1、用轨迹法求对称曲线的方程清远市一中 吴树桂求某一曲线的对称曲线的方程，是一个基本而重要的问题，这个问题需要一种简便而通用的解决方法. 下面我们先来看两道例题：例一 已知平行四边形两条边所在直线的方程是 AB：x+y-1=0，BC：3x-y+4=0，它的对角线的交点是 M（3，3） ，求其它两边 CD 和 DA 所在直线的方程.解法一 x+y-1=0解方程组3x-y+4=0得 x=- ，y= ， 则点 B 的坐标为（- ， ）47437因点 M 是 BD 的中点，由中点坐标公式，马上得 D 点的坐标为（ ， ）.4271由 CDAB，DABC，K AB=-1，K BC=3 有 K CD=-1，K
2、 DA=3，因此 CD 和 DA 所在直线的方程是：CD：y=-(x- )+ ； DA：y=3(x- )+42714271即 CD：x+y-11=0； DA： 3x-y-16=0.解法二 设直线 CD 上任一点的坐标为 P（x，y） ，则点 P 关于点 M 对称的点为P1（6-x，6-y） ，由平行四边形的对称性知点 P1必在直线 AB 上，把 P1的坐标代入直线 AB 的方程得(6-x)+(6-y)-1=0 ， 即 x+y-11=0，这就是 CD 所在直线的方程.同理，把点(6-x，6-y)的坐标代入直线 BC 的方程得：3(6-x)-(6-y)+4=0即 3x-y-16=0， 这就是 DA
3、 所在直线的方程.例二 求直线 3x+4y-5=0 关于直线 x+y=0 对称的直线的方程.解法一 3x+4y-5=0解方程组x+y=0得 x=-5，y=5. 故两直线的交点为（-5，5）.如图示， 1= 2，则有 tg 1=tg 2，而两已知直线的斜率分别为 - 和 -1，设所43求直线的斜率为 k，那么有解得 k=- ，4313 2 1 O XY X+Y=03X+4Y-5=0 L所以所求直线的方程为 y-5=- (x+5) 即 4x+3y+5=034解法二 设所求直线 L1上任一点为 P（x，y） ， 它关于直线 x+y=0 对称的点的坐标为 P1（-y，-x）. 由题设知点 P1必在直线
4、 3x+4y-5=0 上，则有 3(-y)+4(-x)-5=0，即 4x+3y+5=0， 这就是所求直线的方程.从上述我们可以看到：（1）这两例中的解法二就是轨迹法，它显然比其它方法来得快捷简便. （2）用轨迹法求对称曲线的方程，最关键的是知道对称点坐标之间的关系.下面我们就来探讨求对称点坐标的一些结论.定理 1 点 P（x，y）关于点 M（a，b）成中心对称的点的坐标为 P1（2a-x，2b-y）.证明：设对称点 P1的坐标为（x 1，y 1） ，则由 M 是 的中点得1Pa= ，b= ，所以 x 1=2a-x，y 1=2b-y. 因此 P 1的坐标为 P1（2a-x，2b-y）.21x定理
5、 2 点 P（x，y）关于直线 L：Ax+By+C=0（A、B 不同时为零）对称的点 P1的坐标是（ ， ）22)(BAC22)(Cx证明 设点 P1的坐标为（x 1，y 1）（1）如果 A0，则 xx 1. 直线 L 垂直平分线段 PP1， Axy1A +B +C=021y解这个方程组得x1= ， y 1= .22)(BACyx 22)(BACxy故命题成立.（2）如果 A=0，则直线 L 的方程可写成 y=- ，这时 P1的坐标为（x，- -y） ，B2显然命题也成立.综合（1） 、 （2）知命题成立.根据定理 1 和定理 2，运用轨迹法即可推得有关对称曲线的下列结论：推论 1 曲线 f（
6、x，y）=0 关于点 M（a，b）成中心对称的曲线的方程是 f（2a-x，2b-y）=0.推论 2 如果曲线的方程中，用 2a-x 代 x，同时以 2b-y 代 y 而方程不变，那么曲线关于点（a，b）成中心对称.推论 3 曲线 C：f（x，y）=0 关于直线 L：Ax+By+C=0（A、B 不同时为零）成轴对称的曲线 C1的方程是：f（ ， ）=0.22)(BACyx22)(BACxy特别地，有如下结论：推论 4 曲线 f（x，y）=0 关于原点成中心对称的曲线的方程是 f（-x，-y）=0.推论 5 曲线 f（x，y）=0 关于 x 轴对称的曲线的方程是 f（x，-y）=0.推论 6 曲线
7、 f（x，y）=0 关于 y 轴对称的曲线的方程是 f（-x，y）=0.推论 7 曲线 f（x，y）=0 关于直线 x-y+c=0 对称的曲线的方程是 f（y-c，x+c）=0.推论 8 曲线 f（x，y）=0 关于直线 x+y=c=0 对称的曲线的方程是 f（-y-c，-x-c）=0.例三 求曲线 =1 关于直线 x+y=0 对称的曲线的方程.9)3(4)2(2解 在已知曲线的方程中，用-y 代 x，-x 代 y， 得 =1,9)3(4)2(2xy即 =1 ， 这就是所求曲线的方程.4)2(9)3(2yx例四 若圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0，则 a 的值等于 .解 在圆 C 的方程 x 2+y2-4x+3=0 中，用 y+1 代 x，x-1 代 y，方程变为： （y+1） 2+（x-1） 2-4（y+1）+3=0 即 x 2+y2-2x-2y+1=0则与圆 C 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x 2+y2-2x-2y+1=0，而这是唯一，因此 a=2.
