1、 11. 如果群 G 中, 对任意元素 a,b 有(ab) 2=a2b2,则 G 为交换群.证明: 对任意 a,b G,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群 G 为交换群.2. 如果群 G 中, 每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群.证明: 方法 1 对任意 a,b G,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此 G 为交换群.方法 2 对任意 a,b G,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知 G 为交换群.3. 设
2、 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件:(1) a(bc)=(ab)c;(2) 由 ab=ac 推出 b=c;(3) 由 ac=bc 推出 a=b;证明 G 在该乘法下成一群.证明:方法 12设 G=a1,a2,an,k 是 1,2,n 中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,n),有akai ak aj-aiak aj ak-再由乘法的封闭性可知G=a1,a2,an=aka1, aka2, akan-G=a1,a2,an=a1ak, a2ak, anak-由和知对任意 at G, 存在 am G,使得 akam=at.由和知对任意 at G, 存在 as G
3、,使得 asak=at.由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。方法 2为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元( 单位元)，并且证明 G 内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设 G=a1,a2,an.() 证明 G 内存在幺元.存在 at G，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);证明 a1at= ata1;因为3a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,故此a1(ata1)at= a1(a1at
4、)at.由条件(1),(2) 可得到a1at= ata1.证明 at 就是 G 的幺元;对任意 ak G,a1(atak) =(a1at)ak=a1ak由条件(2)可知atak=ak.类似可证akat=ak.因此 at 就是 G 的幺元.() 证明 G 内任意元素都可逆；上面我们已经证明 G 内存在幺元，可以记幺元为 e，为了方便可用a,b,c,等符号记 G 内元素 .下面证明任意 a G，存在 b G，使得 ab=ba=e.对任意 a G，存在 b G，使得 ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)证明 ba=ab=e;4因为a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee
5、=e再由条件(2),(3) 知ba=ab.因此 G 内任意元素都可逆.由(),()及条件 (1)可知 G 在该乘法下成一群.4. 设 G 是非空集合并在 G 内定义一个乘法 ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素 a,b G,下列方程ax=b 和 ya=b分别在 G 内恒有解，则 G 在该乘法下成一群.证明： 取一元 a G,因 xa=a 在 G 内有解, 记一个解为 ea ,下面证明 ea 为 G 内的左幺元. 对任意b G, ax=b 在 G 内有解, 记一个解为 c,那么有 ac=b ,所以eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,因此 ea 为 G 内的左幺元.再者
6、对任意 d G, xd=ea 在 G 内有解, 即 G 内任意元素对 ea 存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此 G 在该乘法下成一群.5总结 群有几种等价的定义:(1)幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.(2)设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含幺元, G 内任意元素都有逆元 ,则称 G 为该运算下的群.(3)设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含左幺元, G 内任意元素对左幺元都有左逆元,则称 G 为该运算下的群 .(4)设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律,
7、并且对于任一对元素 a,b G,下列方程ax=b 和 ya=b分别在 G 内恒有解，则称 G 为该运算下的群.值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.5. 在 S3 中找出两个元素 x,y,适合(xy)2 x2y2.思路 在一个群 G 中，x,y G, xy=yx (xy)2 x2y2(这一点很容易证明).因 =此只要找到 S3 中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.6解: 取x= , y=(1 2 32 1 3) (1 2 31 3 2)那么(xy)2 = x2y2.=(1 2 33 1 2) (1 2 31 2 3)注意我们可以通过
8、 mathematica 软件编写 Sn 的群表,输出程序如下:Pra_,b_,n_:=(*两个置换的乘积*)(Tableabi,I,1,n);Sen_:=(*1,2,n的所有可能的排列做成一个表格*)(PermutationsTablei,I,1,n);Stablen_:=(*生成 Sn 群表 *)(a=Sen;Tableprai,aj,n,I,1,n,j,1,n)当 n=3 时群表如下： 123132213231312321132123312321213231213231123132321312231213321312123132312321132123231213321312231213
9、1321237说明： 表示置换 , 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用132 (1 2 31 3 2)e,a,b,c,d,f 表示 , , , , 那么群表如下 :123 132, 213 231 312 321e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b c e a f dc c b f d e ad d f a e c bf f d c b a e6. 对于 n2,作一阶为 2n 的非交换群.7. 设 G 是一群, a,b G,如果 a-1ba=br,其中 r 为一正整数 ,证明 a-ibai= . 证明：我们采用数学归纳法证明.当 k=1 时, a-
10、1ba=br= , 结论成立；假设当 k=n 时结论成立, 即 a-nban=1成立, 下面证明当 k=n+1 时结论也成立.我们注意到a-1bka= = bkr,(-1)(-1)(-1)个8因此a-(n+1)ban+1= a-1 (a-nban)a=a-1 a= = , +1可见 k=n+1 时结论也成立.由归纳原理可知结论得证.8. 证明:群 G 为一交换群当且仅当映射 是一同构映射.-1证明:()首先证明当群 G 为一个交换群时映射 是一同构映射 .-1由逆元的唯一性及 可知映射 为一一对应，又因为(-1)-1= -1,(xy)-1=y-1x-1并且群 G 为一个交换群, 可得.y-1x
11、-1=-1-1因此有.(x y)-1=-1-1综上可知群 G 为一个交换群时映射 是一同构映射.-1()接着证明当映射 是一同构映射,则群 G 为一个交换群.-1若映射 是一同构映射,则对任意 有-1 , ,(x y)-1=-1-1另一方面，由逆元的性质可知.(y x)-1=-1-1因此对任意 有, ,=9即映射 是一同构映射,则群 G 为一个交换群.-19. 设 S 为群 G 的一个非空子集合，在 G 中定义一个关系 ab 当且仅当 ab-1S.证明这是一个等价关系的充分必要条件为 S 是一个子群.证明: 首先证明若是等价关系，则 S 是 G 的一个子群 .对任意 a G,有 aa, 故此
12、aa-1=e S； 对任意 a,b S,由(ab)b -1=a S,可知 abb ，又 be-1=b S,故 be, 由 传递性可知 abe，即(ab)e -1=ab S.再者因 ae-1=a S, 故 ae, 由对称性 可知 ea，即 ea-1=a-1 S.可见 S 是 G 的一个子群.接着证明当 S 是 G 的一个子群 ,下面证明是一个等价关系.对任意 a G, 有 aa-1=e S，故此 aa(自反性);若 ab，则 ab-1 S, 因为 S 为 G 的子群，故(ab -1)-1=ba-1 S,因此 ba(对称性);若 ab，bc, 那么 ab-1 S,bc-1 S,故 ab-1 bc-
13、1=ac-1 S，因此 ac(传递性). 综上可知是一个等价关系.10.设 n 为一个正整数, nZ 为正整数加法群 Z 的一个子群，证明 nZ 与 Z 同构.证明:我们容易证明 为 Z 到 nZ 的同构映射,故此 nZ 与 Z 同构.11.证明:在 S4 中，子集合B=e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)10是子群，证明 B 与 U4 不同构.证明:可记 a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下：e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e由该表格可以知道
14、 B 中的元素对置换的乘法封闭，并且 B 的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此 B 为 S4 的子群. 这个群 (以及与其同构的群)称为Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群.假设 B 与 U4 同构, 并设 f 为 B 到 U4 的同构映射, 则存在 B 中一元 x 使得f(x)=i(i 为虚数单位 ),那么f(x2)= f2(x)=i2=-1另一方面, f(x 2)=f(e)=1(注意 x2=e),产生矛盾. 所以假设不成立 , 即 B 与 U4不同构.讨论 B 与 U4 都是 4 元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.12.证明:如果
15、在一阶为 2n 的群中有一 n 阶子群，它一定是正规子群.11证明:方法 1设 H 是 2n 阶群 G 的 n 阶子群 , 那么对任意 a H, 有H aH= , 并且 aH G,H G,又注意到 aH 和 H 中都有 n 个元素, 故此 H aH=G.同理可证对任意 a H, 有H Ha= , H Ha=G， 因此对任意 a H，有aH=Ha.对任意 a H, 显然 aH H, Ha H 又因 aH,Ha 及 H 中都有 n 个元素， 故aH=Ha=H.综上可知对任意 a G,有aH=Ha，因此 H 是 G 的正规子群.方法 2设 H 是 2n 阶群 G 的 n 阶子群, 那么任取 a H,
16、 h H, 显然有 aha- 1 H.对给定的 x H, 有H xH= , H xH=G. 这是因为若假设 y H xH, 则存在 h H，使得 y=xh,即 x=yh-1 H 12产生矛盾,因此 H xH= ;另一方面, xH G,H G, 又注意到 xH 和 H 中都 有 n 个元素, 故此 H xH=G.那么任取 a H,由上面的分析可知 a xH, 从而可令 a=xh1这里 h1 H.假设存在 h H, 使得 aha-1 H,则必有 aha-1 xH,从而可令 aha-1=xh2这里 h2 H.那么xh1ha-1=xh2,即a= h2h1h H,产生矛盾.因此，任取 a H, h H,
17、 有 aha-1 H. 综上可知对任取 a G, h H, 有 aha-1 H,因此 H 为 G 的一个正规子 群.13.设群 G 的阶为一偶数,证明 G 中必有一元素 a e 适合 a2=e.证明: 设 b G，且阶数大于 2，那么 bb -1,而 b-1 的阶数与 b 的阶数相等.换句话说 G 中阶数大于 2 的元素成对出现，幺元 e 的阶数为 1，注意到 G 的阶数为宜偶数，故此必存在一个 2 阶元，( 切确的说阶数为 2 的元素有奇数个).13讨论 1 设 G 是一 2n 阶交换群，n 为奇数则 G 中只有一个 2 阶元.为什么？提示：采用反证法，并注意用 Lagrange 定理.2
18、群 G 中，任取 a G，有 an=e，那么 G 一定是有限群吗？如果不是请举出反例，若是有限群，阶数和 n 有什么关系？14.令A= , B=(0 11 0) (2 00 -2)证明:集合B,B 2,Bn,AB,AB2,ABn在矩阵的乘法下构成一群, 而这个群与群 Dn 同构 .证明:下面证明 G=B,B2,Bn,AB,AB2,ABn在矩阵的乘法下构成一群.()首先证明对乘法运算封闭. 下面进行分类讨论：(1) Bi Bj=Bi+j,注意到 Bn= 故此 (1 00 1)Bi Bj=Br G 这里 i+j=kn+r,k Z,0，G 2=，G n=，2 4 2是 G 的互不相同的子群，所以 G
19、 有无穷多个子群，产生矛盾.综上就可知“G 是无限群”这个假设不成立，因此 G 是有限群.19.写出 Dn 的所有正规子群.20.设 H，K 为群 G 的子群，HK 为 G 的一子群当且仅当 HK=KH.证明：()设 HK=KH，下面证明 HK 为 G 的一子群.18任取 a,bHK,可令a=h1k1，b=h 2k2这里 hiH，k iK，i=1,2.那么ab=(h1k1)(h2k2)=h1(k1h2)k2 -(1)因 HK=KH，故此k1h2= h3k3 -(2)这里 h3H ， k3K.由(1),(2) 知ab= h1(h3k3)k2=(h1h3)(k3k2)HK. -(3)另外，a-1=
20、 (h1k1)-1= KH=HK. - (4)1111由(3),(4)知 HK 是 G 的子群 .() HK 为 G 的一子群, 下面证明 HK=KH.若 aHK,易知 a-1KH. HK 是子群,任取 aHK ，有 a-1HK,因此(a -1)-1=aKH，那么有 HK KH.若 aKH,易知 a-1HK. HK 是子群,任取 aKH ，有 a-1HK,因此(a -1)-1=aHK，那么有 KH HK.综上知，HK=KH.21.设 H，K 为有限群 G 的子群，证明19|=|.证明：因 HK 为 H 的子群，那么可设 H 的左陪集分解式为H=h1(HK)h 2(HK)h r(HK)这里 r
21、为 HK 在 H 中的指数，h iH ，当 ij ，h i-1hjHK(事实上等价于hi-1hjK),i, j=1,2,r.又(HK)K=K,所以HK=h1Kh 2Kh rK.-(1)注意到 hi-1hjK，所以当 ij(i, j=1,2,r)时，hiKh jK= .-(2)由(1),(2) 我们得到|=|=|.总结左陪集的相关结论设 H 为 G 的一子群，那么(1) aaH;(2) aH aH=H;(3) baHaH=bH;(4) aH=bHa-1bH;(5) aHbH ，有 aH=bH.2022.设 M,N 是群 G 的正规子群.证明：(i) MN=NM;(ii) MN 是 G 的一个正规
22、子群；(iii) 如果 M N=e，那么 MN/N 与 M 同构.证明：(i)方法 1任取 aMN,可设 a=mn(mM，nN).因为 M 为 G 的正规子群，故 n-1mnM. 所以 a=n(n-1mn) NM，故此 MNNM.同样的方法可以证明 NMMN. 因此 MN=NM.方法 2任取 a，bMN，可设 a=m1n1(m1M ，n 1N)，b=m2n2(m2M，n 2N).下面只要证明 MN 为 G 的一个子群即可(由第 20 题可知) ，也就是说只要证明 ab-1MN 即可.因为ab-1=m1n1n2-1m2-1= m1(n1n2-1m2-1n2n1-1)(n1n2-1)，而 M 为
23、G 的正规子群，故n1n2-1m2-1n2n1-1M，所以 ab-1MN.(ii) 由(i)可知 MN 为 G 的一个子群.任取 aMN, 可设 a=mn(mM，nN).因为 M 和 N 为 G 的正规子群，对任意 gG，有g-1ag= g-1mng= (g-1mg)(g-1ng) MN.21所以 MN 为 G 的正规子群 .(iii) 易知 N 为 MN 的正规子群，因此 MN/N 是一个群. 因为 M N=e，对任何 mim jM, 有 miNm jN注 .作一个 MN/N 到 M 的映射 f注 ，f: MN/NMmN m，那么该映射显然是一一对应，另外f(miN mjN)= f(mimj
24、N)= mimj，因此 f 为 MN/N 到 M 的同构映射，即 MN/N 与 M 同构.讨论1. 只要 M 和 N 的一个是正规子群，那么 MN 就是子群，或者说成立 MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法 2 可知.2. M 和 N 中有一个不是正规子群时 MN 一定不是正规子群 .注意1 M N=e，对任何 mim jM, 有 miNm jN. 证明：若存在 mim jM, 有 miN=mjN，那么 mimj-1N，而 mimj-1M. 因此 mimj-1M N，产生矛盾 .2. 设 f: MN/NMmN m，则由于对任何 mim jM, 有 miNm jN，故此 f 为 MN/N 到
25、 M 的一个映射.2223.设 G 是一个群，S 是 G 的一非空子集合. 令C(S)=xG|xa=ax,对一切 aSN(S)= xG|x -1Sx=S.证明：(i) C(S),N(S)都是 G 的子群 ;(ii) C(S)是 N(S)的正规子群.证明：(i) 首先证明 C(S)是 G 的子群.任取 x，yC(S)，那么对任意 aS 有 xa=ax，ya=ay. 那么一方面，(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)，所以 xyC(S).另一方面，xa=ax a=x-1ax ax-1=x-1a 所以 x-1C(S).因此，C(S)是 G 的子群.接着证明 N(S)都
26、是 G 的子群.任取 x，yN(S)，则 x-1Sx=S，y -1Sy=S. 那么一方面，(xy)-1S(xy)=x-1(y-1Sy)x=x-1Sx=S所以 xyN(S).另一方面，x-1Sx=S S=xSx-123所以 x-1N(S).因此，N(S)是 G 的子群.(ii) 任取 xC(S)，aS，则 xa=ax，即 a=x-1ax，亦即 S= x-1Sx. 因此xN(S)，即 C(S) N(S).任取 xC(S)，yN(S)，aS，则存在 ayS 使得 yay-1=ay，因此 a=y-1ayy. 那么(y-1xy)a(y-1xy)-1=y1x(yay-1)x-1y= y1(xayx-1)y
27、= y-1ayy=a，即(y-1xy)a=a(y-1xy).所以 y-1xyC(S)，因此 C(S)是 N(S)的正规子群.24.证明任意 2 阶群都与乘法群1，-1 同构.证明：略.25.试定出所有互不相同的 4 阶群.解：我们分类讨论:(1) 存在四阶元； (2)不存在四阶元.(1) 若存在一个四阶元，并设 a 为一个四阶元，那么该四阶群为 .(2) 若不存在四阶元，那么除了单位元 e 的阶为 1，其余元素的阶只能是 2，即设四阶群G=e，a，b，c，那么 a2=b2=c2=e，ab=ba=c，ac=ca=b，bc=cb=a. 群表24如下：e a b ce e a b ca a e c
28、bb b c e ac c b a e这是 Klein 四阶群.综上可知，四阶群群在同构意义下只有两种或者是四阶循环群或者是Klein 四阶群.26.设 p 为素数.证明任意两个 p 阶群必同构.证明：易知当 p 为素数时，p 阶群必存在一个 p 阶元，即 p 阶群必是 p 阶循环群，故两个 p 阶群必同构.27. Z 为整数环，在集合 S=ZZ 上定义(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b) (c,d)=(ac+bd,ad+bc).证明 S 在这两个运算下成为幺环.提示：(1,0)为该环的单位元素.证明：略.2528.在整数集上重新定义加法“ ”与乘法“ ”为 a b=ab,
29、a b=a+b 试问 Z 在这两个运算下是否构成一环.答：不构成环.29.设 L 为交换幺环，在 L 中定义：a b=a+b-1,a b=a+b-ab.这里 e 为单位元素，证明在新定义的运算下，L 仍称为交换幺环，并且与原来的环同构.证明：(i)证明 L 在运算 下构成交换群：由 的定义，得到(a b) c=(a+b-1) c=a+b-1+c-1=a+b+c-2 a (b c)= a (b+c-1)= a+b+c-1-1=a+b+c-2 这里 2=1+1，所以(a b) c= a (b c).-(1) 同时由 的定义还可以得到a 1= 1 a=a，-(2) a (2-a)=(2-a) a=1
30、，-(3) a b=b a，-(4) 由(1),(2),(3)(4)可知 L 在运算 下构成交换群.26(ii)证明 L 中运算 满足结合律和交换律：容易证明这里略过.(iii)证明乘法 对加法 满足分配律： 因为a (b c)= a (b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac-1， (a b) (a c)=(a+b-1) (a+c-1)= (a+b-ab)+(a+c-ac)-1=2a+b+c-ab-ac- 1，所以a (b c)= (a b) (a c). 由于 和 满足交换律，故此 (b c) a= (b a) (c a). 因此新定义的乘法 对新定义的
31、加法 满足分配律 (iv) 设 0 为环 (L，+ ， )的零元，则0 a=a 0=a 由(i)，(ii)，(iii)，(iv)可得到 (L， ， )为交换幺环. (v) 最后证明(L ，+ ， )与(L， ， )同构：设 f: LLx 1-x，容易证明 f 为(L，+， )到(L， ， )的同构映射 . 30.给出环 L 与它的一个子环的例子，它们具有下列性质:(i) L 具有单位元素，但 S 无单位元素；(ii) L 没有单位元素，但 S 有单位元素；27(iii) L, S 都有单位元素，但互不相同；(iv) L 不交换，但 S 交换.解：(i) L=Z，S=2Z；(ii) L= |a,
32、bR，S= |aR；( 0 0) ( 00 0)(iii) L= |a,bR ， S= |aR；( 00 ) ( 00 0)(iv) L= |a,bR，S= |aR；( 0 0) ( 00 0)31. 环 L 中元素 eL 称为一个左单位元，如果对所有的 aL，eLa= a；元素 eR 称为右单位元，如果对所有的 aL，aeR=a.证明：(i) 如果 L 既有左单位元又有右单位元，则 L 具有单位元素；(ii) 如果 L 有左单位元，L 无零因子，则 L 具有单位元素；(iii) 如果 L 有左单位元，但没有右单位元，则 L 至少有两个左单位元素.证明：(i) 设 eL 为一个左单位元，e R
33、 为右单位元，则 eLeR=eR=eL.记 e=eR=eL，则对所有的 aL，ea=ae=a，因此 e 为单位元素；(ii) 设 eL 为一个左单位元，则对所有的 a(0)L，a(e La)=a2；另一方面，a(eLa)=(aeL)a.28所以 a2=(aeL)a.因为 L 无零因子，所以满足消去律 注 ，故此 a= aeL.另外，若a=0，则 a= aeL=eLa.因此左单位元 eL 正好是单位元 .(iii) 设 eL 为一个左单位元，因为 L 中无右单位元，故存在 xL，使得xeLx，即 xeL-x0,则 eL+ xeL-xe L，但是对所有的 aL，(e L+ xeL-x)a=a,因此
34、 eL+ xeL-x 为另一个左单位元，所以 L 至少有两个左单位元素.注意 L 无零因子，则满足消去律( 参考教材 46 页).32. 设 F 为一域.证明 F 无非平凡双边理想.证明：设 I 为 F 的任意一个理想，且 I0，则对任意 a(0)I，则 a-1F, 于是a-1a=1I.从而 F 中任意元素 f，有f 1=fI，故 I=F，即 F 只有平凡双边理想.讨论 事实上，一个体( 又称除环) 无非平凡双边理想. 另一方面，若 L 是阶数大于 1 的( 交换)幺环，并且除了平凡理想，没有左或右理想，则 L 是一体(域).33. 如果 L 是交换环，aL，(i) 证明 La=ra|rL是双
35、边理想；29(ii) 举例说明，如果 L 非交换，则 La 不一定是双边理想.证明：(i) 容易验证 La 为 L 的一个加法群. 任取 raLa，lL ，则l(ra)=(lr)aLa，(ra)l=r(al)=r(la)=(rl)aLa故 La 为 L 的一个双边理想.(ii) 设 L=M2(R)，那么 L 显然不是交换环，取 h= ，下面考察 Lh 是否为(1 01 0)L 的理想：取 k= ，容易验证 hLh ，hk Lh，因此 Lh 不是 L 的一个理想.(1 20 0) 34. 设 I 是交换环 L 的一个理想，令radI=rL|r n I 对某一正整数 n，证明 radI 也是一个理
36、想 .radI 叫做理想 I 的根.35. 设 L 为交换幺环，并且阶数大于 1，如果 L 没有非平凡的理想，则 L 是一个域.证明：只要证明非零元素均可逆即可.任取 aL，那么 La 和 aL 是 L 的理想，且La0，aL0，因 L 无平凡的理想，故此 La=aL=L，因此 ax=1 和 ya=1都有解，因而 a 为可逆元 .36. Q 是有理数域，M n(Q)为 n 阶有理系数全体矩阵环 .证明无非平凡的理想(这种环称为单30环).证明：我们社 K 为 Mn(Q)的非零理想，下面证明 K=Mn(Q).为了证明这一点，只要证明 n 阶单位矩阵 EK.记 Eij 为除了第 i 行第 j 列元
37、素为 1，其余元素全为0 的矩阵.那么EijEst=， =0， 而 E=E11+E22+Enn.我们只要证明 EiiK(i=1,2,n)就有 EK.设 AK，且 A0，又令 A=(aij)nn,假设 akj0，则有EikAEji=akjEii(i=1,2,n).由于 akj0，故存在逆元 akj-1.设 B= akj-1Eii,则BEikAEji= akj-1EiiEikAEji= akj-1EikAEji=EikEkjEji=Eii.因为 K 为理想，AK，所以 Eii=BEikAEjiK，证毕.37. 设 L 为一环，a 为 L 中一非零元素.如果有一非零元素 b 使 aba=0，证明a 是一个左零因子或一右零因子.证明：若 ab=0，则 a 为左零因子；若 ab0，则 aba=(ab)a=0，故 ab 为右零因子.38. 环中元素 x 称为一幂零元素，如果有一正整数 n 使 xn=0，设 a 为幺环中的一幂零元素，证明 1-a 可逆.
