1、三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法等比数列及其前 n 项和知识能否忆起1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零) ，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 q(nN *，q 为非零常数)an 1an(2)等比中项：如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G 2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：a na 1qn1 .(2)前 n 项和公式：S nError!3等比数列a
2、n的常用性质(1)在等比数列a n中，若 mnpq2r(m ，n，p，q， rN *)，则 amana paqa .2r特别地，a 1ana 2an1 a 3an2 .(2)在公比为 q 的等比数列a n中，数列 am，a mk ，a m2k ，a m3k ，仍是等比数列，公比为 qk；数列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，仍是等比数列( 此时 q1)；ana mqnm .小题能否全取1(教材习题改编)等比数列a n中，a 44，则 a2a6 等于 ( )A4 B8C16 D32解析：选 C a2a6a 16.242已知等比数列a n的前三项依次为 a1，a1，a4 ，则 an( )A
3、4 n B4 n(32) (23)三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法C4 n1 D4 n1(32) (23)解析：选 C (a1) 2(a1)(a4)a5，a14，q ，故 an4 n1 .32 (32)3已知等比数列a n满足 a1a 23，a 2a 36，则 a7 ( )A64 B81C128 D243解析：选 A q 2，a2 a3a1 a2故 a1a 1q3a 11，a 712 71 64.4(2011北京高考)在等比数列 an中，若 a1 ，a 44，则公比12q_；a 1a 2a n_.解析：a 4a 1q3，得 4 q3，解得 q2，a 1a 2a n 2 n1
4、 .12 121 2n1 2 12答案：2 2 n1 125(2012新课标全国卷)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S33S 20，则公比q_.解析：S 33S 20， a1a 2a 33(a 1a 2)0，a1(44qq 2)0.a1 0，q2.答案：21.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数(2)由 an1 qa n，q0 并不能立即断言 an为等比数列，还要验证 a10.2等比数列的前 n 项和 Sn(1)等比数列的前 n 项和 Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用(2)在运用等比数列的前 n 项和公
5、式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形导致解题失误三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法等比数列的判定与证明典题导入例 1 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 anS nn.(1)设 cna n1，求证：c n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式自主解答 (1)证明：a nS nn，an 1 Sn1 n1.得 an 1a na n1 1 ，2an1 an1， 2(an1 1) a n1， .an 1 1an 1 12首 项 c1a 11，又 a1a 1 1，a1 ，c1 .12 12又 cna n1，故 cn是以 为首项， 为公比的等
6、比数列12 12(2)由(1)可知 cn n1 n，( 12)(12) (12)an cn11 n.(12)在本例条件下，若数列b n满足 b1a 1，b na na n1 (n2)，证明b n是等比数列证明：由(2)知 an1 n，(12)当 n 2 时，b na na n11 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1a 1 也符合上式，b n n.12 (12) ，数列b n是等比数列bn 1bn 12三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若 q(q 为非零常数， nN *)或 q( q 为非零
7、常数且an 1an anan 1n2，nN *)，则a n是等比数列(2)等比中项法：若数列a n中，a n0 且 a a nan2 (nN *)，则数列a n是等比数2n 1列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancq n(c，q 均是不为 0 的常数，nN *)，则an是等比数列以题试法1 (2012沈阳模拟)已知函数 f(x)log ax，且所有项为正数的无穷数列a n满足logaan1 log aan2，则数列 an( )A一定是等比数列B一定是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列解析：选 A 由 logaan1 log aan2，得 loga 2lo
8、g aa2，故 a 2.又 a0an 1an an 1an且 a1，所以数列a n为等比数列等比数列的基本运算典题导入例 2 (2011全国高考)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a26,6a 1a 330，求an和 Sn.自主解答 设 an的公比为 q，由题设得Error!解得Error! 或Error!当 a13，q2 时，a n32 n1 ，Sn3(2 n1)；当 a12，q3 时，a n23 n1 ，Sn3 n1.由题悟法1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组 )可迎刃而解2在使用
9、等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，切不可忽视 q 的取值而盲目用求和公式以题试法三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法2(2012山西适应性训练)已知数列 an是公差不为零的等差数列，a 12，且a2，a 4，a 8 成等比数列(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列3a n的前 n 项和解：(1)设等差数列a n的公差为 d(d0)因为 a2，a4，a8 成等比数列，所以(23d) 2(2 d)(2 7d)，解得 d2.所以 an2n(nN *)(2)由(1)知 3an3 2n，设数列3a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn3 23 43 2n
10、 (9n1)91 9n1 9 98等比数列的性质典题导入例 3 (1)(2012 威海模拟) 在由正数组成的等比数列 an中，若 a3a4a53 ，则sin(log3a1log 3a2log 3a7)的值为( )A. B.12 32C1 D32(2)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S6S 312，则 S9S 3 等于( )A12 B23C34 D13自主解答 (1)因为 a3a4a53 a ，所以 a43 .343log3a1log 3a2log 3a7log 3(a1a2a7)log 3a747log 33 ，3 73故 sin(log3a1log 3a2log 3a7) .32
11、(2)由等比数列的性质：S 3，S6S 3，S9S 6 仍成等比数列，于是(S 6S 3)2S 3(S9S 6)，三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法将 S6 S3 代入得 .12 S9S3 34答案 (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差” ，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和” “倍数”可以与等比数列中的“积” “幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式 anf(n) 的下标 n 的大小关系，可简化题目的运算以题试法3(1)(20
12、12新课标全国卷)已知a n为等比数列，a 4a 72，a 5a68，则 a1a 10( )A7 B5C5 D7(2)(2012成都模拟)已知a n是等比数列，a 22，a 5 ，则 a1a2a 2a3a nan1 ( )14A16(14 n ) B16(12 n )C. (14 n ) D. (12 n )323 323解析：(1)选 D 法一：由题意得Error!解得Error! 或Error!故 a1a 10a 1(1q 9)7.法二：由Error!解得Error! 或Error!则Error! 或Error!故 a1a 10a 1(1q 9)7.(2)选 C a 2 2，a 5 ，a
13、14，q ，a nan1 2n5 .14 12 (12)故 a1a2a 2a3a nan1 (14 n )8(1 14n)1 14 3231设数列a n是等比数列，前 n 项和为 Sn，若 S33a 3，则公比 q 为( )三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法A B112C 或 1 D.12 14解析：选 C 当 q1 时，满足 S33a 13a 3.当 q1 时，S 3 a 1(1qq 2)3a 1q2，a11 q31 q解得 q ，综上 q 或 q1.12 122(2012东城模拟)设数列a n满足：2a na n1 (an0)(nN *)，且前 n 项和为 Sn，则的值为
14、( )S4a2A. B.152 154C4 D2解析：选 A 由题意知，数列a n是以 2 为公比的等比数列，故 .S4a2 a11 241 2a12 1523(2012安徽高考)公比为 2 的等比数列a n的各项都是正数，且 a3a1116，则log2a10( )A4 B5C6 D7解析：选 B a 3a1116， a 16.27又等比数列a n的各项都是正数，a 74.又a 10a 7q342 32 5，log 2a105.4已知数列a n，则“a n，a n1 ，a n2 (nN *)成等比数列 ”是“a a nan2 ”的( )2n 1A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既
15、不充分也不必要条件解析：选 A 显然，nN *， an，a n1 ，a n2 成等比数列，则 a a nan2 ，反之，则2n 1不一定成立，举反例，如数列为 1,0,0,0，5(2013太原模拟)各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若Sn2，S 3n14，则 S4n等于( )A80 B30C26 D16解析：选 B 设 S2na，S 4nb，由等比数列的性质知：三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法2(14a) (a2) 2，解得 a6 或 a4(舍去)，同理(62)(b 14)(146) 2，所以 bS 4n30.6已知方程(x 2mx 2)( x2 nx2)
16、 0 的四个根组成以 为首项的等比数列，则 ( )12 mnA. B. 或32 32 23C. D以上都不对23解析：选 B 设 a，b，c，d 是方程( x2mx2)(x 2nx2) 0 的四个根，不妨设a0)的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若S23a 22，S 43a 42，则 q_.解析：法一：S 4S 2a 3a 43a 22a 3a 43a 42，将 a3a 2q，a4a 2q2 代入得，3a22a 2qa 2q23a 2q22，化 简得 2q2q30，解得 q (q1 不合题意，舍去)32法二：设等比数列a n的首项为 a1，由 S23a 22，得a1(1q) 3a 1q2
17、.由 S43a 42，得 a1(1q)(1q 2)3a 1q32.由 得 a1q2(1q)3a 1q(q21)q0，q .32答案：323已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn4a n3(nN *)(1)证明：数列a n是等比数列；三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法(2)若数列b n满足 bn1 a nb n(nN *)，且 b12，求数列b n的通项公式解：(1)证明：依题意 Sn4a n3( nN *)，n1 时，a 14a 13，解得 a11.因为 Sn4a n3，则 Sn1 4a n1 3(n2)，所以当 n2 时，a nS nS n1 4a n4a n1 ，
18、整理得 an an1 .43又 a110，所以a n是首项为 1，公比为 的等比数列43(2)因为 an n1 ，(43)由 bn1 a nb n(nN*)，得 bn1 b n n1 .(43)可得 bnb 1(b 2b 1)( b3b 2)(b nb n1 )2 3 n1 1(n2) ，1 (43)n 11 43 (43)当 n1 时也满足，所以数列b n的通项公式为 bn3 n1 1.(43)1(2012大纲全国卷)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a 11，S n2a n1 ，则 Sn( )A2 n1 B. n1(32)C. n 1 D.(23) 12n 1解析：选 B S n2a
19、n1 ，当 n2 时，Sn1 2a n，a nS nS n1 2a n1 2a n，3a n2a n1 ， .an 1an 32又S 12a 2，a 2 ， ，12 a2a1 12a n从第二项起是以 为公比的等比数列，32三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法S na 1a 2a 3a n1 n1 .121 (32)n 11 32 (32)Error!也可以先求出 n2 时，a n ，再利用 Sn2a n1 ，求得 Sn n1 Error!3n 22n 1 (32)2等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S 3，S 2 成等差数列(1)求a n的公比 q；(2)若
20、a1a 33，求 Sn.解：(1)依题意有 a1(a 1a 1q)2(a 1a 1qa 1q2)由于 a10，故 2q2q0，又 q0，从而 q .12(2)由(1)可得 a1a 1 23.( 12)故 a14，从而 Sn .41 ( 12)n1 ( 12) 831 ( 12)n3已知等差数列a n的首项 a11，公差 d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1)求数列a n与b n的通项公式；(2)设数列c n对 nN *均有 a n1 成立，求 c1c 2c 3c 2 013.c1b1 c2b2 cnbn解：(1)a 21d，a 514d， a14113d，(1 4d)2(1 d)(113d)d0，故解得 d2.a n1(n1)22n1.又 b2a 23，b 3a 59，数列 bn的公比为 3，bn 33n2 3 n1 .(2)由 a n1 得c1b1 c2b2 cnbn当 n2 时， a n.c1b1 c2b2 cn 1bn 1两式相减得：n2 时， a n1 a bncn2b n23 n1 (n2)三维设计2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法又当 n1 时， a 2，c13.c1b1cnError!c1c 2c 3c 2 0133 3( 33 2 013)3 2 013.6 232 0131 3
