九年级上册重点知识点及例题.doc

1、九年级上册重点知识点及例题、 反比例函数知识点 l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 xky或 y=kx-1（k 为常数， 0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且 k 不为零；（2 ） xk中分母 x 的指数为 1，如 2不是反比例函数。（3）自变量 x 的取值范围是 0一切实数.（4）自变量 y 的取值范围是 0y一切实数。知识点 2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数 xky

2、的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限。它 们关于原点 对称、反比例函数的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永 远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 0x，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为 0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远 不能达到 x 轴和 y 轴的变化 趋势。反比例函数的性质 xky)0(的变形形式为 ky（常数）所以：（1）其图象的位置

3、是：当 k时，x、y 同号，图象在第一、三象限；当 0时，x、y 异号，图象在第二、四象限。（2）若点(m,n)在反比例函数 xky的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。（3）当 0k时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；知识点 3. 反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式 xky中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组 x、y 的对应值或图象

4、上点的坐标，代入 xy中即可求出 k 的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为： xy（ 0k）； 根据已知条件，列出含 k 的方程；解出待定系数 k 的值； 把 k 值代入函数关系式 xy中。知识点 4. 用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知 识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。针对 一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。一. 探求同一坐标系下的图象例 1.已知函数 与 在同一直角坐标系

5、中的图象大致如图 1，则下列结论正确mxyn的是（ ）A. B. C. D. 0n,0,0n,m0n,m分析：由图知，一次函数 中， y 随 x 的增大而增大，所以 ；反比例函数 在第二、四象限，所以 。观察各选项知，应选 B。xny评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例 2.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ）kxy)0(yA. B. C. D.图 2分析：本题可采用排除法。由选项 A、B 的一次函数图象知， 即 ，则一次函数0k图象与 y 轴交点应在 y 轴负半轴，而选项 A、B 都不符合要求，故都排除；由选kxy项 D 的一次图象知， 即

6、，则反比例函数 图象应在第一、三象限，而0k)(xy选项 D 不符合要求，故也排除；所以本 题应选 C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例 3.如图 3，直线 与双曲线 只有一个交点 A（1，2），且与 x 轴，y 轴分bxky1xky2别交于 B，C 两点， AD 垂直平分 OB，垂足 为 D，求直 线与双曲线的解析式。解：因为双曲线 过点 A（1，2），xky2所以 ,122得双曲线的解析式为 。xy因为 AD 垂直平分 OB，A 点的坐标为（1，2）。所以 B 点的坐标为（2，0）。因为 过点 A（1，

7、2）和 B（2，0），bxky1所以 解得 所以直线的解析式为0214k1 4x2y评注：解决本题的关键是确定点 B 的坐标，由 AD 垂直 OB 知，点 D 和点 A 的横坐标应相同，所以点 D 的坐标为（1， 0），又 AD 平分 OB 知， ，所以点 B 坐标为OB（2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探求三角形面积例 4.如图 4，反比例函数 的图象与直线 的交点为 A，B，过点 A 作 y 轴x4yx31y的平行线与过点 B 作 x 轴的平行线相交于点 C，则 的面 积为（ ）BA. 8 B. 6 C. 4 D. 2解析：把 代入 ，得x4y3131整理得 2x解得 3,1把 分

8、别代入2x,1，4y得 32,31所以点 A 的坐标为 ),(点 B 的坐标为 32,由题意知，点 C 的横坐标与点 A 的横坐标相同，点 C 的纵坐标与点 B 的纵坐标相同，所以点 C 的坐标为（ ）。3,2因为 ，4A323BC所以 的面积为83421A故应选 A。例 5.如图 5，已知点 A 是一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限内xyx2y的交点，点 B 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OB，那么 的面积为（ ）AOBA. 2 B. C. D. 222解：把 代入 ，得 ，xy2x整理得 ，解得2x,21得 分别代入,21xy得 y,21又点 A 在第一象限内，所以点 A 的

9、坐标为 )2,(在 中OC2,由勾股定理，得 所以 OB=2。,所以 的面积为AB，221CO故应选（C）评注：例 4 和例 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四. 探求点的坐标例 6.如图 6，直线 分别交 x 轴、 y 轴于点 A，C，点 P 是直线 AC 与双曲线12y在第一象限内的交点， 轴，垂足为点 B， 的面积为 4。xkyPB（1）求点 P 的坐标；析解：在 中，令 ，则 ；令 ，则 。1x2y01y02x所以点 A 的坐标为（-2，0），点 C 的坐标为（0， 1）。因为点 P 的直线 上，1x2y不妨设点 P 的

10、坐标为 )m,(所以 。12B,A又因为 4P1SP所以 )m2)(整理得 014即 )6(2解得 m,21因为点 P 在第一象限，所以 。2故点 P 的坐标为（2， 2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和 转换思想。二、 二次函数二次函数的概念：形如 的函数，叫做 x 的二次)0(2 、aabcxy是 常 数函数。自变量的取值范围是全体 实数。 是二次函数的特例，此时常(2xy数 b=c=0.在写二次函数的关系式时，一定要 寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。二次函数 yax 2的图象是一条顶点在原点关于 y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物

11、线。描述抛物线常从开口方向、对 称性、 y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与 x 轴的交点等方面来描述。函数的定 义 域是全体实数；抛物 线的顶 点在(0 ，0)，对称轴是 y 轴( 或称直线 x0)。当 a0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当 a0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、当 a0 时 .,;增 大 而 增 大随时 增 大 而 减 小随时 xyxB、当 a0 时 .,;增 大 而 减 小随时 增 大 而 增 大随时当 a越大，抛物线开口越小；当 a越小，抛物 线的开口越大。最大 值或最小 值：当 a0，且 x0 时函数有最小值

12、，最小值是 0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是 0二次函数 的图象是一条顶点在 y 轴上且与 y 轴对称的抛物线cxy2二次函数 的图象是以 为对称轴，顶点在（ ， ）的ba2 abx2ab2c42抛物线。（开口方向和大小由 a 来决定）|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴 y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴 y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越慢。二次函数 的图象中， a 的符号决定抛物线的开口方向，|a| 决定抛物线的开口程cxy2度大小，c 决定抛物 线的顶点位置，即抛物 线位置的高低。二次函数 的图

13、象与 yax 2的图象的关系：ba2的图象可以由 yax 2的图象平移得到，其步骤如下： cxy2将 配方成 的形式；（其中 h= ，k= ）；ba2 khxa)( ab2c42把抛物 线 向右（h0）或向左（h0 ）或向下（k0，则当 x 时， y 随 x 的增大a而增大。若 a 时，y 随 x 的增大b2ab2而减小。最值 ：若 a0，则当 x= 时， ；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；acb42=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；c2当 0 时，设抛物线 与 x 轴的两个交点为 A、B，则这两个点之间的距离：acb422121212

14、4)()(|1 xxAB化简后即为： - 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间0|4|2acb的距离公式。例 1（2011 天一实验学校 二模）如图，在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为 30o,在射线 OC上取一点 A，过点 A作 AHx 轴于点 H.在抛物线 y=x2 (x0)上取点 P，在 y 轴上取点Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三角形与 AOH全等，则符合条件的点 A的坐标是 _ .源答案：(3， ) ,( ， ) , (2 ，2) , ( ， )3133 13 3 233 23例 2 （2011 年浙江省杭州市模 2） 如图，在第一象限内作射线 OC，与 x 轴的夹角为 3

15、0，在射 线 OC 上取一点A，过点 A 作 AHx 轴于点 H在抛物线 y=x2（x0）上取点 P，在 y 轴上取点 Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三角形与AOH 全等，则符合条件的点 A 的坐标是 .答案：( 3，1)( 2， 3)(3， )(2 3，2)例 3（2011 年 浙 江 省 杭 州 市 中 考 数 学 模 拟 试 题）已知二次函数 yaxbc的图象 Q 与 x 轴有且只有一个交点 P，与 y 轴的交点为 B（0，4），且 acb， （1）求这个二次函数的解析式。（2）将一次函数 y3x 的图象作适当平移，使它 经过点 P，记所得的图象为 L，图象 L 与 Q 的另一个交点为

16、 C，请在 y 轴上找一点 D，使得CDP 的周长最短。答案：（1）由 B（0，4）得，c =4. Q与 x 轴的交点 P（ 2ba，0），由条件 ac，得 c，所以 = 2c，即 P（，0）所以 4,20.b解得 1,4.b所求二次函数的解析式为 2yx（2）设图象 L 的函数解析式为 y= 3x+b，因图象 L 过点 P（ ，0），所以 6b，即平移后所得一次函数的解析式为第 7 题OPBCxyPDy= 36x令 = 24x，解得 1， 5 将它们分别代入 y= 36，得 10y， 29 所以图象 L与 Q的另一个交点为 C（ 5，9）点 P（，0）关于 y 轴的对称点为点 P（2，0）则

17、直线 CP的解析式为 187x，且与 y 轴的交点为 18(0 ,)7D即 在 y 轴上使得 CCDF 最小的点是 (, )7三、圆的基本性质【本章知识框架】圆 基本元素：圆的定义，圆 心，半径，弧，弦，弦心距的 垂径定理认 对称性：旋转不变性，轴对 称，中心 对称（强）识 圆心角、弧、弦、弦心距的关系与圆有关的角：圆心角， 圆周角弧长，扇形的面 积，弓形的面 积，及组合的几何图形圆中的有关计算：圆锥的侧面积、全面 积一、圆的概念1、圆的定义：线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆点 O 叫做圆心，线段 OP 叫做半径。2、弧：圆上任意两点间部分叫

18、做 圆弧， 简称弧。优弧、劣弧以及表示方法。3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，【例 1】如图 23-1，已知一个圆， 请你用多种方法确定圆心分析：要确定一个圆的圆心，我 们可以从两个方面分析：(1) 圆心在弦的中垂线上；(2) 圆心是直径的交点。【例 2】下列命题正确的是( )A相等的圆周角对的弧相等 B等弧所 对的弦相等C三点确定一个圆 D平分弦的直径垂直于弦【例 3】填空： 一条弦把圆分成 两部分， 则劣弧所对的圆心角的度数是 ；3:1 等边ABC 内接于O，AOB= 度。4、判定一个点 P 是否在O 上设 O 的半径 为 R，OPd，则有：dr 点 P 在O 外；dr 点 P 在O 上；d

19、r 点 P 在O 内。【例 4】 O 的半径 为 4 cm，若 线段 OA 的长为 10 cm，则 OA 的中点 B 在O 的A BDCOFEOCBA_，若线段 OA 的长为 6 cm，则 OA 的中点 B 在O 的_。【例 5】一个点到圆的最大距离为 1l cm，最小距离 为 5 cm，则圆的半径为_。【例 6】P(x，y)是以坐标原点为圆心， 5 为半径的圆周上的点，若 x、y 都是整数，则这样的点共有 （ ） A 4 个 B 8 个 C 12 个 D 16 个5、三角形的外接圆，外心三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直

20、角三角形的外心是斜 边中点， 钝角三角形外心在三角形外部。三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。相关知识：三角形重心，是三角形三 边中线的交点，在三角形内部。【例 7】(2004.北京东城)如图，已知 ABC 内接于O ，A=45，BC=2，求 O 的面积。 答案：2。二、圆的性质1、旋转不变性：圆是旋转对称 图形， 绕圆心旋转任一角度都和原来 图形重合；2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心性质：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的 对称轴【例 8】（浙江）世界上

21、因为有了圆的图案，万物才 显得富有生机，以下来自生活中的图形中都有圆（如图 3 所示） 图中的（1）， （2），（3）三个图看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性 请问 （1），（2），（3）三个图形中是 轴对称图形的有 ，是中心 对称图形的有 ；（用（1）， （2），（3）这三个图形的代号填空） 请在图（4）， （5）的两个圆内，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图）， （用尺规画，或徒手画均可，但要尽可能准确些、美观些）要求图 4 是轴对称图形，但不是中心对称图形；图 5 既是轴对称图形，又是中心 对称图形。【例 9】如图，OE、OF 分别是O 的弦 AB、CD

22、的弦心距，如果 OEOF，那么 （只需写出一个正确的结论）BDCOA P【例 10】(2003北京市)如图 23-10，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，如果AB10 ，CD 8，那么 AE 的 长为( )A 2 B 3 C 4 D 5答案：A【例 11】(2002青海省)O 的半径为 10cm，弦 ABCD，AB12cm， CD16cm，则 AB和 CD 的距离为( )A2cm B14cmC2cm 或 14cm D10cm 或 20cm【例 12】(2001吉林省)如图 23-14，O 的直径为 10，弦 AB8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP 的长的取 值范围是_4

23、、与圆有关的角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆周角：顶点在圆上，两边 都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角【例 13】(2001青海省)如图 23-18，四 边形 ABCD 是O 的内接四边形，且 ADBC，对角线 AC、BD 交于点 E，那么圆中共有_对全等三角形，_对相似比不为 1的相似三角形【例 14】（江西）如图所示，在O 中，AB 是直径， CD 是弦，ABCD

24、。P 是圆上一动点（不与 C、D 重合），试说明CPD 与COB 与有什么数量关系，并加以说明答案：相等或互补。三、弧、扇形、圆锥侧面的计算 圆的面积: ，周长:2RSRC 圆心角为 n，半径为 R 的弧长 180nl 圆心角为 n，半径为 R，弧 长为 l 的扇形的面积 或 .3602RnSlS1知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。BAC 圆锥的侧面展开图为扇形。底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为 ，全面积为RlS，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 。2lS 22hl【例 15】扇形的半径为，圆心角为 ，用它做成一个圆锥的侧面， 则圆锥底面半径为

25、（ ） 【例 16】在 RtABC 中，已知 AB6，AC8， A90，如果把此直角三角形绕直线AC 旋转 一周得到一个圆锥，其表面 积为 S1；把此直角三角形 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为 S2，那么 S1S2等于 （ ）A 23 B 34 C 49 D512【例 17】如图，直角三角形 ABC 中， C90， AC2，AB4，分别以 AC、BC 为直径作半圆， 则图中阴影的面积为 。四、作图平分已知弧；作三角形的外接圆。五、辅助线圆中常见的辅助线1作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；3作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成

26、的直角三角形进行计算；4作弦构造同弧或等弧所对的 圆周角；5作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角；6遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各 顶点。四、相似三角形(一)比例线段1线段的比和比例线段(1)比例的基本性质： acdbb推论： 2abc(2)合比性质： cdd(3)等比性质： .acmbn.aabnb其中 。02平行线分线段成比例(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例A BCD(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例(3)逆定理：如果一条直

27、线截三角形的两边( 或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(二)相似三角形1概念：对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形2相似三角形的判定(1)定理 l：平行于三角形_边的直线和其他两边(或两边的延 长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似(2)定理 2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单说成：两角对应相等，两三角形相似(3)定理 3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条 边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简单说 成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(4)定理 4：如果一个三角形的三条

28、边与另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似简单说成：三边对应成比例，两三角形相似(5)定理 5：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似(6)定理 6：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（7）射影定理 2ACDB3相似三角形的性质(1)定理 l：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2)定理 2：相似三角形周长的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方18 (12上)(201上上)如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 过 点 A作 AE BC， 垂

29、足 为 E，连 结 DE， F为 线 段 DE上 一 点 ， 且 AFE . (1)求 证 ： AF DEC. (2)若 AB 4， D 3， AE 3， 求 AF的 长 13 (201上上)如 图 ， ABC中 ， 点 D在 边 AB上 ， 满 足 ACD ABC， 若 AC 2，AD ， 则 DB _. 【 解 析 】 ACD上 ABC上 BAC上 CAD上 ADC ACB上 ACB上ADC上 ABD上AC2上上AB上4上上上D上上D上3. (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， AB CD. ADF CED， B C 80. AFE AFD 180

30、， AFE B， AFD C， ADF DEC. (2)解 ： 四 边 形 BC是 平 行 四 边 形 ， AD BC， AB 4.又 E B， AE AD.在 Rt ADE中 ， DE AD2 AE2 32 32 6. ADF DEC， ADE FCD， 36 AF4， AF 23. 19 (12上)(201中 考 预 测 题 )一 块 直 角 三 角 形 形 状 的 铁 皮 材 料 ， 两 直 角 边 长 分 别 为 30 cm、40 cm， 现 要 把 它 加 工 成 一 个 面 积 最 大 的 正 方 形 ， 两 种 加 工 方 法 如 图 、 ， 请 你 用 学 过 的 知识 说 明 哪 种 加 工 方 法 符 合 要 求 ？