1、课前提问,1.平面分类2.投影面平行面的投影特性,一般位置平面，投影面平行面，投影面垂直面,平面所平行的投影面上的投影反映实形（实形性） 平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线， 且平行于相应的投影轴。（积聚性）,第3章基本几何体,曲面立体：表面由曲面或曲面和平面围成的立体。,立体可分为平面立体和曲面立体两种。平面立体：表面都是由平面围成的立体。,概述,3.1 平面立体的投影,3.1.1 正六棱柱体的投影画法及表面取点,2. 正六棱柱的三面投影,1. 正六棱柱的组成,由顶面和底面及六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,立体表面各个平面的投影,前、后两棱面是正平面，正
2、面投影反映实形，水平投影和侧面投影积聚成直线段。,其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，并与正六边形的边线重合，在正面投影和侧面投影面上的投影为类似形（矩形）。,六棱柱的六条棱线均为铅垂线，在水平投影面上的投影积聚成一点，正面投影和侧面投影都互相平行且反映实长。,六棱柱的顶面和底面为水平面，水平投影反映实形，正面投影和侧面投影都积聚成直线段。, 作图步骤：, 先用点画线画出水平投影的中心线，正面投影和侧面投影的对称线;, 根据投影规律，再连接顶面和底面的对应顶点的正面投影和侧面投影，即为棱线,棱面的投影。, 最后检查清理底稿，按规定线型加深。, 画正六棱柱的水平投影（正六边形），
3、根据正六棱柱的高度画出顶面和底面的正面投影和侧面投影。,由两个底面和几个棱面组成。两棱面的交线叫棱线，棱线相互平行。,(1)棱柱的投影,点的可见性判断：点所在表面的投影可见,点的投影也可见；若点所在表面的投影不可见，点的投影也不可见；若点所在表面的投影积聚成直线，点的投影认为可见。,由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,3. 正六棱柱的表面取点,(一)棱柱表面上的点,(b),C,C,C,( ),（一）六棱柱表面上取点,( ),M点在左 側，W面投 影不可见,正三棱柱的三视图,3.1.2 三棱锥的投影画法及表面取点,1. 棱锥的组成,由一个底面和三个侧棱面组成
4、。侧棱线交于有限远的一点 锥顶。,c,棱面SAC为侧垂面，侧面投影积聚成直线段,正面投影和水平投影为类似形。,另两个棱面（SAB,SBC)为一般位置平面，三投影均不反映实形。,棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形，正面投影和侧面投影积聚成水平直线段 。,2. 棱锥的三面投影,( ),b, 作图步骤：, 画反映实形的底面的水平投影（等边三角形），再画ABC的正面投影和侧面投影，它们分别积聚成水平直线段；, 根据锥高再画顶点S的三面投影；, 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连，即得到三棱锥的投影图。, 最后检查清理底稿，按规定线型加深。,3. 在棱锥表面上取点,一般采
5、用辅助线法。,判别可见性,3.2.1圆柱体的投影画法及表面取点,1. 圆柱体的形成,由圆柱面和上、下底面所围成。,圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。,直线AA1称为母线,母线在廻转面的任一位置称为素线 。圆柱面上的素线都是平行于轴线的直线。,3.2曲面立体的投影,2. 圆柱体的三面投影,利用投影的积聚性,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。,3.轮廓线素线的投影与曲面可见性的判断,4 圆柱面上取点,b,利用投影的积聚性,在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素
6、线的投影。,圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,1. 圆锥体的形成,3.2.2圆锥体的投影画法及表面取点,2. 圆锥体的三面投影,3. 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断,4. 圆锥面上取点,辅助素线法,辅助圆法,s,由圆锥面和底面组成。,过锥顶S和点K作一辅助素线。,圆的半径？,(N),过N点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过n 且平行底面的直线段。,三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。,3.2.3圆球,圆母线以它的直径为轴旋转而成。,2. 圆
7、球的三面投影,3. 轮廓线的投影与曲面可见性的判断,4. 圆球面上取点,辅助圆法,1. 圆球的形成,圆的半径？,上下分界圆,前后分界圆,左右分界圆, 小 结 ,重点掌握：,基本体的三面投影的画法及面上找点的方法。, 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。, 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。, 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。, 球体表面找点，用辅助圆法。,课后习题,1.习题册第25.26页2.预习下一节内容,课前复习提问,1.平面立体于曲面立体的区别2.曲面立体取点的方法,平面立体表面由平面组成，曲面立体表面由曲面或平面 与曲面共同组成,可以用辅助线法和辅助圆法（纬圆法）,3.2立体表
8、面交线,3.2.1截交线,截交：立体被平面所截。, 截切体 :截切后的物体。, 截交线 : 截平面与物体表面的交线。, 截断面 : 因截平面的截切，在物体上形成 的平面。,概念与术语, 截平面 : 用以截切物体的平面。,其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体 的 截切位置。,（1）.截交线的性质：,截交线的性质与形状,公有性：截交线是立体表面与截平面的公有线，也是它们的公有点。,封闭性：截交线是一个由直线或曲线组成的封闭平面多边形。,（2）.截交线的形状：,根据上述截交线的性质，求截交线的方法可归结为求截平面与立体表面一系列共有点的问题，也就是表面取点法。,平面与平面立体相交所产生的截交线是
9、一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线。,求截交线的方法与步骤：, 截平面与体的相对位置, 截平面与投影面的相对位置,确定截交线 的投影特性,确定截交 线的形状, 空间及投影分析, 画出截交线的投影,（1）画出完整立体的投影。,1. 平面与平面立体相交,（2）求截交线的投影。,（3）整理投影轮廓线，判别可见性。,（4）检查、加深图线、完成全图。,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例2 求做立体被截切后的投影,例1已知斜截正六棱柱的正面投影和水平投影，求其侧面投影。,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,
10、（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各棱线的侧面投影，并 判别可见性。,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各棱线的侧面投影，并 判别可见性。,（4）检查、加深图线、完成全图,例6 补全俯视图和左视图的投影,例2 求三棱锥SABC被正垂面P截切后的投影。,解 分析：平面P与三棱锥的三个棱面相交，交线为三角形，三角形的顶点是三棱 锥三条棱线 SA、SB、SC与平面P的交点。,求截交线的步骤如下：,3,2,1,3,1,3,s,（1）画出完整三棱锥的投影。,（2）求截交线上的点。,（3）依次连线，判别可见性。,s,S,求截交线的步骤如下
11、：,（1）画出完整三棱锥的投影。,（2）求截交线上的点。,（3）依次连线，判别可见性。,（4）检查、加深全图，完成全图。,2.平面与曲面立体相交,平面截切回转体，截交线一般是由曲线或曲线与直线组成的封闭的平面图形，也可能是由截平面上的曲线和直线所围成的平面图形或多边形，它的形状取决于回转体的种类和与截平面的相对位置。,求平面与回转体的截交线的一般步骤,(1) 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。,(2) 画出截交线的投影,当截交线
12、的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。, 先找特殊点，补充中间点。,(1)平面与圆柱相交,圆柱被不同位置平面所截时，其截交线的形状有如下三种情况:,例3 在圆柱上铣出一个方形槽，已知它的正面及 水平投影，求它的侧面投影。,求截切实心圆柱后的侧面投影,1,2,3,4,2,4,1,3,3“,1“,4“,2“,5,6,5,6,5“,6“,找特殊点,补充中间点,光滑连接各点,画出完整圆柱的投影。,例4.已知斜截圆柱的正面投影和水平投影求其侧面投影,分析轮廓线的投影,椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。,截平面与圆柱轴线成45时。,例5：求截切圆
13、柱的侧面投影,虚实分界点,例5：求截切圆柱的侧面投影,检查加深，完成全图。,在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。,(2) 平面与圆锥相交,当截平面与圆锥轴线的相对位置不同时，圆锥表面上便产生五种不同的截交线。,例6.过锥顶的截平面斜截圆锥，已知它的正 面投影，求其余两个投影。,检查加深，完成全图。,(3) 平面与球相交,平面截切球时，不论截平面的位置如何，截交线的形状均为圆，该圆的直径大小与截平面到球心的距离有关，但由于截平面相对于投影
14、面的位置不同，截交线投影的形状也不同。,例7. 求球切槽的侧面投影和水平投影。,分析： 槽是由两个侧平面和一个水平面截切球形成的，左右对称。两个侧平截面与球面的截交线均为一段圆弧，与水平截平面的交线为正垂线，其侧平面投影反映实形。水平截面与球面的截交线是两段圆弧，其水平投影反映实形。,1“,2“,1,2,2,1,3,4,3,4,3“,4“,组合形体中的截交线,3.圆球表面的截交线,圆球体表面的截交线,第四节 立体与立体相交,一 基本概念 二 两平面立体相交 三 平面立体与曲面立体相交 四 曲面立体与曲面立体相交,一、相贯线概述,两立体相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线。,1. 相贯线的性质
15、(1）相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线也就是两立体表面的共有线,具有共有性； （2）由于立体有一定的范围，所以相贯线一般是闭合的空间图形，具有封闭性。,交线,截交线：平面与立体表面的交线。,相贯线：两立体表面的交线。,二、两平面立体相交,二、两曲面立体相交,两曲面立体的相贯线通常是空间曲线，特殊情况时是平面曲线或直线。由于曲面立体不像平面立体有明显的轮廓线和连接点，因此，在求作两曲面面的相贯线时，必须作出相贯线上足够的点，这此点包括特殊位置点和一般位置点。,求相贯线的一般方法： 1、利用积聚性求相贯线 2、辅助平面法,原理：当相贯结构中有一个是圆柱体时，先利用圆柱表面的积聚性，得到相贯
16、线的至少一个投影；再通过回转体表面取点，作出相贯线的未知投影。,1、利用积聚性求相贯线,作图： 1）求特殊点 即相贯线的最高点、最低点、最左点和最右点，是其中一圆柱体投影面的转向轮廓线与另一圆柱体表面相交的点。 2）求一般位置点 为了准确求出相贯线的投影并使曲线光滑，还应适当作出相贯线上的一般位置点。3）依次用曲线光滑地连接回转体上相邻的共有点，可得相贯线的正面投影。,圆柱面相贯有外表面与外表面相贯、外表面与内表面相贯和两内表面相贯，如图所示。这三种情况的相贯线的形状和作图方法是一样。,两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小变化
17、时对相贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线（也可不垂直）的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,交线向大圆 柱一侧弯,交线为两条平面 曲线（椭圆）,小 结,一、平面立体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。,求截交线的方法：棱线法 棱面法,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面的共有线。,当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。注意分析平面体的棱线和回
18、转体轮廓素线的投影。, 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特性。, 求截交线,三、解题方法与步骤, 空间及投影分析, 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。, 当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。当只有局部被截切时，先按整体被截切求出截交线，然后再取局部。, 求复合回转体的截交线，应首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,3.2.2相贯线,平面体与回转体相贯,回转体与回转体相贯,(1).相贯的形式,两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。,本节主要讨论
19、常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。,1、概 述,立体表面相交有三种形式,一种是立体的外表面相交;一种是外表面与内表面相交;一种是内表面与内表面相交.,相贯线,实实相贯,实虚相贯,虚虚相贯,(2)相贯线的主要性质, 共有性, 表面性,相贯线位于两立体的表面上。,相贯线是两立体表面的共有线。, 封闭性,相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。,2.回转体与回转体相贯,1. 相贯线的性质,相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。,2.作图方法,表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。, 用辅助平面法。,一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状
20、、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。, 先找特殊点。,3.相贯线作图过程, 补充中间点。,确定交线的 弯曲趋势,确定交线 的范围,其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。,2.回转体与回转体相贯,如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法，称为表面取点法。,相贯线的求法,利用表面取点法求作相贯线中,例1.如图所示已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线。,分析：由投影图可知，直径不同的两圆
21、柱轴线垂直相交，由于大圆柱轴线垂直于W面，小圆柱轴线垂直于H面，所以，相贯线的侧面投影和水平投影为圆，只有正面投影需要求作。相贯线为前后左右对称的空间曲线。,（1）求特殊点：,作图步骤：,1,3,1,3,1”3”,2”,4”,24,直接定出相贯线的最左点 和最右点的三面投影。,再求出出相贯线的最前点和最后点的三面投影。,（2）求一般点：在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5、6，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5、6。,5”,6”,5,6,56,(3) 光滑连相贯线：相贯线的正面投影左右、前后对称，后面的相贯线与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影，即完成作图。,
22、圆柱面相贯有外表面与外表面相贯、外表面与内表面相贯和两内表面相贯，如图所示。这三种情况的相贯线的形状和作图方法是一样。,两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小变化时对相贯线的影响。这里特别指出的是，当相贯线（也可不垂直）的两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。,（3）交线的变化：从图（a）、（b）可以看出，当两圆柱正交时，若小圆柱逐渐变大，则交线越弯曲，但这时交线的性质没有改变，还是两条空间曲线，它们的正面投影仍是曲线。但是当两圆柱的直径相等时，却是由量变引起质变
23、，这时交线从两条空间曲线变为两条平面曲线（椭圆），它们的正面投影成为两条直线，如图（c）所示。,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,交线向大圆 柱一侧弯,交线为两条平面 曲线（椭圆）,辅助平面法：,根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。,作图方法：,假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。,辅助平面的选择原则：,使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。,一般选择投影面平行面,小 结,一、本节的基本内容, 立体表面相贯线的概念, 求相贯
24、线的基本方法,相贯线的性质：表面性 共有性 封闭性,二、解题过程, 交线分析, 空间分析：, 投影分析：,是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。,面上找点法 辅助平面法,分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相对位置，预见交线的形状。,特殊点包括：最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。, 作图, 找点,连线,检查、加深,尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。,当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 先找特殊点, 补充若干中间点,三、平面体与圆柱体相贯, 相贯线的产生：, 求相贯线的方法：, 相贯线的形状及投影：,外表面与外表面相交，
25、外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。,求平面体的棱面与圆柱面的截交线，依次连接起来。,相贯线为封闭的空间折线。相贯线在非积聚性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。,四、两圆柱体相贯, 相贯线的产生：, 求相贯线的方法：, 相贯线的形状及投影：,外表面与外表面相交，外表面与内表面相交，内表面与内表面相交。,常用的方法是利用积聚性表面取点，也可用辅助平面法。,相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲，当两圆柱直径相等时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为直线。在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。,课 后 问 题,习题册第35.36页,
