1、 1算法 1、兴趣导入（Topic-in）:有个小孩到楼下的小店买饮料。店主给他一瓶，然后小孩说没钱。店主生气地威胁说：“没钱找你妈妈去！”小孩被吓得瓶盖都掉地上了。捡起来一看：再来一瓶！于是把瓶盖给了店主，高高兴兴地走了2、学前测试(Testing):1用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做除法的次数是( )A1 B2 C3 D42用更相减损术，求 105 与 30 的最大公约数时，需要做减法的次数是( )A2 B3 C4 D53930 与 868 的最大公约数是_4、 把十进制数 53 转化为二进制数.5、利用辗转相除法求 3869 与 6497 的最大公约数与最小公倍数
2、。 23、知识讲解(Teaching)：1.辗转相除法例 1 求两个正数 a=204 和 b=85 的最大公约数。分析：204 与 85 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数解：20485234显然 204 的最大公约数也必是 85 的约数，同样 204 与 85 的公约数也必是 34 的约数，所以 204 与 85的最大公约数也是 85 与 34 的最大公约数。8534217341172+0则 17 为 204 与 85 的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300年左右首先提出
3、的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0和一个余数 r0；第二步：若 r00，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 r00，则用除数 n 除以余数 r0得到一个商 q1和一个余数 r1；第三步：若 r10，则 r1为 m，n 的最大公约数；若 r10，则用除数 r0除以余数 r1得到一个商 q2和一个余数 r2；依次计算直至 rn0，此时所得到的 rn1 即为所求的最大公约数。2.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减
4、损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 3例 2 用更相减损术求 91 与 49 的最大公约数.解：由于 49 不是偶数，把 91 和 49 以大数减小数，并辗转相减，即：914842 49427 42735 35728 28721 217141477所以，91 与 49 的最大公约数是 7。3.秦九韶算法材料：求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x
5、+1 当 x=5 时，有两种方法.第一种方法是把 5 代入多项式 f(x),计算各项的值，然后把它们加起来.这时，我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算，5 次加法运算.第二种做法是我们先计算 x2的值，然后再一次计算 x2x,(x2x)x，(x 2x)x)x 的值，这样，我们只计算了四次乘法运算，五次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算减少了，因而能提高运算效率.对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间，比做一次加法运算所用的时间要多得多， ，计算机能更快的得到结果.4.进位制对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为 11100
6、1，也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34 (5)表示 5 进制数.电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数. 4解:110011=1*2 5+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51例 2 把 89 化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后去余数.具体的计算方法如下:89=2*44+144=2*22+0
7、22=2*11+011=2*5+15=2*2+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=1011001(2)这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示:8944221152122222220余数1001101把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到 89=1011001(2)上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制数的算法,这种算法成为除 k 取余法.4、强化练习(Training) 5一选择题（共 16 小题）1把 77 化成四进制数的末位数字为（ ）A4 B3 C2 D1
8、2用秦九韶算法求多项式 f（ x）=x 4+2x3+x23x1，当 x=2 时的值，则 v3=（ ）A4 B9 C15 D293把 67 化为二进制数为（ ）A110000 B1011110 C1100001 D10000114用秦九韶算法计算多项式 f（x）=3x 6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1 当 x=0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A6，6 B5，6 C5，5 D6，55使用秦九韶算法计算 x=2 时 f（x）=6x 6+4x52x4+5x37x22x+5 的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（ ）A6，3 B6，6 C21，3 D21，66把 27
9、化为二进制数为（ ）A1011 （2） B11011 （2） C10110 （2） D10111 （2）7用秦九韶算法计算多项式 f（x）=5x 5+4x4+3x32x2x1 在 x=4 时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（ ）A14，5 B5， 5 C6，5 D7，58二进制数 11001001（2） 对应的十进制数是（ ）A401 B385 C201 D2589用秦九韶算法在计算 f（x ）=2x 4+3x32x2+4x6 时，要用到的乘法和加法的次数分别为（ ）A4，3 B6，4 C4，4 D3，410用秦九韶算法求多项式 f（x）=1+2x+x 23x3+2x4 在 x=1 时
10、的值，v 2 的结果是（ ）A4 B 1 C5 D6 611下列各数 85（9） 、210 （6） 、1000 （4） 、111111 （2） 中最大的数是（ ）A85 （9） B210 （6） C1000 （4） D111111 （2）12十进制数 89 化为二进制的数为（ ）A1001101 （2） B1011001 （2） C0011001 （2） D1001001 （2）13在下列各数中，最大的数是（ ）A85 （9） B210 （6） C1000 （4） D11111 （2）14把 23 化成二进制数是（ ）A00110 B10111 C10101 D11101二填空题（共 11 小
11、题）15用秦九韶算法求多项式 f（x）=12+35x8x 2+79x3+6x4+5x5+3x6 在 x=4 的值时，其中 V1 的值= 16把 5 进制的数 412（5） 化为 7 进制是 17用秦九韶算法计算多项式 f（x）=8x 4+5x3+3x2+2x+1 在 x=2 时的值时，v 2= 18用秦九韶算法计算多项式 f（x）=3x 6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1 当 x=0.4 时的值时，至多需要做乘法和加法的次数分别是 和 19用秦九韶算法求多项式 f（x）=5x 5+2x4+3.5x32.6x2+1.7x0.8 当 x=5 时的值的过程中 v3= 20完成下列进位制之间
12、的转化：1234= （4） 21进制转化：403 （6）= （8） 22.完成右边进制的转化：1011 （2） = （10） = （8） 75、反思总结(Thinking)：堂堂清落地训练（5-10 分钟的测试卷，坚持堂堂清，学习很爽心）1将多项式 x3+2x2+x1 用秦九韶算法求值时，其表达式应写成 2写出将 8 进制数 23760 转化为 7 进制数的过程3已知一个 5 次多项式为 f（x）=4x 53x 3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当 x=2 时的值4(1)用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数(2)用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数 85.求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。6、用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数.7、利用秦九韶算法求多项式 1352.75.38123)(456 xxxxf 在 6的值，写出详细步骤。
