1、第五章 曲线运动高一物理讲义：赵春光 20第六节 匀速圆周运动的实例分析第七节 离心现象及其应用知识要点：一、求解圆周运动问题的方法与步骤1、 审题，确定研究对象；2、 分析物体的运动情况，找出运动的轨道平面以及圆心的位置；3、 分析物体的受力情况，明确所需向心力的大小以及向心力的来源，对匀速圆周运动而言，它所需的向心力等于它受到的合外力，对非匀速圆周运动而言，它所需的向心力等于它的合外力沿着指圆心方向的分力。4、 根据条件，利用公式 Fmv 2/rm 2rmvm4 2r/T2m 4 2fr 等列方程。5、 解方程并讨论结果。二、物体做圆周运动的条件如图所示，是研究物体做圆周运动条件的示意图。
2、1、 若物体所受合外力 Fmv 2/rF 向 ，则物体在半径为 r 的轨道上以 F0速率 v 恰好做匀速圆周运动。 Fmv 2/r Fmv 2/r2、 若物体所受合外力 Fmv 2/rF 向 ，即合外力小于物体所需的向心力， Fmv 2/r则物体将偏离半径为 r 的圆轨道向着靠近圆心方向做 “向心运动” 。3、 若物体所受合外力 Fmv 2/rF 向 ，即合外力大于物体所需的向心力，则物体将偏离半径为 r 的圆轨道向着远离圆心方向做 “离心运动” 。三、实例分析1、 火车转弯1） 水平路面转弯如右图甲、乙所示，火车在水平路面转弯时，向心力由外轨对外轮的挤压产生的弹力提供。火车的质量很大，靠这种
3、办法得到向心力时，轮缘与外轨间的相互作用力很大，铁轨很容易受到破坏。因此在实际筑路中常把轨面垫成与水平成一定角度，以避免转弯 甲时对铁造成的损害。2） 倾斜路面转弯 F 向让外轨略高于内轨，用重力和支持力的合力提供向心力，如图丙所示，当火车转弯所需的向心力恰好等于这个合力时，则既不挤压外 乙 轨，也不挤压内轨，此时火车做匀速圆周运动的速度即为实际中的“规 N定转弯速度” ，由 F 合 mgtan F 向 mv 2/R 得：v 规定 gR tan。 mg F 合 讨论： 当火车行驶速率 v 等于 v 规定 时，即 vgR tan 时，支持力和重力 的合力恰好充当所需的向心力，则内、外轨都不受挤压
4、（此时为临 丙界条件） 。当火车行驶速率 v 大于 v 规定 时，即 vgR tan 时，支持力和重力的合力不足以提供所需向心力，则此时需要外轨提供一部分向心力，即此时外轨受挤压。当火车行驶速率 v 小于 v 规定 时，即 vgR tan 时，支持力和重力的合力大于所需的向心力，则此时需要内轨提供一个支持力，即此时内轨受挤压。同理，由此讨论可知为什么高速公路转弯处路面外侧稍高。2、 为什么修拱桥而不修凹桥第五章 曲线运动高一物理讲义：赵春光 21质量为 800kg 的小汽车驶过一个半径为 50m 的圆形拱桥，当它到达桥顶时速度为 5m/s，求此时小汽车对桥的压力，并比较以同样的速度在水平路面，
5、下凹桥面行驶时，看看在什么样的路面上行驶，小汽车对路面的压力大。受力分析如图所示，小汽车做圆周运动所需向心力；F 向 mv 2/R8005 2/50400N 。 N1 N2 N3 在拱桥上：由受力分析得 mgN 1mv 2/R。N 1mgmv 2/R80004007600N 。 mg mg mg在水平路面上：N 2mg8000N 。 甲 乙 丙在凹桥上：N 3mgmv 2/RN 3mgmv 2/R80004008400N 。可见，在拱桥上时，小汽车对桥压力最小；在凹桥上，小汽车对桥压力最大，所以桥要修成拱桥，而不修成凹桥。3、 竖直面内的圆周运动物体在竖直面内的圆周运动是非匀速圆周运动，情况较
6、复杂，我们一般只研究在最高点的最底点的情况。没有支承物的物体在竖直面内做圆周运动时通过最高点的情况。 v m以绳拴小球在竖直面内做圆周运动为例（如图所示） r当 mgmv 2/r，即 vgr 时，小球恰能通过最高点继续沿圆周 o运动（临界条件 vgr） 。当 mgmv 2/r，即 vgr 时，小球不能通过最高点而做向心运动。当 mgmv 2/r，即 vgr 时，小球能通过最高点，mg 和绳对小球的合力充当了向心力。杂技节目“水流星” ，圆轨道内物体的圆周运动（如过山车）等与此同理。有支承物的物体在竖直面内做圆周运动通过最高点的情况。 v m以轻杆一端固定的小球在竖直面内做圆周运动为例（如图右所
7、示） r当 mgmv 2/r，即 vgr 时，轻杆对小球既没有拉力也没有支持力。 o当 mgmv 2/r，即 vgr 时，轻杆对小球有拉力。当 mgmv 2/r，即 vgr 时，轻杆对小球有支持力。当 v0 时，轻杆对小球的支持力等于小球的重力，这时小球恰好刚能通过最高点。典型例题例 1、一段铁道弯轨，内、外轨道高度差为 h10cm，弯道半径为 900m，轨道平面宽L144cm，求这段弯道的设计速度，试讨论当火车速度大于或小于这一速度时会发行什么现象。解：当火车以设计速度运行时，火车受重力与轨道支持力作用，受力示意图 y如图所示，选 x 方向为半径方向，y 方向为竖直方向，将支持力进行正交分解
8、，列方程 Ncos mg xNsinmv 2/r vgrtg，当 很小时，tgsinh/L， 例 1 题vgrh/L25m/s90km/h当行驶速度 v v 时，所需向心力增大，重力恒定，则轨道作用力增大，但又要保持竖直方向的平衡，则轨道的作用力不再与轨道平面垂直。根据牛顿第三定律，火车对轨道作用力 F也不垂直于轨道平面，根据力的合成与分解，将 F 可分为垂直于轨道的力 F1 和平行于轨道第五章 曲线运动高一物理讲义：赵春光 22的力 F2，F 1 作用于路基，侧向力 F2 会使轨道有侧向移动的趋势，若 F2 太大，轨道侧向移动会造成铁轨损坏，火车出轨事故，反之也是如此。所以弯道处有限速标志，
9、这必须遵守。例 2、用细绳拴着质量为 m 的小球，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，则下列说法中正确的是（ ） v mA小球过最高点时，绳子张力可以为 0； mg rB小球过最高点时的最小速度是 0； T oC小球刚好过最高点时的速度是gr；D小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反。解：小球在最高点时，受重力、绳子拉力（竖直向下） ，所以： 例 2 图F 向 mgT mv2/r，可见，v 越大时，T 越大；v 越小， T 越小。当 T0 时，F 向 mgmv 2/r，得 v 最小 gr，故 AC 正确。思考：本题若把绳子换成细杆时，又是哪个答案正确？（答案为 ABD）例 3
10、、长为 L 的细杆，一端连接在光滑的水平轴上，另一端固定一个质量为 m 的小球，小球可在竖直面内做圆周运动，设小球经过最低点和最高点时速率分别为 v1 和 v2，求小球经过最高点和最低点时，杆对球的作用力。解：小球在最低点时，小球受重力 mg 和杆的拉力 F1，则有 F1mg mv 12/L，F 1mgmv 12/L；小球在最高点时，假设杆对球的作用力 F2，方向向上，则有 mgF 2mv 22/L，F 2mgmv 22/L；讨论：若 0v 2gL，则 mgF 20。这表明杆对小球有支持力，方向向上。若 v2gL，则 F20。这表明杆对小球有拉力，方向向下。若 v2gL，则 F20。这表明杆对
11、小球有拉力，此时小球所需的向心力恰好等于其自身的重力。例 4、三个摆长分别为 L1，L 2，L 3 的圆锥摆，摆球质量均为 m，将它们悬于同一点。当它们都在同一水平面内绕同一点做匀速运动时，求它们的周期比。解：当它们位于同一水平面内运动时，其情况如右图所示，y 方向平衡有Tcosmg，x 方向有 Tsinmr 2mhtan 2，所以 g/h。由于悬于同一点，又在同一水平面内运动，各摆 h，g 相同， 例 4 图所以有 1 2 3，即：T 1T 2T 3，所以，T 1T 2T 3111。例 5、如图所示，一根劲度系数 k10 3N/m 的轻弹簧，长 L0.2m，一端固定在 光滑水平转台的转动轴上
12、，另一端系一个质量 m2kg 的物体，当转台匀速转动时，物体也随转台一起转动。当转速以 180r/min 转动时，弹簧伸长了多少米？解：设弹簧的伸长量为 xm，则物体做匀速圆周运动的半径为(Lx)m，根据牛顿第二定律可得：F 向 m 2rkxm4 2n2(Lx) ，x4 2n2mL/(k4 2n2m) 例 5 图将 n3r/s，L0.2m，m2kg，k10 3N/m 代入可得：x 0.49(m)例 6、用同样材料做成的 A、 B、C 三个物体，放在水平转盘上都随盘一起无滑动地匀速转动，如图所示，已知 mA2m B2m C，r C2r A2r B，则下列叙述中正确的是（ ） A各物体都受三个力的
13、作用，且其相对转盘的运动趋势方向为垂直各自的半径与线速度方向相反； A B CB物体 A 的摩擦力最大；C物体 C 的向心加速度最大；第五章 曲线运动高一物理讲义：赵春光 23D盘的转速增大时，C 比 B 先滑动。 例 6 图同步训练 知识掌握1、以下说法中正确的是（ ）A在绝对光滑的水平冰面上，汽车可以转弯；B火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受的压力会增大；C飞机在空中沿半径为 R 的水平圆周盘旋时，飞机的翅膀一定处于倾斜状态；D汽车转弯时需要的向心力是司机转动方向盘所提供的力。2、在光滑杆上穿着两个小球 m1、m 2，且 m12m 2，用细线把两球连接起 m1 m2 来，当盘架匀速转动时
14、，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所 r1 r2 示，此时两小球到转轴的距离 r1 与 r2 之为（ ） A11； B12； C21； D12。 2 题图3、用长为 L 的细绳拴着质量为 m 的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）A小球在最高点时所受向心力一定是重力；B小球在最高点时细绳的拉力不可能为零；C若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时的速度大小为gL；D小球在圆周最低点时细绳的拉力一定大于小球的重力。4、汽车在半径为 r 的水平弯道的转弯，如果汽车与地面的动摩擦因数为 ，那么使汽车发生侧滑的最小速率是（ ）Arg； Brg； Cg； D mg 。5
15、、汽车在倾斜的弯道上拐弯，弯道的倾角为 ，半径为 r，则汽车完全不靠摩擦力转弯速度是（ ）Argsin； Brgcos； Crgtan； Drgcot 。6、如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为 10m/s 时，车对桥顶的压力为车重的 3/4，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（ ）A15m/s ； B20m/s ； C25m/s； D30m/s。 6 题图7、一木块放于水平转盘上，与转轴的距离为 r，若木块与盘面间的最大静摩擦力是木块重力的 倍，为保证木块能随转盘一起做匀速圆周运动，则转盘转动的角速度最大是_。 能力提高8、汽车在水平面上沿半径为
16、r 的圆跑道行驶，路面作用于汽车的最大静摩擦力是车重的 1/10，要使用权汽车不致冲出圆跑道，车速最大不能超过_。9、如图所示，一细绳长 L1m，上端系在滑轮的轴上，下端拴一质量为m1kg 的物体，滑轮与物体一起以 2m/s 的速度匀速向右运动，当滑 L轮碰上固定障碍物 B 突然停止的瞬间，细绳受到的拉力为_N m（g10m/s 2） 。 9 题图10、如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度 匀速转动，转台上有一质量为 m 的物块恰能随转台一起转动而做匀速圆周运动，则下列叙述中正确的是（ ）A若增大角速度 ，物块将沿切线方向飞出； mB若增大角速度 ，物块将沿曲线逐渐远离圆心；C若减小角速度 ，
17、物块将沿曲线逐渐靠近圆心；D若减小角速度 ，物块仍做匀速圆周运动。 10 题图第五章 曲线运动高一物理讲义：赵春光 2411、有一水平转台，在离转轴 20cm 处放一物体，当转速超过 300r/min 时，物体就不能和转台保持相对静止。要使转速达到 500r/min 时物体仍能和转台保持相对静止而不滑动，物体必须放在离轴距离为多大的范围之内？12、如图所示，小物块位于半径为 R 的半球顶端，若给小物块以水平初速度 v0 时，物块对球顶愉无压力，则（ ）A物块立即离开球面做平抛运动； v0 B物块落地时水平位移为 2R；C初速度 v0Rg；D物块落地速度方向与地面成 45角。 12 题图13、如
18、图所示，A 球原来能在光滑的水平面上做匀速圆周运动，若剪断B、C 之间的细绳，当 A 球重新达到稳定状态后，则 A 球的（ ） A A运动半径变大； B速率变大； BC角速度变大； D周期变大。 13 题图 C14、质量为 m 的小滑块从半径为 R 的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点的速度为 v，若滑块与碗的动摩擦因数为 ，则小滑块滑到最低点时所受摩擦力 f_。 拔高挑战15、雨伞边缘半径为 r，且高出地面 h，雨伞以角速度 旋转，雨滴自边缘飞出后在地面形成一个大圆周，则圆圈的半径 R 的多大？16、质量为 M 的人抓住长 L 的轻绳，绳的另一端系着质量为 m 的小球，现让小球在竖直平面内做圆
19、周运动，当球通过最高点时速率为 v，则此时人对地面的压力是多大？17、一质量为 1kg 的小球用绳子 a 和 b 系在一根竖直杆上的 A、B 两点，如图所 A a示，A、B 之间的距离 L1.6m ，绳长 LaL b1m ，求：直杆旋转角速度至少为多大时，b 绳才能拉直？ B b 若直杆旋转角速度等于上问最低角速度的 2 倍时，a、b 两绳的拉力各多大？ 17 题图18、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线 O之间的夹角 30，如图所示，一条长度为 L 的绳（质量不计） ，一端的 位置固定在圆锥体的顶点 O 处，另一端拴着一个质量为 m 的小物体（物体可看做质点） ，物体以速率 v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 （物体和绳在附图中都没画出） 。当 vgL/6 时，求绳对物体的拉力； 18 题图当 vgL/6 时，求绳对物体的拉力；答案：1、B；2、BC； 3、C；4、B；5、C ；6、B；7、g/r；8、vgr/10；9、14；10、BD；11、r7.2cm ；12、ABC ；13、 AD；14、m(gv 2/R)；15、r12 2h/g；16、(Mm)gmv 2/L；17、52/2rad/s，31.25N，18.75 N；18、1.03mg，2mg。
