1、习题 7.11. 设总体 X 服从指数分布(;)=, 0,0;0, 0试求(1) 的矩估 计 1; (2)的极大似然估 计 2.解:(1)()=+()=101=10= +1()= +1的矩估 计 1=1(2)似然函数 为 ()=11 =(1,2,)1()=+(1)1+2,=+(1) =1令 () =+=1=0解得2= =13. 设总体 X 服从参数为 (可参考例 7-8)(0)的泊松分布 ,试 求 的矩估 计 1和极大似然估 计 2.解: 由 服从参数 为 的泊松分布 ()=由矩法,应有 =1=似然函数 为 ()=1= 1!2!()=()(1!2!) () =0解得 的极大似然估 计为2=1=
2、1=习题 7.21. 证明样本均值 是 总 体均 值 的相合估 计 .证:()=,()=20()由定理 71知 是 的相合估 计 .2. 证明样本的 k 阶矩 =1=1是 总 体 阶 矩 ()的相合估 计 量 .证:()=(1=1)=(), ()=(1=1)=12=1()0(0)=1=1是 ()的相合估 计 .3. 设总体 (,1),0是未知参数 ,又 1,2,为 取自 该总 体的 样 品 ,为样 品均 值 .(1) 证明 =23是参数 的无偏估 计 和相合估 计 ;(2) 求 的极大似然估 计 .(1) 证:()=(23)=23()=2332=23是参数 的无偏估 计又()=(23)=49(
3、)=49212=2270()=23是参数 的相合估 计 .(2) (,2)故其分布密度 为()=1, 02 (0)0, 其他 似然函数()=1, 02 (=1,2,)0, 其他 因 对 所有 有 02 (=1,2,)01,2,2习题 7.31. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度 .现从中(,0.22)抽取容量为 6 的样本测得样本观测值并算的 =8.54,求 的置信度 0.9的置信区 间 .解: =10.9=0.1,0.05=1.64置信度 为 0.9的置信区 间 是2,+2=8.541.640.26,8.54+1.640.268.41,8.672. 设轮胎
4、的寿命 X 服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命 ,随机地抽取 12 只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7试求平均寿命 (例 7-21, )的 0.95的置信区 间 . 未知 时 的置信区 间解: =4.7092,2=0.0615.=10.95=0.05,查 分布表知 0.025(11)=2.2010平均寿命 的 0.95的置信区 间为 :2(1) ,+2(1) =4.70922.2010 0.061512 ,4.7092+2.2010 0.061512 =4.55
5、16 , 4.86683. 两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径 X,Y 分别服从 (1,21),(2,22),现由甲 ,乙两车床的产品中分别抽出 25 个和 15 个,测得其中 2,未知 (=1,2). 21=6.38,22=5.15.求两总体方差比 的置信度 0.90 的置信区间.21/22解:此处 1=25, 2=15, 21=6.38, 22=5.15, =10.90=0.1,2=0.05的置信度 0.90 的置信区间为:21/222122 12(11,21),2122 112(11,21)=6.385.15 10.05(24,14),6.385.15 10.95(2
6、4,14)=1.24 12.35,1.244. 某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个, 测得直径(单位:毫米) 如下:14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8设滚珠直径服从正态分布,若(1) 已知滚珠直径的标准差 毫米;=0.15(2) 未知标准差 .求直径均值 的置信度 0.95的置信区 间 .解: (1) =14.91,=10.95=0.05,0.025=1.96直径均值 的置信度 0.95的置信区 间为 :2,+2=14.911.960.159,14.91+1.960.15914.812,15.008(2)=14.91,2=0
7、.041,=10.95=0.05,0.025(8)=2.306置信度 0.95的置信区 间为 :2(1) ,+2(1) =14.912.306 0.0419 ,14.91+2.306 0.0419 =14.754 , 15.0665. 设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 X 服从正态分布 令随机地抽取 16 个灯泡(,2),其中 ,2未知 . 进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480 15321508 1490 1470 1520 1505 1485 1540求该批灯泡平均寿命 的置信度 0.95的置信区 间 .解
8、: =1509.5,2=1038.5,=10.95=0.05,0.025(15)=2.1315置信度 0.95的置信区 间为 :2(1) ,+2(1) =1509.52.1315 1038.516 ,1509.5+2.1315 1038.516 =1492.328 , 1526.6726. 求上题灯泡寿命方差 2的置信度 0.95的置信区 间 .解: 2=1038.5,=10.95=0.05,查 表知 20.025(15)=27.488,20.975(15)=6.262置信度 0.95的置信区 间为 :(1)222(1),(1)2212(1)=151038.527.488,151038.56.
9、262=566.702,2487.6247. 某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布 .现从这批金属材料中随机抽取 11 个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤):42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求(1) 平均抗弯强度 的置信度 0.95的置信区 间 .(2)抗弯强度标准差 的置信度 0.90的置信区 间 .解: (1) =43.4,2=0.5207,=10.95=0.05,查 表知 0.025(10)=2.2281置信度 0.95的置信区 间为 :2(1) ,+2(1) =43.42.2281 0.52071
10、1 ,43.4+2.2281 0.520711 =42.915,43.885(2) 2=0.5207,=10.90=0.1,查 表知 20.05(10)=18.307,20.95(10)=3.9402置信度 0.90的置信区 间为 :(1)222(1),(1)2212(1)=100.520718.307,100.52073.940=0.284,1.322注意这里是求 的置信区间,结果要开方.故 的置信度 0.90的置信区 间为 0.53,1.158. 设两个正态总体 中分别取容量为 10 和 12 的样本,两样本互相独立.经算得 (1,2),(2,2) =20,=24,又两 样 本的 样 本
11、标 准差 1=5,2=6.求 12的置信度 0.95的置信区 间 .解:=(11)21+(21)221+22 =925+113610+122 =5.572=10.95=0.05,查 表知 0.025(20)=2.086故 12的置信度 0.95的置信区 间为 :2(1+22) 11+11,+2(1+22) 11+11=20242.086 110+1125.572, 2024+2.086 110+1125.572=8.975,0.9759. 为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选 20 块条件大致相同的土地 .10 块不施磷肥,另外 10 块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下:不施磷肥的560 5
12、90 560 570 580 570 600 550 570 550施磷肥的620 570 650 600 630 580 570 600 600 580设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同 .试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计( ).=0.05解: =570,=600,2=64009, 2=24009=0.05,查 表知 0.025(18)=2.1009=(11)21+(21)221+22 =44009 =22.112(1+22) 11+11,+2(1+22) 11+11=6005702.1009 110+11022.11,600570+2.1009 110+
13、11022.11=9.23,50.7710. 有两位化验员 A,B 独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行 10 次和 11 次测定,测定的方差分别为 .设 A,B 两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为21=0.5419,22=0.6065.求方差比 的置信度 0.9 的置信区间.21,22 21/22解:=10.9=0.1,查 表知 0.05(9,10)=3.02, 0.95(9,10)= 10.05(10,9)= 13.14=0.318的置信度 0.9 的置信区间为:故 21/2221222(11,21),212212(11,21)=0.54190.60653.02 ,0.
14、54190.60650.318=0.295,2.81自测题 7一、 填空题设总体 是未知参数 的无(,2)1,2,3是来自 的 样 本 ,则 当常数 =12时 ,=131+2+ 163 偏估计.解: 是未知参数 的无偏估计 =131+2+ 163 则 ()=13(1)+(2)+ 16(3)=13+ 16=12二、 一台自动车床加工零件长度 X(单位:厘米)服从正态分布 .从该车床加工的零件中随机(,2)抽取 4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.试求: (1)样本方差 ;(2)总体方差 的置信度为 95%的置信区间.2 2(附: 0.025=1.96, 0.05=1.
15、645,20.025(3)=9.348,20.975(3)=0.216,20.025(4)=11.143,20.975(4)=0.484)解: (1)=12.6+13.4+12.8+13.24 =132= 11=1()2=0.43(2)2置信度 0.90的置信区 间为 :(1)222(1),(1)2212(1)=30.439.348,30.430.216=0.04,1.85三、 设总体 (,2),抽取 样 本 1,2,=1=1为样 本均 值 .(1) 已知 =4,=12,=144,求 的置信度 为 0.95的置信区 间 ;(2) 已知 ,样本容量 n 至少应取多大?( 附=10,问 :要使 的
16、置信度 为 0.95的置信区 间长 度不超 过 5)0.025=1.96, 0.05=1.645解: (1) 的置信度 为 0.95的置信区 间为 :2,+2=121.96 4144,12+1.96 4144=11.347,12.653(2)的置信度 为 0.95的置信区 间为 2,+2,故区间长度为22225, 解 得 61.562四、 某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的.假设两市新生身高分别服从正态分布: ,=175.9,=172.0;21=11.3,22=9.1 (1,2)的置信度为 0.95 的置信区间.(附:(2,2),其中 2未知 .试 求 12 0.025(9)=2.2622,0.025(11)=2.2010)解:=(11)21+(21)221+22 =90.79 =3.172(1+22) 11+11,+2(1+22) 11+11=175.91722.26220.613.17,175.9172+2.26220.6053.17=0.474,8.274
