1、群的出现二次方程的解法已经被古巴比伦人(公元前 2006 年在两河流域（底格里斯河和幼发拉底河）, 现在的伊拉克境内)掌握.中世纪( Middle Ages（约公元 476 年公元 1453 年） ，是欧洲历史上的一个时代（主要是西欧） ，自西罗马帝国灭亡（公元 476 年）数百年后起，在世界范围内，封建制度占统治地位的时期，直到文艺复兴时期（公元 1453 年）之后，资本主义抬头的时期为止。 “中世纪”一词是 15 世纪后期的人文主义者开始使用的。这个时期的欧洲没有一个强有力的政权来统治。封建割据带来频繁的战争，造成科技和生产力发展停滞，人民生活在毫无希望的痛苦中，所以中世纪或者中世纪早期在
2、欧美普遍被称作“黑暗时代”，传统上认为这是欧洲文明史上发展比较缓慢的时期。) 代数学看成是解代数方程的学问, 阿拉伯数学家又将二次方程的理论系统化.文艺复兴时期, 特别是,1453 年( 君士坦丁堡的失陷)-1648 年(威斯特伐利亚的和平) 这两个世纪期间(又称欧洲初期), 代数学上有两个伟大的进步, 一是得到了一般三次方程和四次方程的解, 1520 年-1540 年间有意大利北部数学家完成, 特别地,卡尔达渃与费拉在 1539 年-1540 年合作完成.二是发明了现代符号体系, 两个法国人 : 韦达(1540-1603)和笛卡尔(1596-1650). 韦达有效地分配字母并制定了不同的量,
3、 使用不同范围的字母的第一人. 这就是现代符号体系的开始.韦达也是研究方程的先驱，他写的论方程的完整化为伽罗瓦,群理论,和所有现代代数的诞生开辟了一条研究通道.韦达首先写成来一个未知量的五次以下方程的的根与系数关系, 韦达下一代的法国数学家吉拉德代数中的新发现一书中把根与系数关系一般化到任意方程。牛顿(1643 年 1 月 4 日1727 年 3 月 31 日或 1642 年 12 月 25 日1726 年 3 月 20 日, 英国人), 牛顿因对科学的贡献和发明微积分而闻名, 但是他还是一名代数学家, 1673 年-1683 年牛顿在剑桥大学开代数讲座.牛顿定理: 任意 n 变量对称多项式可
4、以用 n 变量初等对称多项式表示.3 个未知量的初等对称多项式(韦达使用过的) 是:1 阶: 2 阶: 3 阶: 例如: 35153()15()()这些对称以及用系数表示的多项式的解是 17 世纪末, 在突破三次方程和四次方程问题 120年后解决 5 次方程求解的关键.与 17 世纪和 19 世纪相比, 18 世纪是代数发展较慢的时期, 牛顿和莱布尼茨的微积分的方明开辟了数学中的”分析” 领域, 分析是一门具有魅力的新领域, 数学家们对它投入了极大的热情.几乎整个 18 世纪, 人们一直相信一般五次方程有代数解, 就是54320xpqxrst代数解是指: x=p,q, r, s, t 表示的某
5、个代数表达式.1732 年, 欧拉(1707 年 4 月 15 日1783 年 9 月 18 日, 瑞士人, 18 世纪最伟大的数学天才), 首次接触一般五次方程的问题, 欧拉指出:任意 n 次方程的解的表达式是: 23()()nnnABCD其中, 是某个 n-1 次辅助方程的解 , 而 A, B, C, 等是原来方程系数的某个代数表达式. 但是, 如何找到这个 n-1 次辅助方程的解呢 ?, 遗憾的是, 欧拉没有再深入研究下去.范德蒙德(1735-1796, 法国人), 他用通用形式表示方程的每个解.二次方程 的解20xpq21()()2关键是 (对称多项式表示成初等对称多项式( 牛顿定理)
6、, 22()()4pq根据韦达定理, 表示成系数.)三次方程 ( 中作变换 )的解30xpq320yabyc3ayx23231)()( 令 , 则对 的置换(6 种), U+V 和 UV 都是对232(),UV ,称多项式, 那么根据牛顿定理和韦达定理可得, 37,2UqVp当然可以求出 U 和 V. 注意到 U 和 V 求出后, 带入上面的式子, 开 3 次方后有 9 个解, 其中 3 个是的, 还有另外 6 个不是的. 用到的思想方法是:通过观察解的置换以及观察保持某个表达式不变的那些置换的子集来求解方程.拉格朗日(1736-1813, 意大利, 16 岁在都灵成为数学教授), 在 177
7、1 年, 拉格朗日在柏林发表关于方程代数解的思考, 该文章把通过方程解的置换来求解方程的思想呈现给广大数学家. 虽然是范德蒙德首先得出这一结论, 但是, 当时大家还是认为是拉格朗日的. 没有证据表明拉格朗日知道范德蒙德的工作. 拉格朗日定理:假设有一个 n 变量多项式, 那么就有 n!个置换这些变量的方法, 在这些置换下, 如果这个多项式有 m 个不同的值, 那么 m 整除 n!.例如, 使用 构建任意多项式, 如果该多项式是对称多项式, 则 m=1,如果是 , 则 m=2; 如果是 , 则 m=3; 如果是 , 则 m=6;23()23但是 m 不可能是 4 或 5.拉格朗日定理是现代群论的
8、基础之一, 但是群论在拉格朗日时代还不存在.拉格朗日定理(群论的语言): 如果 G 是一个群, H 是 G 的一个子群, 那么 H 的阶整除 G 的阶.保罗.鲁菲尼(Paolo Ruffini 1765-1822, 意大利, 医生, 又是数学家, 分别于 1803,1808,1813年发表证明一般五次方程没有代数解. 但是, 这些证明没有一个让当时的数学家感到满意, 高斯(1777-1855) 在 1799 年所写的博士论文中也陈述了相同的观点, 但是没有给出证明.但是高斯的主要成就是给出代数基本定理:代数学基本定理: 任何复系数一元 n 次多项式 方程在复数域上至少有一根(n1)，由此推出，
9、n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n 个根（重根按重数计算）.阿贝尔(1802-1829, 挪威, 阿贝尔积分、阿贝尔 函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。), 从1824 年开始研究一般五次方程的问题, 并已证明了不可解定理 . 但是寄给高斯的证明, 高斯看都没看.1829 年他因肺结核在挪威去世, 去世两天后, 柏林大学已聘他为教授.阿贝尔的证明整合了他掌握的欧拉,拉格朗日,鲁菲尼和柯西等人的思想, 证明:阿贝尔-鲁菲尼定理: 的一
10、般方程 在 上是不能5n1()nnfxtt 12(,)nFt用根式解的.但是, 特殊的五次方程有解, 例如 . 下面的问题是:510哪些五次方程可以代数求解, 而且这些解可以用加, 减, 乘, 除, 开方符号以及五次方程系数组成的多项式表示? 伽罗瓦(1811-1832, 法国, 他的工作为群论奠定了基础 ), 伽罗瓦的论文曾经提交到了法国科学院, 柯西被指定审阅论文, 柯西建议他再润色, 1830 年伽罗瓦第二次提交论文, 傅立叶生成, 但是不久后傅立叶去世了, 伽罗华死后，舍瓦利叶把他的信发表在百科评论中。他的论文手稿过了 14 年后，也就是 1846 年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演
11、算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的纯粹与应用数学杂志上，并向数学界推荐。1870 年法国数学家约当根据伽罗华的思想，撰写了论置换与代数方程一书，他在这本书里使伽罗华的思想得到了进一步的阐述。伽罗瓦的思想: 对于一个 n 次方程 120nnnxaxa的 n 个根, 作为一个整体来考察, 并研究他们之间的排列或置换. 12,nx我们拿三次方程的根的置换进行说明:记 , , 1231(3)x123()x则 就是三次方程根的全部置换, 在该置换上定义一种运(1),23),(12),(3G算, 其实就是映射的合成, 例如:(从左往右),
12、 从而 .123123123xxxA (123)()这样 G 就是伽罗瓦称之的群 . 这是历史上最早的”群”的定义. 我们现在称之为” 置换群”.群的应用一. 刚体变换 例 1 考虑平面上的一个正三角形, 某些刚体变换, 可以把它变得重合与它自己, 某些则不能, 当它重合于它自己时, 它的三个顶点肯定重合于三个顶点, 我们用 1,2,3 来把它的三个顶点分别标上号, 就可以把使得它变得重合于它自己的刚体变换表达为 3 次置换, 3(1),23),(12),(3S例 2 考虑平面上的一个正方形, 哪些刚体变换, 可以把它变得重合与它自已. 4(1)3,()24,(13)2(4),1(3),(24
13、)D问题一: 例 2 中正方形换成长方形 , 结果怎样?二. 计数.Polya要设计 n 个珠子的项链, 珠子的颜色有红, 黄, 蓝三种, 问共可以设计出多少种项链.分析: 如果把珠子标上号 , 则每标号 i 有 3 种选择 , 故共有 中颜色配置, 12n 3n然而, 实际上珠子并没有标号, 一些配置实际上是一样的, 例如:颜色配置的数学模型是:任意一种映射12 31243:VC就是一种颜色配置, 其中 , 1,2Vn 1,23然而, 有的映射效果是一样的, 这就是 本身有对称结构, 那么有多少中不一样的映射呢?根据群在集合上的作用得到的 计数.公式是: 在 上的轨道个数PolyaG(,)H
14、omV12()()()(,)| nggGm 其中 表示 中元素的个数, 是 中元素的个数, 是 中元素的个数, 是 的循|GCV()ig环分解中长为 的个数.l例如: , , 则 , , , .4n(12)34g1()0g2()3()0g4(), , 则 , , , , .55150g例: 要设计 4 个珠子的项链, 珠子的颜色有红, 黄, 蓝三种, 问共可以设计出多少种项链. (1)234()13(24)(2)34,(),(24)13,()24GD从而可以得到循环指标多项式: 1234(,)PGx42214()8xx将 带入可得:1234xxm21.(,)如果 就有两种颜色, 则令 , 可以
15、得到C2,26.PG问题: 1. 一木棒等分为四段, 每段涂上红,黄,蓝三种颜色之一,有多少种涂法?2. 考虑所有八位 2 进制数的集合, 为某种需要, 两个数若仅相差循环置换就被认为是等价的, 如 01100111 与 11001110 被看做一样, 问有多少种不等价的八位 2 进制数.答案: 1. ,45(1)34(2).G1234(,)PGx41()x2. (1)234(5)678,(567),(468),(756),(2)37(8,165274),758,2G, 36128(,)Px 84218()xx群 码编码在数字通信, 数字计算机和数据处理等科学技术中有广泛应用. 由于在计算机中
16、和通讯系统中信号传递非常频繁与广泛, 如何防止传输错误是一件很重要的事情. 有一种途径就是采用纠错码, 即从编码上下功夫, 使得二进制数码一旦在传输过程中出现错误, 接收端的纠错码装置就能立即发现错误, 并将其纠正.例 1, 如果你发出一个通知:”明天 14:00-16:00 开会”, 但在通知过程中由于某种原因产生错误, 变成” 明天 10:00-16:00 开会”, 1. 为了使收者能判断正误, 可以把通知内容增加为: ”明天下午 14:00-16:00 开会”, 如果仍错误为”明天下午 10:00-16:00 开会”, 这就可以有检错功能.2. 可以把通知内容增加为: ”明天下午 14:
17、00-16:00 开两个小时会”, 这样就可能有纠错功能.注意: 如果错误为 ”明天下午 16:00-18:00 开两个小时会”, 则不能检错也不能纠错. 这就需要增加更多的附加信息.我们编码的目的: 寻找较好的编码方式 , 能在增加冗余不太多的前提下来实现检错和纠错.例 2, 编码函数(单射): , .562: EZ51234512341(,)(,)icccc显然, 中 6 个分量之和是 0. 如果收信者收到的字是 , 则说明传输过程中ImE ,0)出错. 但是哪地方错, 我们还是不知道, 这就需要我们继续改进编码函数.例 3 现代计算机中所使用的 ASCII 码是一个编码的例子, 早期的
18、ASCII 码只表示 128个符号, 每个码字仍为 8 位, 128 个符号实际上只占用 7 位, 第 8 位用于检验位, 现在计算机稳定性提高, 检验位后来被取消, 成为现在的 256 个符号的 ASCII 码. 群码: 编码函数(单射): , 称为码, 的元素称为码字, 为码长.2: knEZImEIn是 上的 n 维线性空间, 如果 是 的子空间, 则称 是二元线性码, 2nZ2nImE的子群是它的子空间, 反之亦然, 从而 也称群码.()I取 , 的 k 个行向量是 的一组基, ()knkGIPE取编码函数是, ,2: knEZ1212(,)(,)kkaaG 这样 的前 k 位表示信息
19、位. 1(,)ka构造校验矩阵: 考虑 的正交补的一组基, 该基构成下面矩阵的行向量组.ImT(),knkHPI容易验证, TT() ()(),20knkknnkIHGP用检验矩阵纠正一个错误的编码的条件: 不能有两列一样, 不能有零列.设信息源发送一个码字 , 仅仅错了一位, 譬如, 第 i 位错, 结果收到12(,)nua, 其中 的第 i 位是 1, 其它 n-1 位是 0. ivuei则通过 TTiiHvueH是 H 的第 i 列的元素. 例 检验矩阵 的(6,3)群码的译码表 .101010G码字校验子000000 100110 010101 001011 110011 101101
20、 011110 111000T(10)100000 000110 110101 101011 010011 001101 111110 011000010000 110110 000101 011011 100011 111101 001110 101000T()001000 101110 011101 000011 111011 100101 010110 11000010000100 100010 010001 001111 110111 101001 011010 111100T()000010 100100 010111 001001 110001 101111 011100 1110
21、10000001 100111 010100 001010 110010 101100 011111 111001T(1)100001 000111 110100 101010 010010 001100 111111 011001表中每一行关于码作成的群是同陪集的 (当且仅当 ),ImIuEvTHuv第一列中 TT(0)(10)H第二列的元素与第一行元素之和是交叉点处的元素, 该表符合最小距离译码准则.问题五: 写出检验矩阵是 的群码是101H的译码表.Im(0),10,(),0E码字校验子00000 11100 01111 10011100 10000 01100 11111 00011110 01000 10100 00111 11011010 00100 11000 01011 10111101 00010 11110 01101 10001001 00001 11101 01110 10010111 00110 11010 10001 10101011 01010 10110 00101 11001
