1、0(1,2)ian2.1 合情推理与演绎推理问题一：归纳推理一、创设情境1哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 1000=29+971，, 猜测：任一不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。2. 费马猜想：法国业余数学家之王费马（1601-1665）在 1640 年通过对0213F，125F，217F，32157F，4216537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：任何形如 （ ）的数都是素数. 后来瑞nN士数学家欧拉，发现 不是素
2、数，从而推翻费524960马猜想.3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明。二、合作探究：1、归纳推理的概念：讨论： (i) 归纳推理有何作用？(ii)归纳推理的结果是否正确？2. 练习：(1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？（2）已知 ，考察下列式子：1()i；1212()(
3、)4ia；23123)()9i. 可以归纳出，对 ,na 也成立的类似不等式为 .(3). 观察等式：2 24,53,1579164，能得出怎样的结论？三、例题讲解例 1.已知数列 的第 1 项 a1=1，且 ，试归纳出这个数列n ),3(1nan的通项公式。例 2:汉诺塔问题有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上。1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针,最少需要移动多少次?12 3巩固练习：（1） 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1) 2的大小关系？（2）
4、已知数列 满足 ， ， （ 求 的通项公式。a1)12nnaa（ )na问题二：类比推理一、 创设情境（1）鲁班由带齿的草叶和蝗虫的齿牙发明锯；（2）人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；（3）地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.二、合作探究：1、类比概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.练习：（1）圆与球的特征的类比（课本P73）（2）在平面内，若 ,acb，则 /ab. 类比到空间
5、，你会得到什么结论？三、例题讲解例1、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.问题三：演绎推理一、 创设情境（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀 ；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道饶太阳运行。冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星是 。（3）三角函数都是周期函数， 是三角函数。因此 是 。tantan问：上述推理有什么共同特征？二、合作探究1、演绎推理：2、三段论法：（1）三段论式推理是演绎推理的一般模式，它包括：大前提（M 是 P） ；小前提（S 是 M） ；结 论（S 是 P） 。（2）集合观点：若集合 中的每一
6、个元素都具有属性 且 是 的子集,那么集合 中的每一个元素都具SS有属性 。P讨论：（1）因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则结论是什么？xayxy)(21（结论是否正确，为什么？）（2）演绎推理怎样才结论正确？3、合情推理与演绎推理的区别：（1）合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用；合情推理的结论 正确，有待于进一步的证明；演绎推理是按照严格的逻辑法则，得到新结论的推理过程。演绎推理在 都正确的前提下，得到的结论一定 。（2）归纳推理：由 到，由 到；类比推理：由 到 ； 演绎推理：由 到 。（3）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程；合情推理可发现新的数学结论
7、、证明思路等。三、例题讲解例 1：如图所示，在锐角三角形 ABC 中，AD BC,BE AC,D、E 是垂足。求证：AB 的中点 M 到点 D、E 的距离相等。分析：证明过程 指出：大前题、小前题、结论.例 2：证明函数 在（- ，1）内是增函数。xxf2)(巩固提高1观察下列等式，猜想出一般的结论，并证明 2223sin30i9sin150，223sin60i1sin802， 456，25752、证明：通项公式为 的数列 为等比数列。并分析证明过程中的三)0(cqanna段论。3、类比三角形中的余弦定理，在四面体中有怎样的结论？能否证明？4、平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无
8、公共点，它们将平面分成块区域，有 ，则 的表达式为 )(f 8)3(,4)2(,)1(fff )(nf（ ）A、 B、 C、 D、n22n321n 410523n5、在圆内画 1 条线段,将圆分成两部分;画 2 条线段,彼此最多分割成 4 条线段,同时将圆分割成 4 部分;画 3 条线段,彼此最多分割成 9 条线段,同时将圆分割成 7 部分.那么(1)在圆内画 4 条线段,彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分?(2)在圆内画 5 条线段,彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分?(3)在圆内画 n 条线段,彼此最多分割成 条线段？同时将圆分割成 部分?6、在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的 ”。31拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径 。7、在圆 中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有 =-1。你能22ryx BCAKk用类比的方法得出椭圆 =1(ab0)中有什么样的结论？2byax8、在等差数列 中，若 ，则有na01（n19, 且 nnnaa192121 )N成立。类比上述性质，在等比数列 中，若 ，则存在怎样的等式？b
