1、1二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程1: 通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 ()yabfx身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。设二阶常系数线性非齐次方程为(1) ()yabfx这里 都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 ba、(2) 20k对特征方程的根分三种情况来讨论。1 若特征方程
2、有两个相异实根 。则方程(1) 可以写成12k、 1212()()ykyfx即 2(记 , 则(1) 可降为一阶方程zyk由一阶线性方程的通解公 1()fx5 ()()pxdpxdyeQec(3) 知其通解为这里 表示积分之后的函数是以 为自变量的。1130()xkktzefc0()xht x再由 112 3xktdyzefdc解得212212 ()() 3400()kxxukk eyeftdc应用分部积分法, 上式即为12 122 1 2() ()34002()kx kxxxkt kte eyfedfdc (4) 1122120012()()xxkktkktkxffe2 若特征方程有重根 ,
3、 这时方程为或2()ykyfx)()(ykykfx由公式(3) 得到 10()xktefdc再改写为 10()xkxkktyf即 ()tdedc故 (5) 120()xkkt kxkxyfe例1 求解方程 56y解 这里 的两个实根是2 , 32k.由公式(4) 得到方程的解是()xfe32232100xt txxydedce3232100xxt xxet2321xxce这里 .32c例2 求解方程 lnxye3解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是20k()lnxfe20()lnxt xyeedce1xt 200llxxetce2123ln4xx二 常数变易法二阶常系数非
4、齐次线性微分方程的一般形式是, (6) ()ypqfx, (7) 0其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方、程(7) 的通解。特征方程的特征根有三种情况。1. 当特征方程有两个不相同的实根 时,方程(7) 的两个线性无关的解为12、从而得方程(7) 的通解 .12xe、 xxce2. 当特征方程有二重实根时,可得方程(7) 的两个线性无关的解 ,从而xe、得到方程(7)的通解 。12()xce3. 当特征方程有一对共轭复根 时,可得方程(7) 的两个线性无关的解ei。从而得方程(7) 的通解 。cosinxxe、 12cossinxx综上所述可知,方程(7)
5、总有形如 、 的解,其中 为方cosxeiei程(7) 所对应的特征方程的特征根。关于方程(6) 的求解,我们就 为 或()fxxe时进行了讨论,给出了这两种情况下的解法。2()cosinpxpx我们将由方程(7) 的一个特解,通过参数变易法构造出方程(6) 的通解。首先求出方程(7) 的一个特解,不妨将此解记为 。1()cosxye4设方程(6) 有形为 5的解,将1()()cosxycxe1yc112ycyc(其中 为 , 为 代入方程(6) ,得()x1()x 111)(cypycpyqcfx 是方程(7) 的解上式为 ,令 ,得 根据一阶 11(2)()cypycfxcu112()()
6、ypufx线性非齐次方程的解法,得 1 122()()11uyypdxpdxefec(2) (2)1)costgxpd tgxxfdc (2)lncos (2)lncos11 pxx pxxefee ()()121coscsxxfd2ud为方程(6) (2)()121coscosx pxpxyeefedxc的通解。三 多项式法命题: 对于常系数线性微分方程(8) ()xmypqe其中p 、 q 与 是常数, 是 的m次多项式,()px5若令 ,则方程(8) 可化为: 7xyze2!()1!()()mFzzFpx为方程(8) 对应齐次方程的特征多项式.2()Fpq此处即要求方程(8) 的特解 ,
7、只要求 的特解()xye()()()mzzx,而得到(8) 的特解 . 此解法虽然类似教材5上的待定系数法, ()yx仔细斟酌, 要简单很多. 教材5中则把特解设为 ,这里()kxmyQek=0、1 、2、 是m 次多项式.()Qx例3 求微分方程 的一个解.2(5)xye解： , - 1 为其二重特征根,2()F故原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解是 。 ,从而令xe、 (1)0F,原方程化为: ,解之得其特解为 故原xyze5zx321556zx方程的特解是 。原方程的解是,21()6ye(其中 是常数)12xxxyce12c、四 阶数上升法所谓的阶数上升法就是:设(9) ()ypqf
8、x为多项式时,设()fx7101nnaxax此时,方程两边同时对 求 导倒数,得 12011()nnnypqa(1)(1)01!()!nnyax(2)()nypq6令 ( ),此时()0!nayq(2)(1)0nny由 与 通过倒数第二个方程可得 ,依次往上推,一直推到方程(9) ,(1)n()n (1)ny即可得到方程(9) 的一个特解 ,上面的这种方法称为阶数上升法 .()yx(9) 当 时 ,令 ,则101() ()n xnfxaaeR ()xyue, yue2()yuu代入方程(9) ,经整理得: 2 101(2)()nnpqaxax于是问题(9) 就转化为(8) 的形式.从以上可以看
9、出,阶数上升法不需要讨论是否为特征方程的特征根的问题,因此问题得以简化.例4 求微分方程 的一个解.67(1)xye解:原方程所对应的齐次方程的特根是正1、-7,对应的两个线性无关的解是。在求原方程的特解。 先消去 , 设特解 ,代入原方程得-7xe、 x()xyue(10)8u两边求导得 ,令 、 ，代入(10) 式得 ，即1u80u18x21764x所以原方程的一个特解为: 27()164xex所以，原方程的解为： (其中 为常数)-2217()64ycex12c、五 积分法运用特解公式进行教学, 不需要对微分方程的特殊右端进行分类设特解,只需熟悉特解公式就可以求出任意类型的特解.下面我们
10、介绍特解公式. 设是共轭特征方程 的任一根,则20rpq7 为方程(9) 的一个特解,其 表示(2)() xpxxyefed ()xfd7函数f ( x) 的一个原函数,积分下限可取任意值.即要求方程(9) 的特解先求出共轭特征方程 的特征根,任取其一为 ,再用特征公式求积分,便得到20rpq所求特解.例5 求微分方程 的通解.32cosxye解 特征方程 的特征根为 ,所以,齐次方程所对应的0r12,r两个线性无关的解是 ,共轭特征方程 的特征根为 ,计-2xe、 3012,r算积分可得:()cosin,xpxfdxx (2)() 1(sinco)2xxeeedex 即原方程的特解为: 1sic)2x所以,原方程的通解解是: (其中 为常数)-21(sic)xxyeex+12c、
