐标特征知（，）即 3203kk，所以： 32k（4）在直角坐标系中，点 M 到
7、 x 轴距离为 28，到 y 轴距离为 6，则 M 点坐标是_。答案：（6，28），（-6，-28 ），（6，-28），（-6 ，28）分析：设 M 点坐标为（x，y）则 28，所以 M 点坐标是：（6，28），（-6，-28 ），（6， -28），（-6，28）（5）在平面直角坐标系中，点 P（m ，3）关于原点对称点的坐标是（ -2，n），求的值。mn答案： 1分析：点 P（m ，3）关于原点对称点的坐标是（ ）， 3而已知此点坐标为 2， n所以 ，得： ，n1例 2. 求 A、B 两点的距离：（1）A（2，0），B（-3，0）（2）A（0，6），B（0，-3）（3）A（2，5），B（2
8、，-7）（4）A（2，3），B（-3，3）解：（1） 35（2） 69（3） 5712（4） （三）函数的图象1. 知识回顾：（1）函数图象的作图方法：描点法首先准确的求出函数值，把每一个自变量的值和与其对应的函数值相结合构成一个点的坐标，借助这个点的坐标就可以描出一个点，以相同的方式继续取值，可以得到足够的点的坐标，把这些点依次描出后，再把它们从左到右顺次连接就可得到利用描点法作出的函数图象。（2）作图注意问题：先列表取点，点取得足够多。连接时一定要从左到右依次连接。用平滑曲线连接各点。根据自变量取值范围来确定函数图象的取值范围，若自变量取值范围是全体实数，则函数图象一定可以向两边无限延长。
9、（3）函数图象上的点与满足函数关系式的对应值是一一对应的。2. 典型例题：例 1. 已知点 P（ ）在函数 的图象上，求 a 的值。a1， yx2解析：点 P 在函数 图象上，则点坐标满足解析式 。yx2yx2aa1232例 2. 已知：如图所示，求ABC、ADC 的面积。 y 4 C（ 4， 4） A D B O 2 4 6 x 分析： ABDB6， ，高：4解： SC124AD例 3. （2003河北省）小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅。经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样。小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分
10、别做了预算，通过列表，并用 表示铺设地xm()2面的面积，用 y（元）表示铺设费用，制成图，如图所示。请你根据图中所提供的信息，解答下列问题： y（ 元 ） 405 2750 O 25 30 x（ m2） 表 示 居 室 表 示 客 厅 （1）预算中铺设居室的费用为_元/ ，铺设客厅的费用为_元/ ；m2（2）表示铺设居室的费用 y（元）与面积 之间的函数关系式为x()2_，表示铺设客厅的费用 y（元）与面积 之间的函数关系式为_；（3）已知在小亮的预算中，铺设 的瓷砖比铺设 木质地板的工钱多 5 元；购12m12买 的瓷砖是购买 木质地板费用的 。那么，铺设每平方米木质地板、资砖的工12m1
11、234钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？分析：由图可知铺设居室 30 的费用为 4050 元，铺设客厅 25 的费用为 2750 元，2 m2可计算出单价；（3）中设铺木质地板的工钱为每平方米 x 元，购买木质地板单价为每平方米 y 元，列方程组即可求解。解：（1）预算中铺设居室的费用为 405030135 元/ 2铺设客厅的费用为 元/27501m2（2）铺设居室的费用 y（元）与面积 之间的函数关系式为x()yx135铺设客厅的费用 y（元）与面积 之间的函数关系式为 0（3）设铺设木质地板的工钱为每平方米 x 元，购买木质地板每平方米的费用为 y 元，则铺设瓷砖
12、的工钱为每平方米 元，购买瓷砖每平方米的费用为 元。x54根据题意，得：y1340解得： xy5120由此得： y3490，答：铺木质地板和瓷砖每平方米的工钱分别为 15 元和 20 元；购买木质地板和瓷砖每平方米的费用分别为 120 元和 90 元。技巧点分析图像所反映的问题实质，注意理解横轴和纵轴所表示的实际意义，这类图像信息题是中考热点。【模拟试题】一. 填空题。1. 函数 中，自变量 x 的取值范围是_。yx522. 若汽车以 50 千米/时的速度行驶，则行驶的路程 S（千米）与行驶的时间 t（时）之间的函数关系式是_。3. 若点 P（m，n）在第二象限，则点 Q 在_象限。mn，4.
13、 若点 P 在 y 轴上，则点 P 的坐标为_。23x，5. 如果点 在第二象限的角平分线上，则 _。A1， 6. 若点 与点 关于 x 轴对称，则 _。M， N23， xy7. 若点 与 y 轴的距离是 2，则 _。a， 7a二. 选择题。1. 在函数 的图象上的点是（ ）yx31A. （-2，3） B. （4，10）C. （3，5） D. （2，7）2. 如果点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，那么 a、b 的值分别是（ ）a， ， bA. -2 与 3 B. 2 与-3 C. -2 与-3 D. 2 与 33. 若点 的坐标满足 ，则点 P 在（ ）xy， x0A. 原点上 B. x 轴
14、上 C. y 轴上 D. 坐标轴上4. 已知点 P 的坐标是 ，且 ，则点 P 在（ ）a， 53A. 第一象限 B. 第二象限C. 第一或第二象限 D. 第一或第三象限5. 平行于 x 轴的直线上任意两点之间的坐标之间的关系是（ ）A. 横坐标相等 B. 纵坐标相等C. 横坐标的绝对值相等 D. 纵坐标的绝对值相等三. 解答题。1. 已知点 A 与点 B 关于 y 轴对称，求 的值。xy， 412yx， yx2. 平面直角坐标系内，已知点 在第三象限，且 k 为整数，求 k 的值。Ak，3. 已知函数 ，求当 时的函数值 y。359234. x 取什么值时，函数 与 的值相等。yxyx25.
15、 拖拉机的油箱最多可装油 56 千克，犁地时平均每小时耗油 6 千克，现装满油后去犁地：（1）写出油箱中剩油 Q（千克）与犁地时间 t（时）之间的函数关系；（2）求函数自变量的取值范围；（3）求拖拉机工作 4 小时 30 分钟后，油箱中剩多少千克油？6. 如果点 A（2，7）在函数 的图象上，且当 时，yaxb2x3y5（1）求 a、b 的值；（2）如果点 与点 也在此图象上，求 m、n 的值。Bm12，Cn， 7【试题答案】一. 填空题。1. 2. x25St50()3. 第四 4. （0，-3）5. 3 6. 1 7. 2二. 选择题。1. D 2. D 3. D 4. C 5. B三. 解答题。1. 由题意： xy042解 得：12yx2. 由 得：0k2则 12k 为整数， k13. y3952759214. 与 值相等xyx23246022xx5. （1） Qt5（2） 083（3）Q296. ，则74521ab， yx12（1） ，（2） mn，
