1、1第 11 章 角平分线的性质教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质 1（二）能力训练要求1掌握角平分线的性质 1 2会用尺规作一个已知角的平分线教学重点利用尺规作已知角的平分线角平分线的性质 1教学难点角的平分线的性质 1教学过程一提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点 P 到直线 l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二合作交流 探究新知 探究 1 想一想：下图是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，A
2、E 就是角平分线你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线 AC 的方法学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理生 1要说明 AC 是DAC 的平分线，其实就是证明CAD=CAB生 2CAD 和CAB 分别在CAD 和CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了生 3我们看看条件够不够ABDC所以ABCADC（SSS） 所以CAD=CAB即射线 AC 就是DAB 的平分线（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：2已知：AOB求作：AOB 的平分线作法：
3、（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N（2）分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧两弧在AOB 内部交于点 C12（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣） 点拨：1在上面作法的第二步中，去掉“大于 MN 的长”这个条件行吗？122第二步中所作的两弧交点一定在AOB 的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1去掉“大于 MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线122若
4、分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB的内部，也可能12在AOB 的外部，而我们要找的是AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB的平分线了3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明探究 2：做一做 1 师请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？生我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折
5、痕是等长的这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对师你的叙述太精彩了这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题做一做 2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论3操作：1折出如图所示的折痕 PD、PE2你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画 PD、PE 是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的生同学乙的画法是正确的同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求生甲噢，对，我知道了师同学甲，
6、你再做一遍加深一下印象教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？ 证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题 1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？生角平分线上的点到角的两边的距离相等问题 2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话学生通过讨论作出下列概括： OC 平分AOB，PDOA，PEOB， PD=PE于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的
7、距离相等三、用一用:1、 如图，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P 4求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等师生共析点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF而 BM、CN 分别是B、C 的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题证明：过点 P 作 PDAB，PEBC，PFAC，垂足为 D、E、F因为 BM 是ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上所以 PD=PE同理 PE=PF所以 PD=PE=PF即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等1.知识梳理1） 角平分线的定义2）
8、角平分线的尺规作法3） 角平分线的性质4）角平分线的判定2.新授知识点一 作角平分线例 1：如图，已知点 为直线 上一点，过 作直线 ，使 于 。CABCMCAB思路分析：由于 AB 是直线，要求作 ，实际上就是要作平角 的平分线。根据角平分线的尺规作M图法就可以作出直线 CM。解答过程：作法：1、以 C 为圆心，适当的长为半径画弧，与 CA、CB 分别交于点 D、E；2、分别以 D、E 为圆心，大于 的长为半径画弧，使两弧交于点 M；12DE3、作直线 CM。5所以，直线 CM 即为所求。解题后的思考：此题要求“大于 的长为半径”的理由是：半径如果小于 ，则两弧无法相交；而半径如果12DE1
9、2DE等于 ，则两弧交点位于 C 点处，无法作出直线 CM。12E在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。小结：本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。知识点二 角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：在 的平分线上PAOB于 ， 于DE例 2：如图， 是 的角平分线， ， ，垂足分别是 。连接 ，交 于ADBCDEABFC,EFAD点 。说出 与 之间有什么关系？证明你的结论。GEF思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方
10、面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。解答过程：6，且EFADGF证明： 平分BAC， ，垂足分别是 ,EF在 和 中RtEtFDA（HL ）ttAADEF在DGE 和DGF 中G（SAS）DEF，90DG，且 。A解题后的思考：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时， “角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例 3：如图， 是 的外角 的平分线上一点， 于 ， 于 ，且交 的DABCEDFACEBCB延长线于 。E求证： 。F思路分析：
11、由已知条件，可以利用角平分线的性质得到 DEDF 。而要证明 CECF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。解答过程：7CD 是 的平分线， 于 ， 于ACEDFACEBC，90D在 和 中RttF（HL）tECt解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。知识点三 角平分线的判定到角
12、的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：于 ， 于PDOAPEB且 在 的平分线上（或写成 是 的平分线）例 4：如图， ， 于 ， 于 ， 和 交于点 。BECFDAFEABFCED求证： 平分 。A思路分析：要证 平分 ，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两ADBC个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。解答过程：8于 ， 于DFACEAB90EB在 和 中FC（AAS）BDE又 于 ， 于AEAB平分 。解题后的思考：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件 或 ， ，那么DEFACDEB得出 平分 这一结论是错
13、误的。DBC例 5：如图， 是 上两点， 是 上两点，且 ， ，试问点 是否在,FGOA,MNOBGMNPGMNSP的平分线上？AO思路分析：一方面，要判断点 是否在 的平分线上，只要判断点 P 到角的两边距离是否相等即可；另一PAOB方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。解答过程：证明：过点 P 作 于 D， 于 E， ，12FGS12PMNS而 PMNDE又 FGMNPDE又 于 D， 于 EOAPB在 的平分线上。B解题后的思考：9利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平
14、分线的判定与角平分线的性质是互逆的。判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等” 。若已知“垂直”则设法证明“相等” ，若已知“相等”则设法证明“垂直” 。知识点四 角平分线的综合应用例 6：如图，在 中， ， 平分 ， 于 ， 在 上， 。求ABC90ADBCEABFACBDF证： 。CFE思路分析：由已知条件很容易得到 DCDE；要证明 CFEB ，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。解答过程：平分 ， ，ADBC90DEABE在 与 中RtFt（HL）tCDtBE。F解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例 7：如图，
15、已知在 中， ， 。ADC12求证： 平分 。DB思路分析：有两种方法证明 平分 ：一是直接利用定义证明 ；二是利用角平分线的判定，ADBCBADC10证明点 D 到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角” ，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。解答过程：过点 D 作 于 E， 于 FABDAC故， 90CF在 与 中E（AAS）12BDBEFDEF又 于 E， 于 FDABAC平分 。（答题时间：45 分钟）一、选择题：1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点 B.
16、三条边的垂直平分线的交点C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点2. 在 中， ， 平分 ，交 于点 ，若 ，且 ，则点RtABC90ADBCD32BC:9:7D到 的距离为（ ）DA. 18 B. 16 C. 14 D. 123. 如图，直线 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离123,l都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处4. 如图，在 中， ， 是 的平分线，交 于 ，若 ， ，则RtABC90BDACACDnABm的面积是（ ）ABD11A. n B. C. D. 13m12mnn2mn5. 如图， 中，
17、，点 为 的三条角平分线的交点， ， ，ABC90OABCODBCEA，点 分别是垂足，且 ， ， ，则点 到三边 的OF,DEF1c8c6c,距离分别等于（ ） cA. 2、2、2 B. 3、3、3 C. 4、4、4 D. 2、3、5二、填空题：6. 如图，已知 分别是 ， 的平分线， ， ，垂足分别为 ，则,BACDBECBDEC,DE与 有怎样的数量关系_。DAE7. 已知 中， ， 平分 ， ，点 到 的距离等于 5.6 ，则ABC90AD2ABDCABcm的长为 _ 。BCcm8. 如图，BD 是 的平分线， 于 E， 于 F， ， ，236CSc18，则 DE 的长是_ 。12c三
18、、解答题：9. 如图， / ， ， 是 的中点， 平分 。求证： 平分 。ABCD90EBCDEACEDAB1210. 如图，已知在四边形 中， ， 平分 ， ， 为垂足。求证：ABCD180ACBDCEA。2ABDE角平分线（1）课前预习1 已知：ABC 中， B=90， A、C 的平分线交于点 O，则AOC 的度数为 .2角平分线上的点到_距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_3AOB 的平分线上一点 M ，M 到 OA 的距离为 1.5 cm，则 M 到 OB 的距离为_.4如图，AOB=60，CDOA 于 D，CEOB 于 E，且 CD=CE，则DOC =_.课堂练习5如图，在AB
19、C 中， C=90，AD 是角平分线，DEAB 于 E，且 DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_cm.6如图，CD 为 RtABC 斜边上的高， BAC 的平分线分别交 CD、CB 于点 E、F，FG AB，垂足为 G，则 CF_FG，CE_CF .7如图，ABC 中， C90，AC BC，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB 于 E，且 AB6，则DEB 的周长为（ ）A、4 B、6 C 、10 D、不能确定第 4 题 第 5 题 第 6 题13课后作业8如 图 ， 已 知 OE、 OD 分 别 平 分 AOB 和 BOC， 若 AOB=90， EOD=70， 求 BOC 的
20、度 数 .9 如图，已知ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点，求证：D 到 AB、AC 的距离相等.D CBA角平分线（2）课前预习8三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_相等9点 O 是ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，A=60 ，则BOC 的度数为_12如图，1 2，PDOA，PE OB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ）A、PDPE B、ODOE C、DPO EPO D、PD OD课堂练习13如图，直线 l1，l 2，l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一 个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A、1 处 B、2 处 C、
21、3 处 D、4 处21DAPOEl2l1l3第 12 题 第 13 题 15如图，MPNP，MQ 为MNP 的角平分线，MTMP，连接 TQ，则下列结论中不正确的是（ ）A、TQ PQ B、 MQT MQP C 、 QTN90 D、NQTMQT14NTQPMEDCBAEDCBAF第 15 题 第 16 题 第 17 题16如图在ABC 中， ACB=90，BE 平分 ABC，DE AB 于 D，如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 17如图，已知 AB=AC，AE= AF，BE 与 CF 交于点 D，则对于下列结论： ABEACF；
22、BDFCDE； D 在BAC 的平分线上其中正确的是（ ）A B C和 D22 如图，已知 BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若 BD=CD求证：AD 平分BAC.26如图，B= C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分 ADC，求证：AM 平分 DAB.15一、选择题：1. D 2. C 3. D 4. B 5. A二、填空题：6. 7. AE16.88. 125cm解析： ， ，BDCEABDFCFAASS1182362E， 。(96)3D5三、解答题：9. 证明：过点 E 作 于 FA平分 ， ，CDEF又 B又 ，EA平分 。D10. 证明：延长 AB，过 C 作 ，H 为垂足AB平分 ，且 ，CBEH又 ， ，190A29012在 与 中，90CEHA（AAS）E16DCAEB又 ，180ABCH180ABCDD在 与 中，RttE90BHC（AAS）RttDEAABH2E
