中山二中高一下学期平面向量综合复习】.doc

1、中山二中高一下学期平面向量综合复习结论 在 中 （加）或 （减）称 为向量三角ABCACBCAA形；推广可有 ，称 为封闭折线01321 n 121n如：在平行四边形 ABCD 中,已知 , , , ,试用aBbDOM3CN1表示 .ba,MN如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交ABC O直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，N， ABmCnAN则 的值为 mn2. 向量共线的条件：结论 2 （平行向量基本定理）向量 与 平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数a)0(b使 特别地，三点 共线 baCBA、A3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴 ，取单位向量 ，对于轴 上任意向量 总是

2、存在唯lela一实数 x 使得 ，我们称 x 为向量 在轴 上的坐标（或数量） 。e设 是轴 的一个基向量，向量 的坐标为 AB，则 ；lB若轴 为 x 轴，可设点 A、B 的坐标分别为 x1，x 2，则向量 的坐标 AB= 。21x4. 向量的分解：结论 3（平面向量基本定理） 设 是平面上两个不共线向量（称为一组基底） ，则对平b,a面上任一向量 ，存在唯一实数 使 c,c这里 称为向量 关于基底 的分解式。特别地若 ，则有 称为定比分点向量式，也称1 CBAtOtAtOC1为直线 AB 的向量参数方程式； 称为中点向量式（ 为 中点） B2上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：

3、证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成 的两条线段。21求证 三条高 相交于一点ABCCFBED、5.平面向量的坐标运算：对于结论 3，若 是一组单位正交基底，则称 是向量 在基底 下的坐标，,ab(,)c,ab记作 。(,)c（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设 ，则有：1212,(,)a； ； ；ababa；(0)A6.向量的数量积：结论 4 两个向量的数量积为 ，其中 为两个向量的夹角，其cos b,范围为 数量积有如下性质： ；是点到直线（甚至到平面）cosbaee 为 方 向 的 单 位 向 量距离公式推导的根据； 夹角公式 ；（坐标形式）csab 即 （用于求

4、模） ；22a ；（坐标形式）0bb （某些不等式放缩证明的根据）.数量积的运算律：（1）交换律： ；（2）数乘律： ；（3）分配律： 。 （请给出证明）注意：不满足消去律： 推不出结论 ，举例： 。acbab如：已知平面上直线 l 的方向向量 =(- )，点 O(0,0)和点 A(1, -2)在 l 上的射影分别为e53,4和 ，且 ，其中 =（ ）OAeA B- C 2 D-25151模公式 的应用举例：22aa（1）求证: ，其几何意义是 。)|(| 222 bb（2）若 ,则 3|a（3）已知 , , ,则 与 的夹角为 2|7|a（4）已知 中每两个向量夹角都为 且 , , ,求 值

5、.cb1204|6|b2|c|cba7. 直线 的方向向量 ，法向量 ，若再已知定:0lAxByCvu点 ，而且点 ， 是单位法向量，则点 P 到直线 的距离公式为： 0(,)P(,)Mxl0nl。 （向量形式）8. 结论： ，称为向量三角形不等式baba（三）三角形的“四心”与向量1. 关于重心 G，有重心公式： 1()3OABOC坐标 ，并有性质 ；),3( CBACBAyx 0G2. 关于垂心 H，有性质 ；HA3. 关于外心 O，有性质 ；|O结论：O、H、G 三点共线且 ；此线称为欧拉（ ）线。 （如何证明？G3Euler）4. 关于内心 I，经常涉及内角平分线的研究，如 。)|(A

6、CBAI如： 已知 O，N，P 在 所在平面内，且 ，ABC,0ON且 ，则点 O，N ，P 依次是 的PAB（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心在四边形 ABCD 中， = =（1，1） ， ，则四边形AC13BACBDABCD 的面积是 设斜 的外接圆圆心为 ，两条边上的高的交点为 ，B OH，则实数 = 。)(AmOHm O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， ，则 P 的轨迹一定通过 的（ ）CP0,ABCA、外心 B、内心 C、重心 D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，

7、有助于更好地运用向量：（1）A、B、C 三点共线等价于存在实数 ，使得 （ ） ；OCAB1（2） 的重心 G 的坐标公式为 13B（3）直线的方向向量是什么？ 给定两点： ，那么12,Pxy，这也就是方向向量，横坐标单位化，得： ，也就是说：直1212,Pxy tan线 的方向向量是 ，直线的法向量是 0ABC,BA,AB例如：已知 为坐标原点，点 的坐标分别为 ,点 运动时，满足OFE、 )01(,和 QP、，PPQEF/,0,2（1）求动点 的轨迹 的方程C（2）设 、 是轨迹 上的两点，若 ，求直线 的方程MN23OMNEMN一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量

8、和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是_ABa2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；AB|AB4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作：ab ，规定零向量和任何向量平行。ab提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平

9、行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，ab终点相同。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （ 4）若 是平行四边形，则DBABCD。 （5 ）若 ，则 。 （6）若 ，则 。其中正确的是_AB,c/,bc/二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文

10、字母来表示，如 ， ， 等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为xyij基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标，a,ij,xya 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点a,xy坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如（1）若 ，则 _(,1)b(,)(,)cc（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 120,e12,(5,7)eC. D. (35)(6)

11、13()4（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量,ADBEACB,ADaBEbC表示为_,ab（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 2 srC的值是_sr四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：aa当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时， 的方向与1,2a a的方向相反，当 0 时， ，注意： 0 。0五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，ab,OAaBbAO称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向，当 时， ， 反向，当0abab 时， ， 垂直。22平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，

12、它们的夹角为 ，我们把数量ab叫做 与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即 。规|cosabababcos定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC 中， ， ， ，则 _3| AB4| C5| BBCA（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_1(,)(,),2abcakbdcd4k（3）已知 ，则 等于_5（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_, 与ab3 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于 0。如ba|cosb已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_|5| 12a4 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的

13、投影的积。abab|ab5向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；0当 ， 同向时， ，特别地， ；当 与 反向222,aab时， ；当 为锐角时， 0，且 不同向， 是 为锐角的必要abab a、 0b非充分条件；当 为钝角时， 0，且 不反向， 是 为钝角的必要非充分条 、 件；非零向量 ， 夹角 的计算公式： ； 。如cosab|a（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是)2,(a)2,3(b_（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的取OFQS1 FQO23S FQO,值范围是_（3）已知 与 之间有关系式(cos,in)(cos,in)ax

14、byab，用 表示 ；求 的最小值，并求此时 与 的夹角0kabk、k ab的大小六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做,ABaCbAC与 的和，即 ；ababABC向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由,B那 么减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简： _； _；DD_()()ABCD（2）若正方形 的边长为 1， ，则 _AB,ABaCbc|abc（3）若 O 是 所在平面内一点，且满足 ，则2OBCOA的形状为_（4

15、）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足CP，设 ，则 的值为_0PAB|PD（5）若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为_O 0OABCABC2坐标运算：设 ，则：12(,)(,)axyb向量的加减法运算： ， 。如12(abx12)y（1）已知点 ， ，若 ，则当 _时，点(2,3)5,4AB7,0)C()APBCRP 在第一、三象限的角平分线上（2）已知 ， ，则 ,(sin,co)xy、 ,2xy（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力(1)12334(5)(1)FF的终点坐标是 123F实数与向量的积： 。11,axyy若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向12(,)(,

16、)AxyB21A量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 ，且 ， ，则 C、D 的坐标分别是_2,3,53CB3平面向量数量积： 。如12abxy已知向量 （sinx，cosx）, （sinx，sinx ）, （ 1，0） 。 （1）若 x ，求向量c3、 的夹角；（2）若 x ，函数 的最大值为 ，求 的值ac4,83baxf)(2向量的模： 。如222| |ayay已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 _,b60|3|两点间的距离：若 ，则 。如12,AxB2211|ABxy如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点 P 关于斜Oy坐标系的斜坐标是这样定义的：若 ，其中 分别为与 x

17、 轴、12Pey12,ey 轴同方向的单位向量，则 P 点斜坐标为 。 （1）若点 P 的斜坐标为(,)x（2，2） ，求 P 到 O 的距离 PO；（2）求以 O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 中的方程。xy1交换律： ， ， ；abaab2结合律： ， ；,cccabab3分配律： ， 。 c如下列命题中： ； ； cabca)( bac)(2()ab|； 若 ，则 或 ；若 则 ；22|ab00,c ； ； ； 。其中正确的是22()22()_提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向

18、量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？cba)()八向量平行(共线)的充要条件： 0。如/ab22()(|)ab12xy(1)若向量 ，当 _时 与 共线且方向相同,14,xx（2）已知 ， ， ，且 ，则 x _()2uv/uv（3）设 ，则 k _时，A,B,C 共线,2(,5(10,)PAkBPC九向量垂直的充要条件： .特别地|abab120y。如()()BC(1)已知 ，若 ，则 1,2(3,OABmOABm（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ，则点 B 的

19、坐标是90_ （3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_ (,)nabn（1）若 M（-3，-2） ，N（6，-1 ） ，且 ，则点 P 的坐标为_1MPN3（2）已知 ，直线 与线段 交于 ，且 ，则 等于(,0)3,2)AB2yaxABM2ABa_12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|abab ab、 0|ab；当 反向或有 ；当 不共| 、 0| 、线 (这些和实数比较类似).|（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。如123123,xyG若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_ 为 的重心，特别地 为()3PABPGAB0PABCP的重心；BC 为 的垂心；CC向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；()(0| 的内心；|ABPAPBA（4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 PABC、 、 ABC、 、 、且 .如1平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足O)13()BC O,其中 且 ,则点 的轨迹是_ O21R21,21