1、莆 田 二 中1中考数学二次函数知识点1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y y（2）函数 的图像与 的符号关系.2x当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中khxay2.ackh422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ；
2、； ；2axykxy22hxay； .khxay2 cbxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开a口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点abcxcbxy4222 是 ，对称轴是直线 .），（ abc422ax（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得
3、到顶点为( , )，khxay2 hk对称轴是直线 .hx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.莆 田 二 中2用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；abx00y （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.0y（3） 的大小决定抛
4、物线 与 轴交点的位置.ccbxay2当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：xc2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.0c0ccy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyh( ,0)hkax( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 ab2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般
5、式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hxbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点莆 田 二 中3二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbxay2x1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别02cx式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在
6、轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方nxyl 02acbxyG程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; cbak2 l方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，x cbxay2 021， xBA由于 、 是方程 的
7、两个根，故1202cbxax21, acbacbxxxAB 442221212121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3 分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的
8、概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3 分）1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限 0,yx莆 田 二 中4点 P(x,y)在第二象限 0,yx点 P(x,y)在第三象限点 P(x,y)在第四象限 ,yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上 ， x 为任意实数0点 P(x,y)在 y 轴上 ，y 为任意实数点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P
9、坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离
10、：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于 2y考点三、函数及其相关概念 （38 分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有
11、时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤莆 田 二 中5（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数 （310 分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 （k，b 是常数，k 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。
12、xy特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， （k 为常数，k 0） 。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；kxy正比例函数 的图像是经过原点（0，0）的直线。kxyk 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征b0y0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小莆 田 二 中6b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0
13、 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x 0，y 的取值范围是 y 0；当 k0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最ab2小值， cy4最 小 值 （ ， ） ；ab2c42（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义： 表示开口方向：)0,(2 abax是 常 数 ， b、 a0 时，抛物线开口向上， ， ， 0 时，图像与 x 轴有
14、两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“同左上加，异右下减” 三、二次函数 与 的比较2yaxhk2yaxbc请将 利用配方的形式配成顶点式。请将 配成 。245 2yaxbc2yaxhk总结：从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2yaxhk2yaxbc前者，即 ，其中 224bcyx 24ak，四、二次函数 图象的画法2yax
15、bc五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、2yaxbc2()yaxhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若y0c，0c， h， 102x与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ka向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 莆 田 二 中19画草图时应抓住以下几点：开口
16、方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy五、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最2bxayxyx2bxay小值 4c2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当 时，0a 2bxa24bac，2bxa随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 yx2bxay2xy4c六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcbc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hka
17、hk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解4bc析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向
18、， 的大小决定开口的大aa小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab莆 田 二 中20 在 的前提下，0a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；ab 同号同左上加b2y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧a,b 异号异右下减0b2y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；a,b 异号异右下减0ba当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；02y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧ab 同号同左上加b0a总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b总结： 同左上加
19、异右下减 3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴
20、或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk3. 关于原点对称莆 田 二 中21关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式
21、是 ；hk hk4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 hk hk5. 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不a变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
22、 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次24x120AxB， ， ， 12()x12x，方程 的两根这两点间的距离 . 20axbca214bac 当 时，图象与 轴只有一个交点； x 当 时，图象与 轴没有交点.当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；10ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 2 x 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴
23、的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符2yaxbcabcabc号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的x一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.莆 田 二 中22 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；2(0)axbcx下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：0a y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x20抛物线与 轴x有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与 轴x无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.莆 田 二 中23
