1、1,近世代数,主讲教师：张广祥,辅导课程十,2,第三章 环与域,3,最大理想,要点 利用最大理想作剩余类环是由交换环获得域的重要方法. 定义1 设R是一个环,R也是它自身的理想,这种理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为R的最大理想. 例 整数环Z的主理想(n)=nZ=nx|xZ.(6)(2),(3). (ab)(a),(b).于是(n)是Z的最大理想当且仅当n=p是素数.,4,最大理想(续),定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R的最大理想. 证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故由
2、定理3.8.3A是R的最大理想.充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理想与单位理想,要证K是域.设0aK,则(a)=K.说明1=a*a,a*K,K是域. 例 Zn是域当且仅当n是素数.,5,商域(分式域),要点 从一个无零因子的交换环获得域的另一种方法是求商域. 定理3.10.1 每一个无零因子的交换环都是一个域的子环. 定义1 由于一个无零因子的交换R都是一个域的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则F= | a,bR,b0,因此商域也称分式域. 定理3.10.4 同构的环R的商域也同构. 例 整数环Z的商域是有理数域Q.,6,商域(续),定理3.10.1证明主要步骤:(1) A=(a,b)|a,bR,b0,定义上等价关系(a,b)(c,d)ad=bc.商集记为F,F的元表为 .(2)F上定义加法与乘法:+ = , =(3)证明F在上面运算之下成为一个域.(4)证明F包含一个与R同构的子环R*=a/1|aR.,
