1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数 学（理科）第 卷 选 择 题 （ 共 50 分 ）一 、 选 择 题 : 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ,只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 （ 本 大 题 共 10 小 题 ,每 小题 5 分 ,共 50 分 ）1.若复数 iaz)2()(2为纯虚数,则 ia2013的虚部为（ ）A. B. i C. 3 D. i322.若 sin60123,logcs60,logtan0ab ,则（ ）A. B. C.cb D.bac3.设 yx,是两个实数,命题:“ yx,中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是（ ）A
2、. 2B. 2C. 2xyD. 1xy4.设函数 ()3sin()14fx,将 ()yf的图像向右平移 (0)个单位,使得到的图像关于 y对称,则 的最小值为（ ）A. 8 B. 8C. 4 D.345. 51()2ax的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为（ ）A. 0 B. 10 C.10 D.206.如右图,在多面体 ABCDEF中,已知面 ABCD是边长为 3 的正方形, /, 5.,EF与面 的距离为 2,则该多面体的体积为（ ）A. 5.4 B.5 C.6 D.77.已知函数 )(xf的定义域为 R,且满足 1)4(f, )(xf为 的导函数,又知 xfy的图象如右图所
3、示,若两个正数 ba满足, )2(ba,则 2a的取值范围是（ ）A. 6,32 B. ),6()3,( C. 3,1 D. ),(28.已知双曲线 )0,(12bayx的右焦点为 F,若过点 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率 e的取值范围是( )A. ),1(B. ),( C. ),2 D. ),29.已知 xf是定义 R上的不恒为零的函数,且对于任意实数 ba,满足:)()(abffaf, 2, )()Nnfan, )(2)Nnfn,考察下列四个结论: )1(0f； )xf为偶函数； 数列 na为等比数列；数列 nb 为等差数列。 其中正确的结论是(
4、)A. B. C. D.10.在集合 1,2345,6中任取一个偶数 a和一个奇数 b构成以原点为起点的向量 ),(ba,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为 t,在区间 5,1t和 4,2分别各取一个数,记为 m和 n,则方程12nymx表示焦点在 x轴上的椭圆的概率是（ ）A.3 B. C. 3 D. 43第卷 非选择题（共 100 分）二、填空题: 把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分）11.如右图所示的流程图中，循环体执行的次数是 .12.为了做一项调查,在 A、 B、 C、
5、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 100 的样本,若在 单位抽取 20 份问卷,则在 D单位抽取的问卷份数是 .13.如右图所示,过抛物线 241xy的焦点 F的直线 l与抛物线和圆 )(2x交于 DCBA,四点,则 DCAB .14.抛物线 21y与其过原点的切线所围成的图形面积为 .15. 选 做 题 :（ 请 考 生 在 以 下 三 个 小 题 中 任 选 一 题 做 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 评 阅 记分 ）3D CAE BA.（ 选 修 45 不 等 式 选 讲 ） 已知 aR,若关于 x的方程 210xa有实根
6、,则 a的取值范围是 .B.(选修 1几何证明选讲）如图,正方形 ABCD的边长为 ,延长 BA至 E,使 1,连接 E、ED,则 sinC .C.（选修 44 坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 O处,极轴与x轴的正半轴重合,曲线 的参数方程为 4cos3inxy（ 为参数）,直线 l的极坐标方程为 2)4sin(.点 P在曲线 C上,则点 P到直线 l的距离的最小值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题,共 75 分）16.（本小题满分 12 分）已知锐角 AB中内角 、 、 所对边的边长分别为 a、b、 c,满足 26cosabC
7、,且 2insinAB.（）求角 C的值；（）设函数 ()sin)s(0)fxx, (fx且 图象上相邻两最高点间的距离为 ,求 ()fA的取值范围.17.（本小题满分 12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数:31(),fx2()5,xf3()2,f41(),xf5()sin),2fx6(cosfx.（）从中任意拿取 张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 的分布列和数学期望.18.（本小题
8、满分 12 分）定义 12npp为 个正数 12,np的“均倒数”.已知各项均为正数的数列 na的前 项的“均倒数”为 .()求数列 n的通项公式；()设 2d,试求数列 nd的前 项和 nT.419.（本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD中, A, DC, PA平面 BC,2CDAP,M为 的中点。()求证: /B平面 ；()平面 内是否存在一点 N,使 平面 PB？若存在,确定点 的位置；若不存在,请说明理由。20.（本小题满分 13 分）设 ,xyRij分别为直角坐标系中与 x轴、 y轴正半轴同方向的单位向量,若向量 (2)a(2),bxiyj且 |8ab.()求点 (,)Mxy的
9、轨迹 C的方程；()设抛物线 312的顶点为 P,焦点为 F.直线 l过点 P与曲线 C交于BA,两点,是否存在这样的直线 l,使得以 AB为直径的圆过点 ,若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由？21.（本小题满分 14 分）已知函数 xf2)(, xgln)(.（）若 )(xagf恒成立 ,求实数 a的值；（）设 mfF)(R有两个极值点 1x、 2( 12x),求实数的取值范围 ,并证明 6ln432xF.2014 年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数学（理科）参考答案一选择题：1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C二填空题： 11.
10、49 12. 40 13. -1 14. 3215. A. 1,0 B. 10 C. 三、解答题：16.（本小题满分 12 分）5解：（）因为 Cabcos62,由余弦定理知 Cabcaos22所以 cC4os 2 分又因为 BAsin2in,则由正弦定理得: abc2，所以 14cosab，所以 3C 6 分() ()in)cossincos3in()62fxxxx 由已知 2,则 (3i(),fA 8 分因为 3C,B,由于 0,2B,所以 62A 10分所以 20A，根据正弦函数图象,所以 0()3f 12 分17 （本小题满分 12 分）解：（） 31fx为奇函数， 25xf为偶函数，
11、 32fx为偶函数，42xf为奇函数， 5sin()fx为偶函数， 6cosf为奇函数 3 分所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为 123C满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为 23C故所求概率为2314CP6 分() 可取 1，2，3，4 103)2(,)( 516316 CC， 201)4(,0)3( 314521631435216 CPP； 9 分6故 的分布列为1 2 3 4P0201.4721312E12 分18 （本小题满分 12 分）解：() 1
12、21na 1221nnaS3 分当 n时, 14nS 当 n时也成立, 4na 6 分() 233712nT （1）234n （2） 9 分由（1）-（2）得 23 16()4nnn 1450nT12 分19、 （本小题满分 12 分）()证明 如图，取 PD 中点 E，连接 EM、 AE， EM/CD，而 AB/CD， EM/AB12 12四边形 ABME 是平行四边形 ， BM AE AE平面 ADP， BM平面 ADP， BM平面 PAD 5 分()解 PA平面 ABCD， PA AB，而 AB AD， PA AD A， AB平面 PAD， AB PD PA AD， E 是 PD 的中点
13、， PD AE， AB AE A， PD平面 ABME作 MN BE，交 AE 于点 N， 则 MN平面 PBD易知 BME MEN，而 BM AE ， EM CD1，212由 ，得 EN ， AN ， 即点 N 为 AE 的中点 。 12 分ENEM EMBM EM 2BM 12 22 22720. （本小题满分 13 分）解：（1） |8ab，则 222()()8xyxy，由两点间的距离公式得：（即动点到两定点的距离之和为定值）216yx5 分（2）因抛物线方程为： )3(12yx，故 )0,(,FP.当直线 l轴时，不合题意。当直线 不垂直于 轴时，设直线 l方程为： 3kx， 223(
14、4)180,16ykxkx7 分设 A(,),B 2,y，且0 恒成立，12128;,3434kxxk又 FAB120xy 10 分可得： 56， 故所求的直线方程为： 534 13 分21、 （本小题满分 14 分）解：（）令 )()(xagfxh，则 01h 所以 0即 1h恒成立的必要条件是 ()， 又 ()2xx，由 ()2得： 1a 4 分当 1a时，2()h，知 ()=0hxmin，故 0x，即 )(agf恒成立 6 分（）由 )(xfFxln2，得)0(2mx 8 分)(有两个极值点 1、 2等价于方程 02x在 ),(上有两个不等的正根，即：81280mx， 解得 18 10 分由 2()0Fx，得 2x，其中 1204x.所以 22()ln 12 分设 )4,l)(2 xxx，得 0ln)()xx，所以 163)4(，即 162ln43(2F 14 分
