1、翻硬币游戏 一般的翻硬币游戏的规则是这样的：N 枚硬币排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。我们从左开始对硬币按 1 到 N 编号。第一，游戏者根据某些约束翻硬币，但他所翻动的硬币中，最右边那个硬币的必须是从正面翻到反面。例如，只能翻 3 个硬币的情况，那么第三个硬币必须是从正面翻到反面。如果局面是正正反，那就不能翻硬币了，因为第三个是反的。第二，谁不能翻谁输。有这样的结论：局面的 SG 值为局面中每个正面朝上的棋子单一存在时的 SG 值的异或和。即一个有 k 个硬币朝上，朝上硬币位置分布在的翻硬币游戏中，SG 值是等于 k 个独立的开始时只有一个硬币朝上的翻硬币游戏的 SG 值异或和。比如
2、THHTTH 这个游戏中，2 号、3 号、6 号位是朝上的，它等价于 TH、TTH、TTTTTH 三个游戏和，即 sgTHHTTH=sgTHsgTTHsgTTTTTH.我们的重点就可以放在单个硬币朝上时的 SG 值的求法。约束条件一：每次只能翻一个硬币。一般规则中，所翻硬币的最右边必须是从正面翻到反面，因为这题是只能翻一个硬币，那么这个硬币就是最右边的硬币，所以，每次操作是挑选一个正面的硬币翻成背面。对于任意一个正面的硬币，SG 值为 1。有奇数个正面硬币，局面的 SG 值=1，先手必胜，有偶数个正面硬币，局面的 SG 值=0，先手必败。约束条件二：每次能翻转一个或两个硬币。(不用连续)每个硬
3、币的 SG 值为它的编号，初始编号为 0，与 NIM 游戏是一样的。如果对于一个局面，把正面硬币的 SG 值异或起来不等于 0，既 a1a2a3an=x,对于 an 来说一定有 an=anxan。如果 an=0，意思就是说，把 an 这个值从式子中去掉就可以了。对应游戏，就是把编号为 an 的正面硬币翻成背面就可以了。因为 anx=0，而 a1a2a3an=x，即ana1a2a3an=0，即 a1a2a3an-1=0，只要在原来的 x 里面去掉 an 就可以了。如果 an!=0，意思就是说，把 an 这个值从式子中去掉后再在式子中加上 an，anan。对应游戏，去掉 an 就是把编号为 an
4、的正面硬币翻成背面，加上 an，如果编号为 an的硬币是正面，我们就把它翻成背面，是背面就翻成正面，总之，就是翻转编号为 an的硬币。因为 anx!=0，所以 ana1a2a3an!=0，即 a1a2a3an-1!=0，而这里的an=a1a2a3an-1，所以在 x 中去掉 an 后，要对 an进行异或，也就是翻转，正转反，反转正。约束条件三：每次必须连续翻转 k 个硬币。我们以 k=3 为例。我们计算的是个数为 N 的硬币中，其中最后一个硬币为正面朝上,的 sg 值。当 N=1 时，硬币为：正，先手必输，所以 sg1=0。当 N=2 时，硬币为：反正，先手必输，所以 sg2=0。当 N=3
5、时，硬币为：反反正，先手必胜，所以 sg3=1。当 N=4 时，硬币为：反反反正，先手操作后为：反正正反，子状态局面的 SG=01=1，那么 sg4=0。当 N=5 时，硬币为：反反反反正，先手操作后为：反反正正反，子状态局面的SG=10=1，那么 sg5=0。当 N=6 时，硬币为：反反反反反正，先手操作后为：反反反正正反，子状态局面的SG=00=0，那么 sg6=1。根据观察，可以知道，从编号为 1 开始，sg 值为：001 001 001 001根据观察，可以知道，sg 的形式为 00001 00001，其中一小段 0 的个数为 k-1。约束条件 4：每次翻动一个硬币后，必须翻动其左侧最
6、近三个硬币中的一个，即翻动第 x个硬币后，必须选择 x-1，x-2，x-3 中的其中一个硬币进行翻动，除非 x 是小于等于 3 的。（Subtraction Games）当 N=1 时，硬币为：正，先手必赢，所以 sg1=1。当 N=2 时，硬币为：反正，先手必赢，因为先手可以翻成反反或正反，可能性为 2，所以 sg2=2。当 N=3 时，硬币为：反反正，先手操作后可以为：反正位置 x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14.sgx： 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2这个与每次最多只能取 3 个石子的取石子游戏的 SG 分布一样，同样还有相似的这
7、类游戏，约束条件 5 也是一样。约束条件 5：每次必须翻动两个硬币，而且这两个硬币的距离要在可行集 S=1,2,3中，硬币序号从 0 开始。(Twins 游戏 )当 N=1 时，硬币为：正，先手必输，所以 sg0=0。当 N=2 时，硬币为：反正，先手必赢，所以 sg1=1。当 N=3 时，硬币为：反反正，先手必赢，所以 sg2=2。当 N=4 时，硬币为：反反反正，先手必赢，所以 sg3=3。当 N=5 时，硬币为：反反反反正，先手必输，所以 sg4=0。位置 x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14.sgx： 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
8、0 1 2约束条件 6：每次可以翻动一个、二个或三个硬币。（Mock Turtles 游戏）初始编号从 0 开始。当 N=1 时，硬币为：正，先手必胜，所以 sg0=1.当 N=2 时，硬币为：反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反或正反，方案数为 2，所以 sg1=2。当 N=3 时，硬币为：反反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反反、反正反、正反正、正正反，方案数为 4，所以 sg2=4。位置 x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14.sgx： 1 2 4 7 8 11 13 14 16 19 21 22 25 26 28看上去 sg 值为 2x 或者 2x
9、+1。我们称一个非负整数为 odious，当且仅当该数的二进制形式的 1 出现的次数是奇数，否则称作 evil。所以 1，2，4，7 是 odious 因为它们的二进制形式是 1,10,100,111.而 0,3,5,6 是 evil，因为它们的二进制形式是 0,11,101,110。而上面那个表中，貌似 sg 值都是 odious 数。所以当 2x 为 odious 时，sg 值是 2x，当 2x 是 evil 时，sg 值是2x+1.这样怎么证明呢？我们会发现发现，evilevil=odiousodious=evilevilodious=odiousevil=odious假设刚才的假说是成
10、立的，我们想证明下一个 sg 值为下一个 odious 数。注意到我们总能够在第 x 位置翻转硬币到达 sg 为 0 的情况；通过翻转第 x 位置的硬币和两个其它硬币，我们可以移动到所有较小的 evil 数，因为每个非零的 evil 数都可以由两个 odious 数异或得到；但是我们不能移动到下一个 odious 数，因为任何两个 odious 数的异或都是 evil 数。假设在一个 Mock Turtles 游戏中的首正硬币位置 x1,x2,xn 是个 P 局面，即 sgx1sgxn=0.那么无可置疑的是 n 必定是偶数，因为奇数个 odious 数的异或是 odious 数，不可能等于 0
11、。而由上面可知 sgx是 2x 或者 2x+1，sgx 又是偶数个，那么x1x2xn=0。相反，如果 x1x2xn=0 且 n 是偶数，那么 sgx1sgxn=0。这个如果不太理解的话，我们可以先这么看下。2x 在二进制当中相当于把 x 全部左移一位，然后补零，比如说 2 的二进制是 10，那么 4 的二进制就是 100。而 2x+1 在二进制当中相当于把 x 全部左移一位，然后补 1，比如说 2 的二进制是 10，5 的二进制是 101。现在看下sgx1sgxn=0，因为 sgx是 2x 或者 2x+1，所以式子中的 2x+1 必须是偶数个（因为2x 的最后一位都是 0,2x+1 的最后一位
12、都是 1，要最后异或为 0,2x+1 必须出现偶数次）。实际上的情况可能是这样的:MT 游戏当中的 P 局面是拥有偶数堆石子的 Nim 游戏的 P 局面。约束条件 7：每次可以连续翻动任意个硬币，至少翻一个。（Ruler 游戏）初始编号从 1 开始。那么这个游戏的 SG 函数是 g(n)=mex0,g(n-1),g(n-1)g(n-2),g(n-1)g(1)根据 SG 函数可以得到 SG 值表如下。位置 x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.g(x): 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16所以 sg 值为 x 的因数当中
13、2 的能达到的最大次幂。比如 14=2*7，最大 1 次幂，即2；16=2*2*2*2，最大 4 次幂，即 16。这个游戏成为尺子游戏是因为 SG 函数很像尺子上的刻度。约束条件 8：每次必须翻转 4 个对称的硬币，最左与最右的硬币都必须是从正翻到反。（开始的时候两端都是正面）（Grunt 游戏）这是 Grundy 游戏的变种，初始编号从 0 开始。当首正硬币位置为 0,1,2 时是 terminal 局面，即 终结局面，sg 值都是 0。当首正硬币位置n 大于等于 3 的时候的局面可以通过翻 0,x,n-x,n 四个位置得到( 其中 xn/2 可保证胜利) 。这就像是把一堆石子分成两堆不同大小石子的游戏，也就是 Grundy 游戏。
