1、第 1 讲 基本公式、直线的斜率与直线方程【2013 年高考会这样考】1考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式2求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等) 3直线常与圆锥曲线结合，属中高档题【复习指导】1本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程2在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果 基础梳理1数轴上的基本公式(1)直线坐标系一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系(2)向量的有关概念位移是一个既有大
2、小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量从点 A 到点 B 的向量，记作 .点 A 叫做向量 的起点，点 B 叫做向量 的终点，AB AB AB 线段 AB 的长叫做向量 的长度，记作| |.AB AB 数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量2平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 d(A，B)|AB|.x2 x12 y2 y12(2)中点公式已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，点 M(x，y)是线段 AB 的中点，则x ，y .x1 x22 y1 y223直线的倾斜角与斜率(1
3、)直线的倾斜角：定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. 倾斜角的范围为 0180.(2)直线的斜率：定义：直线倾斜角 (当 90时)的正切值叫直线的斜率常用 k表示，ktan ，倾斜角是 90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：给定两点 P1(x1，y 1)与 P2(x2，y 2)，则过这两点的直线的斜率 k (其中 x1x 2)y2 y1x2 x14直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 yy 1k(xx 1) 不含垂直于 x 轴的直线斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线续表两点式 y y1y2 y1 x
4、x1x2 x1(x1x 2，y 1y 2)不含垂直于坐标轴的直线截距式 1xa yb(ab0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 AxBy C0(A，B 不同时为零) 平面直角坐标系内的直线都适用一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率 k 是一个实数，当倾斜角 90时， ktan .直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程两个注意(1)求直
5、线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时， 应对斜率存在与不存在加以讨论 (2)在用截距式 时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需分类讨论双基自测1(人教 B 版教材习题改编)直线经过点(0,2) 和点(3,0)，则它的斜率为( ) A. B. C D23 32 23 32解析 k .0 23 0 23答案 C2直线 x ya0(a 为常数) 的倾斜角为( ) 3A30 B60 C150 D120解析 直线的斜率为：ktan ，又 0，)60.3答案 B3(2011龙岩月考)已知直线 l 经过点 P(2,5) ，且斜率为 .则直线 l 的方程为( 34)A3x4y140 B3x 4y140C
6、4x 3y140 D4x 3y140解析 由 y5 (x2)，得 3x4y 140.34答案 A4(2012烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )Axy30 Bx y30Cx y30 Dx y30解析 由两点式得： ，即 xy30.y 31 3 x 02 0答案 B5(2012长春模拟)若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_解析 k AC 1，k AB a3.5 36 4 a 35 4由于 A、B、C 三点共线，所以 a31，即 a4.答案 4 考向一 直线的倾斜角与斜率【例 1】若直线 l：y kx 与直线 2x3y 60 的交点位于第一象
7、限，则直线 l 的3倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.6，3) (6，2) (3，2) 3，2审题视点 确定直线 l 过定点 (0， )，结合图象求得3解析 由题意，可作两直线的 图象，如 图所示，从图中可以看出，直线 l 的倾斜角的取值范围为 .(6，2)答案 B求直 线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数 ytan 的单调 性求 k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法【训练 1】 (2012贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3) ，则其斜率的取值范围是( )A1k Bk1
8、或 k15 12Ck 或 k1 Dk 或 k115 12解析 设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，直线在 x 轴上的截距为 1 ，2k令31 3，解不等式可得也可以利用数形结合2k答案 D考向二 求直线的方程【例 2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点 A(1，3)，斜率是直线 y3x 的斜率的 ；14(3)过点 A(1，1)与已知直线 l1：2xy60 相交于 B 点且|AB| 5.审题视点 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可解 (1)法一 设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a 0，即 l 过点(
9、0,0)和(3,2) ，l 的方程为 y x，即 2x3y0.23若 a0，则设 l 的方程为 1，xa yal 过点(3,2)， 1，3a 2aa5，l 的方程为 xy50，综上可知，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50.法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k0，设直线方程为 y2k (x3)，令 y0，得 x3 ，令 x 0，得 y23k，2k由已知 3 23k，解得 k1 或 k ，2k 23直线 l 的方程为 y2(x 3) 或 y2 (x3)，23即 xy50 或 2x3y0.(2)设所求直线的斜率为 k，依题意k 3 .14 34又直线经过点 A(1，3) ，因此所求
10、直线方程为 y3 (x1)，34即 3x4y150.(3)过点 A(1，1)与 y 轴平行的直线为 x1.解方程组Error!求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB| 5，即 x1 为所求设过 A(1，1)且与 y 轴不平行的直线为 y1k(x1) ，解方程组Error!得两直线交点为Error!(k2 ，否则与已知直线平行) 则 B 点坐标为 .(k 7k 2，4k 2k 2)由已知 2 25 2，(k 7k 2 1) (4k 2k 2 1)解得 k ，y 1 (x1)，34 34即 3x4y10.综上可知，所求直线的方程为 x1 或 3x4y 10.在求直 线方程时， 应先选择适当的直线
11、方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况【训练 2】 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的 的直线方程13(2)求经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意k4 .13 43又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y3 (x1)，43即 4x3y130.(2)当直线不过原点时
12、，设所求直线方程为 1，x2a ya将(5,2)代入所设方程，解得 a ，12此时，直线方程为 x2y 10.当直线过原点时，斜率 k ，25直线方程为 y x，即 2x 5y0，25综上可知，所求直线方程为 x2y10 或 2x5y0.考向三 直线方程的应用【例 3】已知直线l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，如右图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线 l 的方程审题视点 设直线 l 的方程为 截距式，利用基本不等式可求解 设 A(a,0)， B(0，b)，(a0，b0)，则直线 l 的方程为 1，xa ybl 过点 P(3,2)， 1.3a 2b1
13、 2 ，即 ab24.3a 2b 6abS ABO ab 12.当且仅当 ，即 a6，b4.12 3a 2bABO 的面积最小，最小值为 12.此时直线 l 的方程为： 1.x6 y4即 2x3y120.求直 线方程最常用的方法是待定系数法若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式注意在利用基本不等式求最值时，斜率 k 的符号【训练 3】 在本例条件下，求 l 在两轴上的截距之和最小时直线 l 的方程解 设 l 的斜率为 k(k0)，则 l 的方程为 yk(x3)2，令 x0 得 B(0,23k)，令 y0 得 A ，(3 2k，0)l 在两轴上的截距之和为23k3 5 52 ，
14、2k 3k ( 2k) 6(当且仅当 k 时，等号成立 )，63k 时， l 在两轴上截距之和最小，63此时 l 的方程为 x3y 3 60.6 6难点突破 18直线的倾斜角和斜率的范围问题从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错【示例 1】 (2010辽宁)已知点 P 在曲线 y 上， 为4ex 1曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )A. B.0，4) 4，2)C. D.(2，34 34，)【示例 2】 (2011济南一模) 直线 l 过点( 2,0)，l 与圆 x2y 22x 有两个交点时，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( )A. B( ， )( 22，22) 2 2C. D.( 24，24) ( 18，18)
