1、常微分方程教学大纲一、 常微分方程课程说明(一) 课程代码: 08230003(二) 课程英文名称:Ordinary Differential Equation(三) 开课对象: 数学教育专科生(四) 课程性质常微分方程是数学学科的一门基础理论课程。常微分方程（A）是大学本科的一门必修基础课，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。通过学习不仅可加深这三门课已学过的概念和方法，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。前期课程:数学分析(五) 教学目的通过常微分方程的教学，使学生了解和掌握常微分方程这一学科的基
2、本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础(六) 教学内容本课程主要包括一阶微分方程的初等解法,微分方程的解的存在定理, 高阶微分方程, 线性微分方程组, 非线性微分方程组和稳定性等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。(七) 学时、学分数及学时数具体分配教学时数：72 学时学分数： 4 学分教学时数具体分配教 学 内 容 讲授 实验 合计第一章 绪论 2 2第二章 一阶微分方程的初等解法 18 18第三章 一阶微分方程的解的存在定理 12 12第四章 高阶微分方程 16 16第五章 线性微分方程组
3、 16 16第六章 非线性微分方程组和稳定性 8 8合计 72 72(八) 教学方式以教师讲解为主的课堂教学方式(九) 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占 30，期末成绩占 70二、讲授大纲与各章的基本要求第一章绪论教学要点:通过本章的教学使学生初步掌握常微分方程产生于社会实践中,掌握常微分方程的线性、非线性,解、隐式解,通解、特解,积分曲线、方向场等基本概念.教学时数:2 学时教学内容第一节 微分方程：某些物理过程的数学模型第二节 基本概念考核要点：第一节 微分方程：某些物理过程的
4、数学模型 （识记）第二节 基本概念 (识记)第二章 一阶微分方程的初等解法教学要点:本章讨论一阶方程 F(x,y, )=0 的若干类型的初等解法.y1 使学生掌握若方程能就 解出,即方程取形式= f(x,y)或 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0y采用变量分离或全微分方程的方法.2 使学生掌握若方程能就 y(或 x)解出,把问题化成一阶微分方程去解3 使学生掌握在方程 F(x,y, )=0 缺少 x 或 y 的解法y教学时数：18 学时教学内容第一节 变量分离方程与变量变换1.变量分离方程2.可化为变量分离方程的类型3.应用举例第二节 线性方程与常数变易法第三节 恰当方程与积分因子1、 恰
5、当方程2、 积分因子第四节 一阶隐方程与参数方程1、 可以解出 y(或 x)的方程2、 不显含 y(或 x)的方程考核要点：第一节 变量分离方程与变量变换 (领会,应用)第二节 线性方程与常数变易法 (领会,应用)第三节 恰当方程与积分因子 (领会,应用)第四节 一阶隐方程与参数方程 (领会,应用)第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学要点:本章重点介绍和证明了解的存在唯一性定理和解的一些基本性质，解的延拓定理及解对初值的连续性和可微性定理。要求学生：1 理解解的存在唯一性定理，解的延拓定理及解对初值的连续性和可微性定理2 掌握逐步逼近法3 了解奇解和 Clairaut 方程教学时数：12 学
6、时教学内容第一节 解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、 存在唯一性定理2、 近似计算和误差估计第二节 解的延拓第三节 解对初值的连续性和可微性第四节 奇解1、 包络和奇解2、 Clairaut 方程 考核要点：第一节 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 (领会，应用)第二节 解的延拓 （领会，应用）第三节 解对初值的连续性和可微性 （领会）第四节奇解 （领会，应用）第四章 高阶微分方程教学要点:本章介绍了线性微分方程的基本理论和求解方法。要求学生掌握：1 齐和非齐线性方程的解的迭加性2 n 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间2 齐和非齐线性方程的通解的求法3 常系数齐线性方程的特征根解法4
7、 常数变易法，Laplace 变换法，待定系数法，幂级数解法教学时数：16 学时教学内容第一节 线性微分方程的一般理论1、 引言2、 齐线性方程的解的性质与结构3、 非齐线性方程与常数变易法第二节 常系数线性方程的解法1、 复值函数与复值解2、 常系数齐线性方程和 Euler 方程3、 非齐线性方程 比较系数法和 Laplace 变换法第三节 高阶方程的降阶和幂级数解法1、 可降阶的一些方程类型2、 二阶线性方程的幂级数解法考核要点：第一节 线性微分方程的一般理论 （领会）第二节 常系数线性方程的解法 （应用）第三节 高阶方程的降阶和幂级数解法 （应用）第五章 线性微分方程组教学要点:1 理解
8、线性微分方程组的截的存在唯一性定理，进一步掌握逐步逼近法2 掌握线性微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结构问题3 基解矩阵的存在与具体寻求是不同的两回事4 掌握高阶线性微分方程和线性微分方程组的关系教学时数：16 学时教学内容第一节 存在唯一性定理1、 记号和定义2、存在唯一性定理第二节 线性微分方程组的一般理论1、 齐线性微分方程组2、 非齐线性微分方程组第三节 常系数线性微分方程组1、 矩阵指数的定义和性质2、 基解矩阵的计算公式3、 Laplace 变换的应用考核要点：第一节 存在唯一性定理 （领会）第二节 线性微分方程组的一般理论 （领会，应用）第三节 常系数线性微分方程组
9、 （领会，应用）第六章 非线性微分方程组和稳定性教学要点:1 理解稳定性和定理理论2 理解轨线在相平面上的性态3 了解相平面上的极限圈的求法和微分方程的周期解教学时数：8 学时教学内容第一节 引言第二节 相平面第三节 按线性近似决定方程组的稳定性考核要点：第一节 引言 （了解）第二节 相平面 （识记，领会）第三节 按线性近似决定方程组的稳定性 （领会，应用）三、推荐教材和参考书目常微分方程,王高雄等,第二版,人民教育出版社常微分方程 ，叶彦谦，第二版,人民教育出版社常微分方程 ，丁同仁，第一版,高等教育出版社常微分方程 ，东北师范大学数学系，第三版,高等教育出版社常微分方程讲义 ，王柔怀，伍卓群，第二版,人民教育出版社Introduction to Ordinary Differential Equation,Stephen H.Saperestone,Brooks/cole Publishing CompanyDifferential Equation,Richard Bronson,McGraw-HillInc
