1、Just do it !Time waits for no one 1代数式-因式分解2013-08-23 中考复习一、基础知识1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2）因式分解的常用方法提公因式法：ab+ac=a(b+c) 运用公式法：平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2abb(ab) ；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a-ab+b)；立方差公式：a3-b3=(a-
2、b)(a+ab+b)；完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3分组分解法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)十字相乘法：a+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 拆项、补项法：这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)原式=bc(
3、c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)Just do it !Time waits for no one 2=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法：对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5)十字相乘法这种方法有两种情况：x
4、+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx+mx+n 型的式子的因式分解如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)图示如下：a b c d 例如：因为1 -3 7 2 且2-21=-19，所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3)应用因式定理：对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a【例】f(x)
5、=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2是 x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令 y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)求根法：令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x2，x3，xn，则该多项式可分
6、解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) Just do it !Time waits for no one 3【例】因式分解2x4+7x3-2x2-13x+6解析：令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0。则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 ,xn ，则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x-xn)3）多项式因式分解的一般
7、步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。 ”二、练习题及答案【例1】分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2【解析】原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2
8、)=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)【例2】求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5【解析】原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
9、=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当 y=0时，原式=x5不等于33；当 y 不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。Just do it !Time waits for no one 4【例3】ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。【解析】此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：-c2+a2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0(a-c)
10、(a+2b+c)=0a、b、c 是ABC的三条边，a2bc0ac0，即 ac，ABC 为等腰三角形。【例4】把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。【解析】-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)=-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1)【例5】利用因式分解求最大公约数：对于任意的正整数 n，所有形如 n3n2n 的数的最大公约数是什么？【解析】答案：n3n2nn(n1)(n2)。因为 n、n1、n2 是三个连续的正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数。所以 n3n2nn(n1)(n2)一定是6的倍数，因为 n
11、3n2n 的最小值是6，所以形如 n3n2n 的数的最大公约数是6.因式分解的方法（全）2013-08-23 中考复习因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法,剩余定理法等。Just do it !Time waits for no one 5一、提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应
12、取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。【例】-am+bm+cm=-m(a-b-c)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2abb(ab) ；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)
13、的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a-ab+b)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a+ab+b)；完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3【例】a+4ab+4b =(a+2b) 三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)四、拆项、补项法这种方法
14、指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-Just do it !Time waits for no one 6ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)五、配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方
15、法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5)六、十字相乘法这种方法有两种情况：x+(p+q)x+pq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx+mx+n 型的式子的因式分解如果如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx
16、+d)图示如下：a b c d例如：因为1 -3 7 2且2-21=-19，所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3)多项式因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解Just do it !Time waits for no one 7要合适。 ”【例题】1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式
17、=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5解：原式=(
18、x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当 y=0时，原式=x5不等于33；当 y 不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。解：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分
19、解。证明：-c2+a2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0(a-c)(a+2b+c)=0a、b、c 是ABC 的三条边，a2bc0ac0，即 ac，ABC 为等腰三角形。4把-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。解：-12x2nyn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)=-6xny(n-1)(2xny-3x2y2+1)七、应用因式定理Just do it !Time waits for no one 8对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a【例】f(x)=x2+5x+6，f(-2
20、)=0，则可确定 x+2是 x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)八、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令 y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)九、求根法令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为 f(x)=(x-
21、x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 【例】在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)十、图象法令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图像与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 ,xn ，则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)与方法九相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。【例】在分解 x3 +2x2 -5x-6时，可以令 y=x3 +
22、2x2 -5x-6.作出其图像，与 x 轴交点为-3，-1，2 ，则 x3 +2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)十一、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。十二、特殊值法将2或10代入 x，求出数 p，将数 p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成 x，即得因式分解式。【例】在分解 x3+9x2+23x+15时，令 x=2，则 x3 +9x2 +23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5
23、、7分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2时的值，则Just do it !Time waits for no one 9x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。十三、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。【例】在分解 x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd，由此可得 a+c=-1，ac+b
24、+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)十四、双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。【例】分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12解：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。x 2y 2x 3y 6原式=(x+2y+2)(x+3y+6)双十字相乘法其步骤为先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中 X2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；先依一个字母(如 y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；再按另一个字母（如 x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。
