1、. -吴扬扬制-,1,主要内容：,商代数性质: 同态三角关系,2,7.4 商代数与积代数 1. 商代数(1),定义：设R为代数系统A=上的同余关系，,例1: m是A=上的同余关系，,A/m=,其中：I/m=0m,m-1m,:im,jmI/m, imjm=i+jm,:im,jmI/m, imjm=ijm,若m=2,则 A/2=,其中:I/2=02,12,02=,-4,-2,0,2,4, 12=,-3,-1,1,3,1212=1+12=02, 1202=102=02,分析例1 性质1 证明,等价关系行吗?,. -吴扬扬制-,3,7.4 商代数与积代数 1. 商代数(2),同余关系是代数系统的定义域
2、中的等价关系，并且在代数系统的运算的作用下，能够保持关系。 若akR=bkR,k=1,2,ni, 则akRbk,k=1,2,ni,若R是同余关系,则(*i(a1,a2,ani)R(*i(b1,b2,bni) *i(a1,a2,ani)R=*i(b1,b2,bni)R 即:如果用与ak等价的任何其它元素bk代换ak(1kni),则所求的结果位于同一等价类之中。 分析例1,取12和02的其他元素作为代表元素，和运算不变。 考虑I上的等价关系(非A的同余关系)R：i,jI, iRj iff |i|=|j|,. -吴扬扬制-,4,性质: 定理7.4.1: 设R为代数系统A=上的同余关系，定义函数f:S
3、S/R,aS,f(a)=aR, 则f是从A到商代数A/R的满同态映射，称为自然同态。 证明：,7.4 商代数与积代数 1. 商代数(3), i1,n, 设*i的阶为ni, a1,aniS,f(*i(a1,，ani)=*i(a1,ani)R,又 aRS/R, 有aS,使f(a)=aR, f是A到A/R的满同态映射。,（商代数运算定义）, f是从A到商代数A/R同态映射.,. -吴扬扬制-,5,定理7.4.2: 设h为A=到A=的同态映射，R为A上由h诱导的同余关系(R定义为:x,yS,xRy iff h(x)=h(y)，f是从A到A/R的自然同态(aS, f(a)=aR), 则存在从A/R到h(
4、A)的同构映射g,使gof=h。 * 同态三角关系,7.4 商代数与积代数 1. 商代数(4),h(S),R,推论：设h为A=到A=的满同态映射，R为A上由h诱导的同余关系，则 A/R A。 * 分析到同态映射h:INm h(i)=i mod m R=?,f=?,g=?,g(xR)=h(x),. -吴扬扬制-,6,定理7.4.1,设h为A=到A=同态映射，R为A 上由h诱导的同余关系(x,yS,xRy iff h(x)=h(y)，f是A到A/R的自 然同态(aS,f(a)=aR), 则存在A/R到h(A)的同构映射g,使gof=h。,证明：定义g: S/Rh(S), xRS/R, g(xR)=
5、h(x), 则 (1) G是函数(每个同余类对应的h(x)是唯一，与代表元无关(g是良定的)。aR,bRS/R, 若aR=bR, 由等价类的性质得：aRb, h(a)= h(b) (2) g是单射的 aR,bRS/R, 如果g(aR)=g(bR), 则h(a)=h(b), aRb (由R的定义） aR=bR (3) g是满射的yh(S), h是A到A的同态映射 xS, 使h(x)=y 有xRS/R，使g(xR)=h(x)=y,. -吴扬扬制-,7,证明定理,=g(*i(a1,ani)R),:设h为A=到A=同态映射，R为A 上由h诱导的同余关系(x,yS,xRy iff h(x)=h(y)，f是A到A/R的自 然同态(aS,f(a)=aR), 则存在A/R到h(A)的同构映射g,使gof=h。,商代数运算的定义,=h(*i(a1,ani),g的定义,=*i(h(a1),h(ani),h是同态映射,=*i(g(a1R),g(aniR),g的定义, g是从A/R到h(A)的同构映射,且 xS, gof(x)=g(f(x),=g(xR),=h(x),故 gof=h,* 分析到的同构映射h:RR+,h(x)=ex,. -吴扬扬制-,8,作业: P156 1 预习：积代数、半群和独异点,
