理论力学经典课件-第五章 动量定理和动量矩定理.ppt

1、,动力学,模型:,研究机械运动与力的作用关系,理论的普遍性:,(包括刚体、结构、弹塑性结构、流体等),直接用于一切动力学,受力的质点系,意 义:,2.动强度设计,1.一切动力学基础,经典动力学,分析动力学,牛顿力学、矢量动力学,(物理中已阐述),两个原理为基础,内容:,动量主矢变化与外力主矢关系 动量主矩变化与动量主矩关系,第五章 动量定理和动量矩定理,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,任何物体具有惯性；力是改变运动的原因。,牛顿在地球上发现，总结于自然 哲学的数学原理。,1.惯性定律,不受力质点，保持静止或匀速直线运动状态(相对惯性系)。,表明

2、:,2. (对质点),即 合力与加速度同时、同向。,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,此时弹力，摩擦力不变:,1. A与B在F作用下匀速运动，已知 突然拆去F后，求此时,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,物块沿斜面运动， 沿斜面。,故合力沿斜面，且,3. 已知 求物体所受合力。,2. 已知 悬挂重物，求绳断时 ?,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,光滑圆管在水平面匀速转动，管内小球如何运动?,三大定律适应惯性系(地球、地心、日心),不仅适应用平衡体，也适应非平衡体。,第3定律可用于非惯性系。,3.作用与反作用定律,在x方向投影:,即 小球沿管向外

3、运动。,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,1.两种形式,投影式,a、直角坐标,b、 弧坐标系,矢量式,5-1 质点动力学方程,坐标与坐标导数正向相同。,投影式两边正方向相同。,还有柱坐标、球坐标式等。,1.绕线轮与滑块，已知，r，m，f0，求 与x的关系。,2.两类问题:,第二类:,第一类:,已知运动求力微分,已知力求运动积分,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,研究滑块A,由 得,为所求,注意到:,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,1. 如何可使 与坐标正向一致？,建立图示 坐标,不对，A、B两点均运动

4、。,2. 对吗?,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,2.质量为m小球在空气中下落， 试求小球的运动。,设,则,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,存在极限速度 ，小球趋于等速运动；,运动分析:,此时 阻力与重力平衡,空中降落伞很快达到,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,5-2 质点系动量定理,第五章 动量定理和动量矩定理,5-2-1 质点系的动量,5-2-2 质点系动量定理,5-2-3 质心运动定理,(动量系的主矢),1. 已知m,r, 比较两环 大小?,5-2-1 质点系的动量,5-2 质点系动量定理,2. 求均质杆合动量 ，

5、对吗?(与内力 有关吗?),位置不对! 应在 处. (向C简化，还有动量主矩 ),5-2-1 质点系的动量,5-2 质点系动量定理,1.微分式,2.积分式,3.守恒式,(不一定守恒),5-2-2 质点系动量定理,(由对质点的动量定理，求和得到),揭示外力主矢与动量变化之关系，形式上 与内力无关。,5-2 质点系动量定理,三种形式均有投影式,则,5-2-2 质点系动量定理,5-2 质点系动量定理,与 成 角,圆锥摆，已知 试求半周期内绳张力冲量,方向:,5-2-2 质点系动量定理,5-2 质点系动量定理,描述了质系质心运动与外力主矢的关系。,5-2-3 质心运动定理,1.定理,对刚体仅描述了随质

6、心平移的一个侧面。,炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动，直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。,5-2 质点系动量定理,2.质心守恒(不动),对！,则,故有,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,(左移),1. 已知 力偶使B转 后，求 。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,2. 均质杆在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹?,杆质心C沿铅直线运动。,设任意时刻t，状态如图,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,1.物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由静止开始 运动已知 。B在2s内前移 5m，不计B与地面摩擦。试求A在B内移动距离(B足够

7、长)。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,研究整体:,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,无相对运动时:,经时间t1，发生第1次碰撞。,1. 为什么 =常量?,A对B的摩擦力 大小为是常量。,2. 若给定B长4m, 完全弹性碰撞以后情形?,（有向后与向前之区别）,有相对运动时:,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,2. 水平管绕轴z转动，A，B两球细绳相连，,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,常数，,而,代入上式，得,而,故,不变， 变化， 变,则,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,3.曲柄滑槽机构。已知 ，G为导杆重

8、心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 试求支座O动约束力。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,由质心运动定理,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,偏心电机转动时，支座动约束力多大？,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,4.炮车放炮。已知 （对地）求反冲速度 。,上式在x，y方向投影,解之得:,可见,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,1. 不计空气阻力， ?射程最远。,2. 炮台放炮（高h） ?射程最远。,时，射程最远，,此时,可见 一定时。 大小一定，且,要使水平射程 最大。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,只要 最大。,

9、即图示矢量三角形面积最大。,因 边长一定。,必有 即,代入上式,得 时，,水平射程最大。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,第五章 动量定理和动量矩定理,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,2. 对运动点A,1. 对固定点O,(1)对两个固定点A,O 之关系,(2)对固定轴x,(1)绝对动量矩,(数学上完全类似力矩),P 动量,绝对速度,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,(2)相对动量矩(在A点固连平移系),相对速度,(3)两者关系,故,C为质心，,动点为质C

10、时,对质心得绝对与相对动量矩相等,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,3.刚体的动量矩(对固定点A),(对动点A， 形式同上，但 为一般运动矢),(1)平移,且有,设,(2)定轴转动,对轴上一点O:,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,可见:,(可以证明任意点存在 三根主轴),其中,称为惯性积；,为对z轴转动惯量。,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,常见主轴,质量对称面,对称轴,常见刚体,均质轮,均质杆,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,平行轴定理:,工程中:,惯性半径或迴转半径,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质

11、点系动量矩定理,在刚体上建立质心平移系 ,且使 运动平面，则相对运动为绕 轴的转动，已知 对两固定点A、C,(3)平面运动,a)一般情形,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,b)主轴情形,若 为主轴，则,则,故,方位相同，可视为代数量。,1. 均质轮滚动，已知,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,2. 均质轮纯滚，已知,3. 各构件质量均为m，求 。,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,图(a):,图(b):,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,(亦可按平面运动刚体计算!),5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩

12、定理,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,(分别对各质点，再求和，内力矩抵消),几何解释，类比, 矢端速度等于外力系对O点的主矩,冲量矩定理,(赖柴定理),1.微分式:,2.积分式:,5-3 质点系动量矩定理,3. 守恒式:,则,4 .投影式:,如圆锥摆:,而,守恒,不守恒,守恒,则,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,1.已知 O为均质细杆质心， ，求A、B 动约束力。,杆细长，可略去 ，方向,方向如图，右手法则,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,2.若考虑 有何变化?,3.若固结点偏离质心O,如图所示， A,B处动约束力又何

13、变化?,类似方法，可求矩形板，圆盘转动时的动约束力。,均减小。,相应增大。,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,1.已知 ，求a。,研究整体，受力如图。,由,(不用隔离体法),5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,若不计绳与滑轮的质量，则,猴子爬绳比赛，已知,若考虑绳与滑轮的质量，则,显然，,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,2.两杆铰接悬吊，已知 求冲击后，求,设冲击后，速度如图。,研究整体，由冲量矩定理，对A轴,研究BD杆，对固定点 ，由冲量矩定理有,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质

14、点系动量矩定理,(1)对固定点A、B，使用冲量矩定理，避免了未知的约束力冲量.(2)BD杆相对固定平面作平面运动.(3)悬吊n根杆受冲击的思考.,类似习题:,(对固定点),(对运动点),5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,由,飞轮角加速度多大时，FB为零？,则,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,如何设计双足机器人行走侧向稳定方案？,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,由物理，对运动质心C，有,对一般运动点A,5-3 质点系动量矩定理,在A点固连平移系 为任一质点

15、。,1 .定理的一般形式,(复合运动),A为运动点(已知vA，A)C为质点。,对一般动点A, 平移系中， (绝对导数相对导数)(动系单位矢方向不变),由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中。,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,2. 定理的特殊形式,使修正项 的情形,(A固定，匀速直线，加速度瞬心),(2) 即，A为质心C,(3) 与 共线，,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,1. 均质杆长l，绳段瞬时,如何用最简方法求,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,2. 均质轮滚动，已知 。,5-3-

16、3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,3. 均质杆长l,沿墙滑落。,CvC=常数时， 指向C,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,4. 半圆柱，一般位置时。,当直径面水平时， 指向C，有,不指向C，,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,1. 均质环滚而不滑，A球固结环上，求 绳段瞬时 。,再思考:,2. 滚至OA水平时，再求 。,O指向质心C,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,对固定点A，,另解:,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,若 则,猫

17、在下落过程中如何翻身？ 跳水时如何产生多周旋转？ 转椅上的人如何能自转动180 ？,3. 动量矩相对守恒,对质心轴:,若 则,可解释:,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,4 . 刚体平面运动微分方程,与动量定理和动量矩定理数学上等价。,由 有,分解为随质心C平移绕C轴转动,由,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,常与动量定理结合，求解时间相关问题。 灵活选矩心，严格守条件。 结合运动学条件。,5 . 典型问题,1. 圆轮问题,已知,求,1)解题要点,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,受力与加速度

18、分析如图。 由刚体平面运动方程，有:假设轮滚动，即 联立解之得,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,当h3R/2时， 向左,与(1),(2),(3)联立,若 则轮滑滚，有,纯滚条件,h3R/2时， 向右,h3R/2时， 0,可见:,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,不听话的绕线轮。 已知m, r, R, f, F, 求 。,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,而,又,故,当杆端A没离开墙角时，AB杆的速度瞬心在Cv点， ，在任意

19、角位置时，有,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,代入式(2),并积分得,1) 如何求任意位置时FA,FB大小？,2) A端在何位置离开墙面？,3) 考虑摩擦时，如何求解？,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,3.水平管绕轴z转动，A，B两球细绳相连，图示瞬时，测得,求 (不计摩擦和绳重),5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,则,而,代入上式，有,而,故,不变， 变化，变,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,4.稳定流体的动约束力。图示变截面弯管中的稳定 流体各处速度

20、不变）。已知 重力G，入、出口相邻 流体压力 ，试求流体对管壁引起的附加动约束力。,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,将流体段所受动约束力向某定点O简化。先求其动 约束力主矢量。考察该质点系动量的变化，在 t内:,因为是稳定流，故有,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,考虑到流体不可压缩，式(a)可化简为:,将(b)式除以t，并取极限，得,式中 为质量流量。将式(c)代入质点系动量定理， 得,式中 为管壁对流体段约束力主矢。,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,其中 为与外力G, , 相平衡的管壁

21、静约束力， 即,则附加动约束力主矢:,式中 为体积流量， 为流体密度。,再求该流体段所受动约束力对固定点O的主矩。由 定点O向入、出口处的二个质量微团m的质心 与 分别引位矢 ,则在t内,(d),设:,5-3 质点系动量矩定理,将该式除以t，并取极限，得,注意到,且 有,故动约束力偶矩,(e),代入 中，得,式(d)连同式(e)可完全确定流体段所受动约束外力， 而流体对管道的动约束力与 和 等值，反向。,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,1. 已知 ，判断图示弯管段所受流体 动约束力。,对流体:,对管道:,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,2. 如何求图示嘴角6个螺拴拉力?,段受变力如图，有,螺拴拉力,作业,5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理,5-3 质点系动量矩定理,