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2_8向量组的正交化.ppt
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1、证明: (反证)设a1,a2,am线性相关,则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示,不妨设a1可由a2,am线性表示,即有一组数 k2,km,使a1k2a2+ +kmam ,于是(a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +kmam)= (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam)=k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)0矛盾,所以a1,a2,am线性无关.,定理1 正交向量组是线性无关的向量组.,下页,2.8 向量组的正交化,定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,am,令,则向量组b1,b2,bm是正交向量组.,下页,施密特正交化方
2、法,另外:很明显,向量组a1,a2,am可由向量组b1,b2,bm线性 表示.,下页,由此可知,若向量组a1,a2,am为AX=o的一个基础解系,则向 量组b1,b2,bm也为AX=o的一个基础解系.,向量组b1,b2,bm也可由向量组a1,a2,am线性表示,因为:,例1已知向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T, 线性无关,试将它们正交化、标准化.,解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化,即令,b1=a1=(1, 1, 1, 1)T,=(3, 3, -1, -1)T,=(2, 2, -2, -2)T,=(-1, 1, -1, 1)T,(1, 1, 1, 1)T,此时 b1, b2, b3 为正交组.,下页,(2)再将正交化后的向量组标准化,即令,此时 1,2,3 即为所求标准正交组.,说明:求标准正交组的过程为,先正交化,再标准化.,下页,作业:,P84页 20(2),结束,
